蔣 迅

英國哈德斯菲爾德大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)師愛德華·索撒爾(Edward Southall)和一位法國中學(xué)數(shù)學(xué)教師文森特·潘塔羅尼(Vincent Pantaloni)最近合作出了一本書《幾何小吃》(Geometry Snack).作者把數(shù)學(xué)問題制作成一看就懂、并讓讀者立即產(chǎn)生躍躍一試的智力題．這些題目里沒有復(fù)雜的概念，甚至都不需要多少描述．但是當(dāng)你真正開始動手去做的時候，你又發(fā)現(xiàn)其實它并不那么簡單．而當(dāng)你真的得到了最后的結(jié)果時，你會有一種成就感．這樣的數(shù)學(xué)問題具有的是簡約之美．在我看來，簡約之美是大多數(shù)人喜歡數(shù)學(xué)的原動力.

我沒有讀過這本書．但我在twitter上一直是索撒爾的粉絲．除了培訓(xùn)以外，他還是一位具有14年教齡的中學(xué)數(shù)學(xué)老師并有自己的數(shù)學(xué)網(wǎng)站．從這本書的介紹來看，他書中的幾類幾何題都在twitter上發(fā)布過．現(xiàn)用他公布的一些例子來體驗一下他的教書理念.

例1如圖．求陰影部分的面積.

這道題的描述不多，但看到圖片后一目了然．現(xiàn)在你有一個正方形和一個幾乎嵌入到里面的等邊三角形．當(dāng)然這個三角形不可能嵌入到正方形里面．于是問題出來了：有多少面積露在了外面.

這道題公布以后，twitter的網(wǎng)友們各顯神通．有人用desmos給出了答案；還有人用Javascript寫了一段程序，用計算概率的方法給出了一個近似值．更多的人則是老老實實地用手計算.

例2如圖．給兩個單位圓，求正三角形的面積.

作者仍然省去了精確的題目表述．這就像是在咖啡店里要一份甜甜圈一樣，你不會說要一個圓環(huán)形的外徑為多少厘米的甜甜圈．從圖我們知道兩個圓相切，并上下疊落在三角形的(垂直)中線上．上面的一個單位圓則與正三角形在兩個點上相切．試想一下，真地把這些條件都敘述出來的話，題目就顯得過于累贅.

例3如圖．陰影的面積是多少？

我們把這個題的完整描述和解答留給讀者．注意這個題目(以及許多題目)都可以推廣．比如，我們可以有下面的一些變形.

看完這些推廣之后，請讀者自己回想一下，剛才在讀前兩個例子的時候，你有沒有想到推廣一下呢？如果沒有的話，那么現(xiàn)在再回過頭去想一下，你會如何推廣？

例4求角度(假定正則性).

所謂正則性，是指我們有三個正五邊形和一個正方形．索撒爾喜歡在正則圖形上做文章．他有時候干脆說，你看著是正方形的話，它就是正方形；你看著是直角，那它就是直角．下圖的解法雖然不嚴(yán)格，但挺奇妙的.

正五邊形的每個頂點是108°．所求之角是它的一半，即54°．歐美國家的數(shù)學(xué)競賽中，幾何題目常常是這種計算角度、長度、面積等問題．如果你有捷徑可走，未嘗不可呢？當(dāng)然競賽過后，還是應(yīng)該把完整的解答補上.

例5一個直角三角形和三個等邊三角形．求兩角之和.

粉絲們這次用了GeoGebra．他們發(fā)現(xiàn)，其實這個直角的條件是多余的．答案是180°．這道題并不在《幾何小吃》這本書中，但書中的第16題可以幫助讀者給出嚴(yán)格的證明.

例6證明兩個陰影部分面積相等.

在《幾何小吃》里也有幾何證明題．上面這道題非常類似于中國課本中的證明題．證明可以用切割線定理(弦切線定理)來做的．也有粉絲用GeoGebra給出證明．我們把細(xì)節(jié)忽略.

例7證明兩個四邊形面積相等.

從圖形看，我們有一個正七邊形．中間水平的一條連線上被上面的四邊形的一個頂點分成了相等的兩段．其實這最后的條件是故意用來迷惑讀者的．這道題的證明思路都在下面的圖中．有粉絲在GeoGebra上制作了一個證明．就是這個截圖.

例8三個正七邊形如圖連接．如果連接他們的頂點的話，這里面隱含有若干個直角．你能把它們找出來嗎？

在我看到的索撒爾題目中，這道題的敘述是最繁瑣的了．我想像著，《幾何小吃》這本書的題目不過如此．這道題的答案在下面的圖中．我很好奇，中學(xué)生能觀察到多少直角？另外，這個題目里給出的是三個七邊形．那么對其他正則多邊形我們能得到多少直角？如果有四個七邊形結(jié)果又會如何？你看，題中有題．如果這道題放到《幾何小吃》里，一定不會是就事論事.

下面再給出幾道題目．現(xiàn)在我把問題和條件全部略去．大家一定都知道該做什么了．這四道題代表了《幾何小吃》中的四類題型．還有一個題型是日本的算額．我希望有機會時另文寫出來.

我相信《幾何小吃》是一本不錯的書．正如上面的這些題一樣，作者試圖通過每一道題來揭示一個奇妙的現(xiàn)象．很多題目都有多種解法，有些連身經(jīng)百戰(zhàn)的老師們都不曾想到．于是當(dāng)你解決了一個問題后又得到了驚喜和挑戰(zhàn)．然而這樣的題目又顯得那么簡單易懂， 因而容易讓哪怕最沒有

自信的學(xué)生都能說上幾句，課堂就成了一個討論的空間．在討論中，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，這些題目其實是棘手的．于是他們需要相互討論，一起來解決問題.

數(shù)學(xué)是唯美的,只有美的東西才讓人能藝術(shù)地傳播．愛因斯坦說：“美，本質(zhì)上終究是簡單性．”我相信索撒爾正是持有這個理念的．幾何題里也有很多表述復(fù)雜的題目．但其深層都是簡潔之疊加．?dāng)?shù)學(xué)老師的職責(zé)就是將簡約之美一層一層呈現(xiàn)給學(xué)生．今天這篇小文算是我們在《數(shù)學(xué)都知道》之后的一個補充吧．