鄭慧奇，徐焱林，丁 亮，顧 磊

（北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094）

0 引言

針對(duì)微推力測(cè)量，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)開展大量的研究，形成若干成熟的測(cè)量方法。例如：日本Murakami等人[1]使用氣浮裝置實(shí)現(xiàn)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)力結(jié)構(gòu)，用無(wú)摩擦的方式支撐平臺(tái)，通過(guò)測(cè)量微推力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩或平衡轉(zhuǎn)矩的平衡力來(lái)達(dá)到測(cè)量的目的；美國(guó)NASA Lewis研究中心及普林斯頓大學(xué)都設(shè)計(jì)了倒立擺結(jié)構(gòu)的推力架，用于大功率電推進(jìn)器的推力測(cè)量[2-3]，其測(cè)量原理是推進(jìn)器工作時(shí)倒立擺以底部為軸發(fā)生偏轉(zhuǎn)，通過(guò)測(cè)量擺的位移獲得推力值；平行四邊形的測(cè)力結(jié)構(gòu)中，安裝推進(jìn)器的頂板與固定底板可相對(duì)平行地移動(dòng)，但是上、下板間的移動(dòng)受到彈簧約束，通過(guò)力矩平衡來(lái)確定推力大小[4]；天平結(jié)構(gòu)的測(cè)量原理是將推進(jìn)器及其附件的重量預(yù)先平衡，再由測(cè)量元件產(chǎn)生相應(yīng)的平衡力來(lái)平衡推進(jìn)器產(chǎn)生的微推力[5]；北京航空航天大學(xué)研制了全彈性微小推力測(cè)量實(shí)驗(yàn)臺(tái)架，采用力矩平衡原理進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)雙叉形彈簧片消除支撐結(jié)構(gòu)的摩擦影響[6]；哈爾濱工業(yè)大學(xué)利用三線擺結(jié)構(gòu)，采用扭矩平衡和光杠桿放大原理實(shí)現(xiàn)電推進(jìn)器微小推力的測(cè)量[7]。

三線擺理論成熟，工程上已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量領(lǐng)域[8-10]，另外也被用來(lái)測(cè)量重力加速度[11]。由于其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作方便的優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)哈爾濱工業(yè)大學(xué)寧中喜等人將三線擺應(yīng)用于微推力測(cè)量中[7]。利用三線擺測(cè)量微推力時(shí)，推力平臺(tái)產(chǎn)生的角位移與微推力大小一一對(duì)應(yīng)，測(cè)得這一角位移便可以根據(jù)標(biāo)定結(jié)果反推確定微推力大小。由于推力平臺(tái)與固定結(jié)構(gòu)通過(guò)3根金屬絲線懸吊連接，全部結(jié)構(gòu)中不存在宏觀的摩擦副，推力平臺(tái)幾乎只受到微推力、重力和絲線拉力的作用，因而轉(zhuǎn)動(dòng)靈活，對(duì)推力變化敏感，轉(zhuǎn)動(dòng)范圍內(nèi)無(wú)死區(qū)，使得三線擺測(cè)量具有靈敏度高、精度高、重復(fù)性好的優(yōu)點(diǎn)。

本文介紹三線擺微推力測(cè)量的原理，分析測(cè)量結(jié)構(gòu)的阻尼特性及其影響，提出阻尼控制方法以優(yōu)化測(cè)量系統(tǒng)。

1 三線擺微推力測(cè)量原理

如圖1所示，三線擺微推力測(cè)量系統(tǒng)的核心部件為3根金屬絲線（擺線）及推力平臺(tái)組成的懸吊結(jié)構(gòu)。3根絲線懸掛點(diǎn)確定了推力平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)軸線，在軸線一側(cè)放置被測(cè)推力器或推力收集板，另一側(cè)為用于保持推力平臺(tái)處于水平狀態(tài)的配重，微推力作用方向與由推力平臺(tái)中線及轉(zhuǎn)軸確定的平面垂直；施加推力后，推力平臺(tái)圍繞旋轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 三線擺微推力測(cè)量系統(tǒng)Fig. 1 Trilinear pendulum micro-thrust measurement structure

三線擺的擺盤（即推力平臺(tái)）呈長(zhǎng)條狀，在推力作用下發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，可通過(guò)光學(xué)測(cè)量手段確定其轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ，并根據(jù)標(biāo)定結(jié)果反推出對(duì)應(yīng)推力的大小。這就是三線擺法測(cè)量微推力的基本原理。

測(cè)量中忽略影響角位移的其他干擾因素，則微推力作用下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)推力平臺(tái)發(fā)生的角位移為

式中：F為微推力；L為微推力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的力臂，本文研究的三線擺L=0.35 m；R為推力平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。

由式(1)可見，一定推力作用下，整個(gè)系統(tǒng)輸出的角位移大小決定于推力平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：剛度越小，產(chǎn)生的角位移越大。

絲線懸掛的推力平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系如圖2所示，一定角位移下的回復(fù)力矩主要來(lái)自金屬絲線拉力產(chǎn)生的沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向的力矩，力矩的大小由角位移決定。

圖2 推力平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系Fig. 2 Geometric relations in the motion of the thrust stand

設(shè)擺線上端與轉(zhuǎn)軸間的距離為r0，擺線的下端與轉(zhuǎn)軸間的距離為r1，在擺動(dòng)過(guò)程中當(dāng)推力平臺(tái)的角位移從0變?yōu)棣葧r(shí)，擺線從AB位置旋轉(zhuǎn)至AB′位置，相應(yīng)的推力平臺(tái)與上端固定點(diǎn)間的距離從h變?yōu)閔′，此時(shí)擺線AB′在擺動(dòng)平面上的投影為l′，設(shè)此時(shí)擺線與推力平臺(tái)的夾角為

單根擺線上的拉力T將隨著推力平臺(tái)轉(zhuǎn)角的改變而發(fā)生變化，由其分量產(chǎn)生的回復(fù)力矩也不斷變化。當(dāng)推力平臺(tái)轉(zhuǎn)角為θ時(shí)產(chǎn)生的回復(fù)力為

式中：Fb為擺線拉力在推力平臺(tái)平面上的分量；G為推力平臺(tái)的總重量。

3根擺線能夠產(chǎn)生的回復(fù)力矩為

當(dāng)推力平臺(tái)在恒定推力作用下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，擺線產(chǎn)生的回復(fù)力矩與推力力矩達(dá)到平衡，即

設(shè)擺線長(zhǎng)度為δ，則

推力平臺(tái)與上端固定點(diǎn)在豎直方向的距離

本文所研究的三線擺結(jié)構(gòu)：r0=0.04 m，r1=0.05 m，h=0.45 m，則計(jì)算得到推力平臺(tái)在不同擺動(dòng)角度下的h′及高度變化 Δh=h?h′，如表1所示。

表1 推力平臺(tái)在不同擺角下的h′及ΔhTable 1 Parameters h′ and Δh at different angles of oscillation

由表1可見，在推力平臺(tái)的角位移達(dá)到45°時(shí)，高度變化量Δh＜1.5 mm。由于測(cè)量系統(tǒng)使用環(huán)境及工況均不允許其擺角過(guò)大，20°以下的擺角范圍已能完全覆蓋使用工況。θ=20°時(shí)推力平臺(tái)的高度變化Δh＜0.27 mm，此時(shí)以h代替h'造成的誤差將小于0.06%，以θ代替sinθ帶來(lái)的誤差亦小于2.1%，因此可將式(5)簡(jiǎn)化為

則三線擺測(cè)量系統(tǒng)推力平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為

本文所研究的三線擺測(cè)量系統(tǒng)推力平臺(tái)及其上所有結(jié)構(gòu)的質(zhì)量約為10 kg，由式(8)可得，其在50 mN推力作用下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的角位移約為2.3°。

2 摩擦阻尼條件對(duì)測(cè)量的影響

對(duì)設(shè)計(jì)制作良好的三線擺微推力測(cè)量系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)部件不存在明顯的摩擦副，其受到的摩擦阻尼作用十分微弱，假設(shè)施加微推力F(t)作用，擺動(dòng)的微分方程為

式中：I為推力平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ζ0為推力平臺(tái)的阻尼系數(shù)。

測(cè)量系統(tǒng)輸出角位移θ相對(duì)被測(cè)推力F的傳遞函數(shù)為

推力平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=1.4 kg·m2，由實(shí)測(cè)ζ0=0.03，可以求得式(11)中的阻尼比ζ=0.019 2，可見系統(tǒng)為典型的欠阻尼系統(tǒng)，仿真分析得到其在F=50 mN恒定推力作用下（設(shè)推力從t=10 s開始施加）的推力平臺(tái)角位移如圖3所示。

圖3 弱阻尼時(shí)恒定推力作用下的推力平臺(tái)角位移Fig. 3 Angular displacement of weak damping system under constant thrust

由圖3可見，推力平臺(tái)在恒定推力作用下將圍繞穩(wěn)態(tài)的平衡位置往復(fù)擺動(dòng)，且擺動(dòng)幅值衰減緩慢：在施加推力作用近300 s時(shí)，推力平臺(tái)仍然有約0.2°的擺動(dòng)幅度。而考慮到實(shí)際測(cè)量條件，若此時(shí)讀數(shù)將產(chǎn)生約4 mN的偏差?？梢?，欠阻尼的三線擺微推力測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，測(cè)量效率低下。

假設(shè)推力平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到恒定的滑動(dòng)摩擦阻尼力Ff作用，力臂為L(zhǎng)，在其作用下的推力平臺(tái)受力如圖4所示，其方向始終與平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方向相反。

圖4 阻尼力Ff作用下推力平臺(tái)的受力Fig. 4 Force condition of the thrust stand platform

代入三線擺參數(shù)，仿真分析得到在恒定阻尼力作用下的推力平臺(tái)角位移，如圖5所示。

圖5 恒定阻尼力作用下的推力平臺(tái)角位移Fig. 5 Angular displacement under constant friction

由圖5可見，推力平臺(tái)擺動(dòng)中若存在大小恒定的滑動(dòng)摩擦阻力Ff，將使推力平臺(tái)的穩(wěn)態(tài)角位移產(chǎn)生偏差。原因是，摩擦阻尼力作用下，推力平臺(tái)在往復(fù)擺動(dòng)的低速區(qū)間段將存在死區(qū)，處于死區(qū)的推力平臺(tái)受力情況為

其中Ffs為推力平臺(tái)受到的靜摩擦力。由式(14)可見，摩擦阻尼力的持續(xù)存在使推力大小與角位移不再具有式(5)所描述的確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。從仿真結(jié)果還可以看出，具有滑動(dòng)摩擦阻尼力作用時(shí)，推力平臺(tái)振幅衰減迅速，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的速度明顯加快；并且摩擦阻尼力越大，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的速度越快，但穩(wěn)態(tài)角位移的偏差也越大。

3 外加阻尼力優(yōu)化

根據(jù)第2章的分析可見，增加推力平臺(tái)的恒值滑動(dòng)摩擦阻尼力能有效縮短系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間，但會(huì)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的偏差，因此考慮在推力平臺(tái)的擺動(dòng)過(guò)程中施加脈動(dòng)摩擦阻尼，對(duì)三線擺微推力測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。本文設(shè)計(jì)的阻尼控制機(jī)構(gòu)由摩擦塊、摩擦驅(qū)動(dòng)器及控制器組成，如圖6所示。

圖6 阻尼控制機(jī)構(gòu)示意圖Fig. 6 Schematic diagram of the damping control mechanism

滑動(dòng)摩擦阻尼來(lái)自摩擦塊與推力平臺(tái)之間的相對(duì)滑動(dòng)。摩擦塊只能通過(guò)彈簧，在驅(qū)動(dòng)器的推動(dòng)下做垂直于平臺(tái)面的微幅移動(dòng)。阻尼控制通過(guò)摩擦驅(qū)動(dòng)器完成，驅(qū)動(dòng)器的執(zhí)行構(gòu)件進(jìn)行直線移動(dòng)，通過(guò)其位移準(zhǔn)確地控制彈簧的壓縮量，從而控制摩擦塊對(duì)推力平臺(tái)的壓力，保證推力平臺(tái)在擺動(dòng)狀態(tài)下受到相應(yīng)大小的摩擦阻力作用。

測(cè)量開始后，摩擦塊對(duì)推力平臺(tái)施加垂直于接觸平面的脈動(dòng)壓力，且壓力值按圖7所示規(guī)律逐步減小，直至80 s時(shí)壓力作用徹底消失。每個(gè)壓力作用周期分為3個(gè)階段，第1階段壓力線性增大，第2階段壓力線性減小至0，第3階段內(nèi)壓力保持為0。壓力作用徹底消失后，摩擦塊將返回初始位置停留并保持與推力平臺(tái)無(wú)接觸狀態(tài)，此時(shí)推力平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將不再受到摩擦塊的干擾。

圖7 摩擦塊施加壓力曲線Fig. 7 Pressurizing curve of the friction block

推力平臺(tái)在擺動(dòng)過(guò)程中，只要其速度不為0且摩擦塊施加的脈動(dòng)壓力存在，都將獲得大小正比于壓力的脈動(dòng)滑動(dòng)摩擦阻力，只是其方向隨推力平臺(tái)擺動(dòng)方向變化而改變。脈動(dòng)摩擦阻尼的作用在于：推力平臺(tái)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)前，當(dāng)Ff≠0時(shí)，推力平臺(tái)的機(jī)械能不斷耗散，使擺動(dòng)幅度衰減；當(dāng)Ff=0時(shí)，推力平臺(tái)處于弱阻尼狀態(tài)，可以跳出或避免由摩擦力造成的死區(qū)，保證穩(wěn)態(tài)角位移大小不受摩擦力的影響。

4 推力平臺(tái)角位移仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

按照?qǐng)D7所示的外加阻尼施加方式，對(duì)推力平臺(tái)的角位移進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖8所示。在50 mN恒定推力，加之脈動(dòng)摩擦阻尼力作用下，推力平臺(tái)的角位移輸出在大約30 s后基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)，比未施加摩擦阻尼時(shí)的動(dòng)態(tài)時(shí)間大大縮短；且脈動(dòng)摩擦阻尼不會(huì)造成系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的角位移偏差，保證了微推力測(cè)量的精度。

圖8 脈動(dòng)阻尼力作用下的角位移Fig. 8 Angular displacement under pulsed friction

為直觀分析脈動(dòng)摩擦阻尼力作用下推力平臺(tái)擺動(dòng)角速度的衰減情況，我們按照前述設(shè)定工況進(jìn)行仿真分析，得到擺動(dòng)角速度和滑動(dòng)摩擦力的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖9所示。由圖可見，推力平臺(tái)處于擺動(dòng)狀態(tài)下，滑動(dòng)摩擦力與擺動(dòng)方向相反并導(dǎo)致擺動(dòng)角速度的幅值逐漸減小。推力平臺(tái)擺動(dòng)受到微推力矩、擺線回復(fù)力矩及摩擦力矩共同作用，在擺動(dòng)速度為0且微推力矩與回復(fù)力矩的合力矩不足以抵消摩擦力矩時(shí)將進(jìn)入死區(qū)，此時(shí)靜摩擦力矩將阻礙推力平臺(tái)繼續(xù)移動(dòng)；由于摩擦塊對(duì)推力平臺(tái)施加的壓力為脈動(dòng)形式且幅值不斷減小，所以摩擦塊提供的摩擦力矩將不能長(zhǎng)時(shí)間維持推力平臺(tái)處于死區(qū)位置，屆時(shí)推力平臺(tái)將繼續(xù)向穩(wěn)態(tài)位置擺動(dòng)，而在推力平臺(tái)移動(dòng)中摩擦力將進(jìn)一步消耗其動(dòng)能，如此往復(fù)，造成推力平臺(tái)角速度幅值不斷衰減，同時(shí)摩擦塊的作用力也逐漸減小直至消失。逐步減小并最終消失的脈動(dòng)摩擦阻尼能夠保證推力平臺(tái)無(wú)摩擦地停留于穩(wěn)定狀態(tài)，且這一狀態(tài)僅由微推力矩與擺線回復(fù)力矩的平衡來(lái)決定，即由式(5)描述的穩(wěn)態(tài)?？梢姡磮D7所示外加阻尼規(guī)律控制摩擦塊作用于推力平臺(tái)，不會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果造成任何影響。

圖9 滑動(dòng)摩擦力與角速度關(guān)系Fig. 9 Correlation between sliding friction and angularvelocity

在實(shí)驗(yàn)室按照上述參數(shù)設(shè)定進(jìn)行了試驗(yàn)，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確性。實(shí)測(cè)在恒定微推力作用30 s時(shí)推力平臺(tái)擺動(dòng)停止，穩(wěn)態(tài)下推力平臺(tái)的停留位置與無(wú)外加摩擦阻尼下的穩(wěn)態(tài)位置重合，證明外加脈動(dòng)阻尼作用沒(méi)有影響三線擺的測(cè)量精度。

三線擺的無(wú)阻尼擺動(dòng)周期只與本身結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，因此確定的三線擺微推力測(cè)量系統(tǒng)具有固定的無(wú)阻尼擺動(dòng)周期。設(shè)計(jì)脈動(dòng)摩擦阻尼參數(shù)時(shí)，需要考慮無(wú)阻尼擺動(dòng)周期（即脈動(dòng)周期），其與摩擦阻尼力的大小都會(huì)影響推力平臺(tái)擺動(dòng)角位移的衰減速度，需要統(tǒng)籌考慮。由圖10可見，脈動(dòng)周期選擇過(guò)小或過(guò)大都不合適，對(duì)確定的系統(tǒng)選擇合適的脈動(dòng)周期才能夠縮短擺動(dòng)平臺(tái)趨穩(wěn)的時(shí)間。

圖10 阻尼脈動(dòng)周期與角位移衰減Fig. 10 Relationship between damping pulsation period and angular displacement attenuation

由圖11可見，摩擦阻尼力的大小也會(huì)影響推力平臺(tái)角位移的衰減速度，適當(dāng)增加阻尼力可以加快角位移的衰減，而選擇過(guò)小的阻尼力可能導(dǎo)致推力平臺(tái)擺動(dòng)衰減的效果不夠明顯。

圖11 脈動(dòng)摩擦力大小與角位移衰減Fig. 11 Relationship between the magnitude of fluctuating friction and angular displacement attenuation

事實(shí)上，脈動(dòng)周期、阻尼力大小以及摩擦塊作用力的波形都會(huì)對(duì)推力平臺(tái)角位移衰減產(chǎn)生影響，選擇脈動(dòng)摩擦阻尼參數(shù)時(shí)需要根據(jù)三線擺微推力測(cè)量系統(tǒng)的固有特性進(jìn)行統(tǒng)籌考慮，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)或仿真調(diào)整優(yōu)化各個(gè)參數(shù)，才能確保正式微推力測(cè)量實(shí)驗(yàn)中收到較好的阻尼效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

利用三線擺測(cè)量微推力時(shí)，為避免推力平臺(tái)長(zhǎng)時(shí)間處于擺動(dòng)狀態(tài)，對(duì)推力平臺(tái)施加額外的摩擦阻尼力可以有效縮短系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間。持續(xù)施加摩擦阻尼力在有效抑制平臺(tái)擺動(dòng)的同時(shí)會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)角位移的偏差，當(dāng)對(duì)推力平臺(tái)施加每個(gè)脈動(dòng)周期內(nèi)最小值為0的摩擦阻尼時(shí)，將在消除穩(wěn)態(tài)角位移偏差的同時(shí)有效衰減擺動(dòng)幅度，加快推力平臺(tái)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的速度。值得注意的是，脈動(dòng)摩擦阻尼參數(shù)，如脈動(dòng)周期、阻尼力大小、摩擦塊作用力波形等都會(huì)對(duì)擺幅衰減效果產(chǎn)生影響，應(yīng)根據(jù)具體情況對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)及優(yōu)化。