☉江蘇省南京民辦實驗學校 肖啟平

單調性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)模型的基礎，它起著承上啟下的作用.不僅如此，對學生而言，函數(shù)的單調性這節(jié)內容具有三個“第一次”的獨特屬性：它是學生第一次系統(tǒng)地研究函數(shù)的性質、第一次進行嚴謹完整的代數(shù)論證、第一次認識“任意”.因此，無論在基本知識層面、研究方法層面還是認識策略層面，函數(shù)的單調性都承載著重要的使命.由此可見，這節(jié)課對教學提出更高的要求，傳統(tǒng)的那種“就課論課”、“只見樹木不見森林”的教學設計方式恐怕很難實現(xiàn)凸顯函數(shù)單調性的核心地位，使學生真正地理解單調性數(shù)學本質的教學目標.

一、整體化教學分析

眾所周知，數(shù)學知識間相互聯(lián)系，具有很強的整體性與連續(xù)性.教師在進行教學分析時不能簡單地停留在對某節(jié)課教材文本的解讀上，而是要站在知識系統(tǒng)的高度，開展“整體化”教學分析.具體而言就是站在章節(jié)、模塊，甚至是數(shù)學課程的高度去認識教學內容，全面地整合教材，連貫地理解目標，突出學科知識的系統(tǒng)性和教學的方向性，從而形成“有生命的、有靈魂的整體的知識”.我們運用“整體化”教學分析就能破解傳統(tǒng)函數(shù)單調性教學設計的瓶頸.

（一）教材層面

知識層面 思想方法教材對于函數(shù)單調性的研究可以分為兩個階段：第一階段，用運算的性質研究單調性，知其變化趨勢；第二階段，用導數(shù)的性質研究單調性，知其變化快慢.本節(jié)內容的學習剛好處于第一個階段，因此，不能急于求成，要關注知識的自然生成.本節(jié)課既是數(shù)學概念課，也是一節(jié)具有重要意義的數(shù)學方法課，揭示了研究函數(shù)性質的“基本套路”，即先借助圖像進行直觀感知，然后通過抽象歸納實現(xiàn)定義提煉的過程.在整個過程中，學生經(jīng)歷了從圖形語言到自然語言，再到符號語言描述的思維過程.不僅如此，為了實現(xiàn)概念的自然建構，對數(shù)學認知策略的教學也是本節(jié)課的重要任務之一.

（二）學生層面

已有經(jīng)驗 思維短板①能夠區(qū)分一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像的幾何特征，知道圖像“上升（下降）”與“函數(shù)值增大（減?。钡年P系；②會利用作差法比較兩個數(shù)字的大小關系；③經(jīng)歷了函數(shù)定義的生成過程，積累了一定地抽象概括的經(jīng)驗.①抽象性水平還比較有限，面對函數(shù)單調性形式化定義的理解存在困難；②初中數(shù)學概念都是以靜態(tài)表述為主，對于單調性這樣動態(tài)概念的表述缺乏經(jīng)驗；③缺乏“無限”與“有限”的轉化經(jīng)驗，對“任意”的理解存在障礙.

通過上述分析，本節(jié)課的教學要加強幾何直觀、注重數(shù)形結合，具體教學設計思路如圖1所示.

圖1

上述教學設計思路也是研究函數(shù)其他性質的基本套路，所以本課時的教學不單是知識的教學，還是以知識的學習為載體，來培養(yǎng)學生研究能力的過程.

二、單元化教學設計

通過“整體化”教學分析，教材的重點與難點得到進一步明確，教學的素材得到了統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，圍繞著上述的思路我們就可以對本節(jié)課進行整體“單元化”的教學設計，具體操作如下.

（一）喚醒舊知，明確主題

問題串1：（1）已知函數(shù)f（x）=2x+1，試比較f（1）、f（2）的大小；

（2）已知函數(shù)f（x）=kx+1，試比較f（1）、f（2）的大??；

（3）已知函數(shù)f（x）=kx+1，如果f（1）>f（2），試比較f（3）、f（4）的大小.

意圖：喚醒學生對于函數(shù)圖像的上升與下降與函數(shù)值變化規(guī)律之間聯(lián)系的認知，感受函數(shù)值變化的復雜性，體會研究函數(shù)性質的必要性，為引出“單調性”的研究主題作鋪墊.

問題串2：（1）請結合圖像，描述一次函數(shù)圖像的變化趨勢與函數(shù)值之間的關系.

（2）請結合圖像，描述二次函數(shù)圖像的變化趨勢與函數(shù)值之間的關系.

意圖：建立形與數(shù)之間的聯(lián)系，讓學生經(jīng)歷從圖形直觀感知到自然語言感性描述的思維過程.

（二）數(shù)學抽象，生成概念

引導學生直觀理解“單調性”的概念：從字面上看“單調”就是簡單的意思，漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化.哼出一段音樂調子：7，6，5，4，3，2，1，再換成6，5，3，3，5，6，5，3，前者給我們單調遞減的感覺，后者則是在變化的.仔細分析后者，我們也會發(fā)現(xiàn)前面三個數(shù)字是單調遞減，中間三個數(shù)字又單調遞增，后面的又單調遞減.因此，研究單調性還要關注“范圍”.

意圖：聯(lián)系生活實例，讓學生對單調性的概念有一個直觀的認識，同時為后面單調區(qū)間的概念作鋪墊.

問題1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，如果f（1）＞f（2），試比較f（3）、f（4）的大小.

思考：（1）能否比較f（3）與f（4）的大??？

（2）如果要比較，需要知道什么？

（3）如何判斷函數(shù)單調性？

問題2：如果能夠畫出函數(shù)圖像就能夠從圖像上觀察得到單調性，但如果函數(shù)圖像無法畫出那怎么辦？

意圖：引發(fā)學生的認知沖突，為單調性形式化定義的提煉作鋪墊.

問題3：如何說明“函數(shù)值隨自變量的增加而增加（減少）”，請舉出例子？

問題4：如何用數(shù)學符號表示“函數(shù)值隨自變量的增加而增加（減少）”？

意圖：對于上述兩個問題的思考，一般分四步走.

第一步，如果當x增大時，y隨x的增大而增大，那么當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2）成立.反之是否成立呢？由此引出問題：在定義域的某個子區(qū)間內取兩個確定的值能否推斷出函數(shù)在該區(qū)間內是增函數(shù)，并舉出反例.

第二步，如果在該子區(qū)間內取無數(shù)個自變量的值是否可以？學生基本上認為這樣做是可以的.此時教師指出：雖然有無數(shù)個值，取其中兩個緊鄰的值，如a，b，在數(shù)軸上將這兩個數(shù)對應的點為端點的線段用放大鏡放大，那么這兩個值就相當于第一步中的x1和x2，所以仍然不足以得出結論.至此，學生思維的積極性被調動起來了.

第三步，綜合前面兩步，只有該區(qū)間內“所有”的自變量都驗證后才能得出結論.

第四步，教師指出需要找“代表”，讓學生繼續(xù)思考怎么表述，學生陷入困境.此時應該由教師引導學生把“所有”轉化為“任意”.

整個教學經(jīng)歷了這樣的建構過程：“兩個——三個——無數(shù)個——所有——兩個代表——任意.”

（三）拓展思維，內化概念

問題1：對于一次函數(shù)、二次函數(shù)，如何迅速判斷其單調性？

意圖：一方面強調數(shù)形結合的重要性，另一方面通過探究，歸納兩個最熟悉的判斷函數(shù)單調性的方法.

問題2：反比例函數(shù)在定義域內是單調的嗎？

意圖：通過觀察圖像，很多學生會誤以為反比例函數(shù)圖像的兩支分別單調因此總體也單調，這需要教師利用特殊值代入與利用定義進行嚴格論證糾正學生的錯誤認知，從而進一步明確單調的判定不能脫離具體的“區(qū)間”.同時，教師可以借助形象生動的語言對上述三個函數(shù)的單調性特征進行描述：一次函數(shù)在定義域內單調——“統(tǒng)一戰(zhàn)線”，二次函數(shù)在定義內有兩種單調性——“一國兩制”，反比例函數(shù)盡管圖像兩支的單調性一致，但它們各自為營——“軍閥割據(jù)”.

三、教學反思

在數(shù)學研究中，建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性.對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規(guī)律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質.上述教學設計的優(yōu)點是從單元教學的整體目標出發(fā)，統(tǒng)攬全局，將教學活動的每一步、每一個環(huán)節(jié)都放到教學活動的大系統(tǒng)中考量，突出教學內容的主線及知識間的關聯(lián)性，而不是片面地突出或者強調某一點.學生不僅獲得函數(shù)單調性的抽象定義，同時也掌握研究函數(shù)性質的一般“套路”.更為重要的是認識到了“任意”的真正內涵，學會了從“無限”向“有限”轉化的數(shù)學思想，實現(xiàn)了數(shù)學知識的融會貫通.

課程標準明確指出：“不要因為高中數(shù)學課程內容劃分成了若干模塊，而忽視相關內容的聯(lián)系.”數(shù)學教材是使學生達到數(shù)學課程標準所規(guī)定的目標要求的內容載體，是將數(shù)學課程概念和數(shù)學課程內容按照一定的邏輯體系和一定的呈現(xiàn)形態(tài)加以展開和具體化的、系統(tǒng)化的材料.整體單元化設計的就是普遍聯(lián)系哲學觀點在數(shù)學教學中的具體應用，它的價值在于從更高觀點對數(shù)學教學中的各要素進行系統(tǒng)的綜合考量.它要求教師破除“教教材”、“就課論課”的思維慣性，立足學生的認知規(guī)律，通過重組優(yōu)化教學內容從而達到整體建構知識網(wǎng)絡的目標.