☉湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 孫婉芬 姜 國(guó)

圓錐曲線是高中解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，為了幫助學(xué)生克服這一重難點(diǎn)內(nèi)容，關(guān)于圓錐曲線的研究是很有必要的.許多學(xué)者對(duì)圓錐曲線的定義、性質(zhì)展開(kāi)了廣泛的討論，得出一些有趣結(jié)論.如：文2給出了圓錐曲線與準(zhǔn)線頂點(diǎn)有關(guān)的統(tǒng)一性質(zhì).文3證明了過(guò)圓錐曲線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)的直線平分相關(guān)角的性質(zhì).文4得到了圓錐曲線焦點(diǎn)與準(zhǔn)點(diǎn)的幾個(gè)有趣性質(zhì).文6和文7分別利用代數(shù)方程與線性變換的方法證明了雙曲線漸近線相關(guān)的一個(gè)性質(zhì).文8利用從特殊到一般的思想，證明了有心圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì).另有部分學(xué)者對(duì)圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了總結(jié)歸納，如文1和文5.基于以上研究，本文利用數(shù)形結(jié)合思想，從代數(shù)方程入手，討論了過(guò)焦點(diǎn)直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題，得到幾個(gè)有關(guān)角平分線的重要結(jié)論及定理.

結(jié)論1：過(guò)焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，Q是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，結(jié)論顯然成立.下面給出直線與x（y）軸不垂直的情形證明：

情形1（焦點(diǎn)在x軸上）：設(shè)橢圓的方程為（a>b>0），過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）（或F（-c，0））的直線y=k（x-c）（或y=k（x+c））交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q（x0，0）是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，其中如圖1，則∠AQB被x軸平分.

圖1

證明：先證過(guò)右焦點(diǎn)的直線.

記交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）.

消去y得（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+（a2c2k2-a2b2）=0.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證過(guò)左焦點(diǎn)的直線.

情形2（焦點(diǎn)在y軸上）：設(shè)橢圓的方程為（a>b>0），過(guò)焦點(diǎn)F（0，c）（或F（0，-c））的直線y=kx+c（或y=kx-c）交橢圓于A，B，點(diǎn)Q（0，y0）是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，其中則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形1，在此從略.

結(jié)論2：過(guò)焦點(diǎn)F的直線交雙曲線同側(cè)一支于A，B兩點(diǎn)，Q是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時(shí)，由雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)論顯然成立.下面給出直線與x軸（或y軸）不垂直的情形證明：

情形3（焦點(diǎn)在x軸上）：設(shè)雙曲線的方程為過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）（或F（-c，0））的直線y=k（x-c）（或y=k（x+c））交雙曲線同側(cè)一支于A，B兩點(diǎn)，Q（x0，0）是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，其中，如圖2，則∠AQB被x軸平分.

圖2

證明：先證過(guò)右焦點(diǎn)的直線.

設(shè)交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證過(guò)左焦點(diǎn)的直線.

情形4（焦點(diǎn)在y軸上）：設(shè)雙曲線的方程為1，過(guò)焦點(diǎn)F（0，c）（或F（0，-c））的直線y=kx+c（或y=kx-c）交雙曲線同側(cè)一支于A，B，點(diǎn)Q（0，y0）是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，其中，則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形3，在此從略.

注：交點(diǎn)A，B不在同一支時(shí)，∠AQB被焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線平分，如圖3.

結(jié)論3：過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，Q是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.

特別地，直線垂直于x軸（或y軸）時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性結(jié)論顯然成立.下面給出直線與x軸（或y軸）不垂直的情形證明：

圖3

情形5（焦點(diǎn)在x軸上）：設(shè)拋物線的方程為y2=2px（或y2=-2px）（p>0），過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B，點(diǎn)Q（x，0）0是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，其中，如圖4，則∠AQB被x軸平分.

圖4

證明：先證過(guò)橫坐標(biāo)為正的焦點(diǎn)的直線.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

又∠AQF，∠BQF均為銳角，

所以∠AQF=∠BQF，得證.

類似可證橫坐標(biāo)為負(fù)的焦點(diǎn)的直線.

情形6（焦點(diǎn)在y軸上）：設(shè)拋物線的方程為x2=2py（或x2=-2py）（p>0），過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B，點(diǎn)Q（0，y）0是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，其中則∠AQB被y軸平分.

證明：證明類似情形5，在此從略.

由上討論可得如下定理：

定理：過(guò)焦點(diǎn)F的直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，Q是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)，則∠AQB被x軸（或y軸）平分.（特別地，對(duì)于雙曲線，交點(diǎn)A，B位于同一支曲線上）

例1（2018年湖北理科卷）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，如圖5，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

由結(jié)論1知，∠AMB被x軸平分，即∠OMA=∠OMB.