2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇省初賽第11題為：[TP喻秋生-1.tif，Y][TS（][JZ]圖1題目如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O的方程為x2+y2=4，過點P（0，1）的直線l與圓O交于A，B兩點，與x軸交于點Q，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，求證：λ+μ為定值.

此題通過計算得λ+μ=83，因此，λ+μ的值為定值.

1問題的提出

如果將題目中的圓改為其它圓錐曲線，點P為y軸上的任意定點，其它條件不變，λ+μ為值是否為定值？另外，如果點P為x軸上的任意定點，點Q為直線l與y軸的交點，其它條件不變，λ+μ為值是否為定值？

2問題的一般化探究

經(jīng)過研究，可以得出下列結(jié)論：

[TP喻秋生-2.tif，Y][TS（][JZ]圖2[TS）]

結(jié)論1如圖2，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點P（0，m）（m≠±b）為定點，直線l過點P與x軸交于點Q，且與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，則λ+μ=2b2b2-m2.

證明當直線l的斜率不存在時，點Q為原點，直線l與橢圓C的兩交點為A（0，b）、B（0，-b），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=bb-m，μ=bb+m，λ+μ=2b2b2-m2.

當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），A（x1，y1）、B（x2，y2），則點Q的坐標為（-mk，0），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=1+mkx1，μ=1+mkx2，λ+μ=2+m（x1+x2）kx1x2.[JY]（*）

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，

將x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2代入（*）并化簡，得λ+μ=2b2b2-m2.

綜合可得結(jié)論1成立.

結(jié)論2如圖3，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點P（0，m）為定點，直線l過點P與x軸交于點Q，且與雙曲線C交于A，B兩點，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，則λ+μ=2b2b2+m2.

結(jié)論2的證明與結(jié)論1類似.在結(jié)論1、結(jié)論2中，點P為y軸上的定點，點Q是l與x軸的交點，如果點P是x軸上的定點，點Q是l與y軸的交點時，也有類似的結(jié)論：

[TP喻秋生-34.tif，BP][TS（][JZ]圖3圖4[TS）]

結(jié)論3如圖4，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點P（m，0）（m≠±a）為定點，直線l過點P與y軸交于點Q，且與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，則λ+μ=2a2a2-m2.

結(jié)論4如圖5，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點P（m，0）為定點，直線l過點P與y軸交于點Q，且與雙曲線C交于A，B兩點，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，則λ+μ=2a2a2-m2.

如果曲線為拋物線，則當且僅當點P在拋物線的對稱軸上時，λ+μ的值恒為常數(shù).

[TP喻秋生-56.tif，BP][TS（][JZ]圖5圖6[TS）]

結(jié)論5如圖6，已知拋物線C：y2=2px，點P（m，0）為定點，直線l過點P與y軸交于點Q，且與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，則λ+μ=1.

3問題的進一步拓展

在結(jié)論1中，點P、Q分別在橢圓的長軸、短軸上，我們知道，橢圓的長軸、短軸是橢圓的一對互相垂直的共軛直徑，如果點P、Q分別在橢圓的非垂直的共軛直徑上，λ+μ的值是否仍為定值呢？

[TP喻秋生-7.tif，Y][TS（][JZ]圖7[TS）]

結(jié)論6如圖7，已知曲線C為有心圓錐曲線，線段MN、ST是曲線C的一對非垂直的共軛直徑，點P為線段MN上定點，直線l過點P與線段ST交于點Q，且與曲線C交于A，B兩點，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，則λ+μ為定值.

證明當曲線C是橢圓時，設(shè)橢圓C的方程為C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），線段MN、ST所在直線的方程分別為y=k1x、y=k2x，點P的坐標為（m，k1m），依題意，k1、k2、m均為定值.

當直線l的斜率不存在時，點Q的坐標為（m，k2m），直線l與橢圓C的兩交點為A（m，baa2-m2）、B（m，-baa2-m2），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=ba2-m2-k2amba2-m2-k1am，μ=ba2-m2+k2amba2-m2+k1am，

λ+μ=ba2-m2-k2amba2-m2-k1am+ba2-m2+k2amba2-m2+k1am=2a2b2-2b2m2-2k1k2a2m2a2b2-b2m2-k12a2m2.

根據(jù)橢圓共軛直徑性質(zhì)[1]，有k1k2=-b2a2，則λ+μ=2a2b2a2b2-b2m2-k12a2m2.

當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）+k1m，A（x1，y1）、B（x2，y2），則點Q的坐標為（（k-k1）mk-k2，（k-k1）k2mk-k2），由QA=λPA，QB=μPB，得λ=x1-xQx1-xP，μ=x2-xQx2-xP，λ+μ=2x1x2-（x1+x2）（xP+xQ）+2xPxQx1x2-（x1+x2）xP+xP2.（**）

由y=k（x-m）+k1m，x2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2+2k（k1-k）ma2x+a2（k1-k）2m2-a2b2=0，

將x1+x2=-2k（k1-k）ma2b2+a2k2，x1x2=a2（k1-k）2m2-a2b2b2+a2k2，xP=m，xQ=（k-k1）mk-k2代入（**）并化簡，得λ+μ=2（k1-k）m2（k1k2a2+b2）-2（k2-k）a2b2（k12a2m2-a2b2+b2m2）（k2-k）.

將k1k2=-b2a2代入上式，得λ+μ=2a2b2a2b2-b2m2-k12a2m2.

由于k1、m都是定值，因此λ+μ的值為定值.

類似地，當曲線C是雙曲線時可同理證明.

參考文獻

[1]張留杰，周明芝.橢圓共軛直徑的一個性質(zhì)[J].數(shù)學通訊（下半月），2015（10）.