黃新旭

摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)姆蠢粌H能加深學(xué)生對概念、定理、公式的理解與運用，還有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。本文從反例的概念著手，借助調(diào)研結(jié)果，研討反例運用所存在的問題，剖析反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

關(guān)鍵詞：反例；問題；作用；思維

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1004-7344（2018）30-0037-02

1 引 言

在現(xiàn)實的學(xué)習(xí)及實踐中，我們有如此的經(jīng)歷：當(dāng)對某問題苦思而無果時，從反面切入，常能茅塞頓開，獲得驚喜性的成功。又或，要否定一個命題，只要舉出一個滿足命題條件，而不滿足命題結(jié)論的例子就行了。這在數(shù)學(xué)中稱為舉反例。G·波利亞說：“類比和反例是獲得發(fā)明的偉大源泉。”在學(xué)習(xí)日常中，我們會總結(jié)出一系列的結(jié)論，而當(dāng)結(jié)論是錯誤的，那么舉出反例就可以推翻。

同樣，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，某些數(shù)學(xué)知識學(xué)生僅從正面去思考會很模糊，然構(gòu)建適當(dāng)?shù)姆蠢Ｄ苁盏匠龊跻饬系奶鸸?，學(xué)生既深刻地理解了知識，又培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì)。故，僅靠正面示范，沒有反例的參照，無法凸顯知識的本真，對知識的理解就會失真。

2 反例的概念

數(shù)學(xué)中的反例，是指符合命題的條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子。簡稱，反例就是一個指出某命題不成立的例子。從廣義上來講，所有的例子都可稱為反例，因為它總可以推出某命題不成立。反例教學(xué)是指在概念、定理等教學(xué)過程中，教師有針對地構(gòu)建看起來正確而實質(zhì)完全錯誤的解答，進一步巧妙地引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、頓悟、歸納出錯誤，最終得出正確結(jié)論的教學(xué)方法。

精準(zhǔn)說來，反例教學(xué)法中的反例是指教師在教學(xué)實踐中，收集的典型例題的典型誤解、重要知識點的典型錯誤認識。然而，如果反例龐雜，則學(xué)生反而會被引入歧途，倘若是教師信手拈來的反例，那么其意義就很微小，因此，反例必須具體有典型性、精準(zhǔn)性、簡煉性。

3 運用反例的調(diào)研

貴州大學(xué)附屬中學(xué)始建于1947年，目前是一所全日制封閉精細管理的貴州省屬中學(xué)，含有初高中數(shù)學(xué)教師24名。通過對這24名教師進行問卷調(diào)查得出以下結(jié)論，如表1～4。

4 目前數(shù)學(xué)反例使用存在的主要問題

①新課標(biāo)對反例沒有具體要求，關(guān)于反例的考題基本沒有；②教師認為反例的作用微乎其微缺乏運用反例的意識；③教師對反例的了解甚少，無法有效的把反例運用于教學(xué)中；④教師構(gòu)造反例的能力低，不能系統(tǒng)地教給學(xué)生構(gòu)造反例的方法；⑤關(guān)于反例的資料缺乏，獲取反例的渠道單一，主要從教材及教材參考書和自己的經(jīng)驗獲取；⑥大部分的教師都是在平時教學(xué)過程中少量的穿插使用反例。

5 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

5.1 反例可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念及原理的理解

教學(xué)中，概念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，學(xué)生往往對一些關(guān)鍵性詞句、條件理解不透徹，看不到本質(zhì)，只是機械地強記。如果遇到名稱相似或結(jié)構(gòu)相類似的知識點，就會混淆得一塌糊涂。

例1：不少學(xué)生片面地認為函數(shù)就是：一個變量隨著另一個變量的變化而變化，它們就是函數(shù)關(guān)系，可提出這兩個例子：

（1）人的體重與年齡成函數(shù)關(guān)系嗎？

（2）若y=clt x·tan x，則y是x的函數(shù)嗎？

解析：①學(xué)生認為體重隨年齡的增加而增加，因而構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。實際上，年齡無法確定體重，即當(dāng)年齡發(fā)生變化時，體重沒有確定的值和它對應(yīng)，故不符合函數(shù)的定義。②學(xué)生認為y=cot x·tan x=1，故y不是x的函數(shù)。實際上對每一個定義域內(nèi)的x值，y總有唯一確定的值（y=1）和它對應(yīng)，只不過y的值始終不變罷了，因此是函數(shù)。

5.2 反例是一種糾正錯誤的常用辦法

反例之所以被稱為反例，是因為糾錯是它最凸顯的也是最根本的作用。講授習(xí)題上，舉反例是反駁與糾正錯誤的有效方法，是學(xué)生加強學(xué)習(xí)的有力武器。面對學(xué)生解題中所出現(xiàn)的共性錯解，教師可以示以反例，曲中窺直，用反例說明解法有誤，從而引導(dǎo)學(xué)生去找到錯誤的根源，最終讓師生共同品嘗成功的“蛋糕”。

例2：若a=A，b=B，則a+B=A+B，反之是否成立？

解析：反之不成立。顯然直接說明不好入手，借助反例：若a=6，b=4，則a+b=10，若A=2，B=8，則A+B=10，但是a≠A，b≠B。

5.3 借助反例可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題

課本中的例題所提供的解題思路清楚明確，學(xué)生只需機械記憶與模仿，長此以往會使學(xué)生缺乏勇于探索、質(zhì)疑的能力。為了補缺，在例題講授中教師設(shè)置適當(dāng)反例，故意制造陷阱，讓學(xué)生透過現(xiàn)象，看到問題的本質(zhì)，養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)的品質(zhì)。例如在講授分式方程的解法時，書本都是給出解方程的規(guī)范步驟，而照本宣科的教學(xué)不易發(fā)現(xiàn)問題，同時學(xué)生也懶得去探索、發(fā)現(xiàn)。巧用反例，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)漏洞，自主發(fā)現(xiàn)，獲得正確的結(jié)論。

面對這樣的反例，學(xué)生的興趣就提上來了，一眼就能發(fā)現(xiàn)錯誤的原因是去分母時方程右邊漏乘了（x-1）。通過這個反例，加深了學(xué)生去分母不要漏乘的印象。

5.4 反例可以培養(yǎng)學(xué)生思維的多重維度

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，從而正確地解答數(shù)學(xué)問題，并能優(yōu)化其他問題的解決。新課標(biāo)明確指出：“發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心。”思維的縝密性、靈活性、發(fā)散性、深刻性、創(chuàng)新性都是思維重要的品質(zhì)。根據(jù)中學(xué)生的心理特點和學(xué)科自身的特點，運用反例培養(yǎng)這些思維品質(zhì)是一個行之有效的方法。設(shè)置巧妙的反例，能讓學(xué)生學(xué)會多維度考慮問題，靈活思維。然而，構(gòu)造反例的方法并不是唯一的，需要學(xué)生對所學(xué)知識有透徹的理解，充分挖掘數(shù)學(xué)功底，展開想象，故構(gòu)造反例的過程也是學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的訓(xùn)練過程。

例4：帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。

5.5 反例可以極速解題的速度

反例的學(xué)習(xí)和運用可以提高我們的數(shù)學(xué)能力，優(yōu)化解題過程，并在日積月累中提高解題速度。反例教學(xué)實際上是教師為了清晰學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識過程中的模糊印象，亂套公式等毛病所挖的坑。通過正反對比，構(gòu)造極端的反差，使學(xué)生對錯誤留下極為深刻印象，從而，降低再犯類似的錯誤的幾率，最終使學(xué)生對所學(xué)知識得到進一步鞏固升華。

例5：在學(xué)習(xí)反比例時可舉出反例：倩倩總共要背18首詩，問已經(jīng)背的和沒背的數(shù)是否成反比例？

解析：“對的”，顯然這些學(xué)生沒有充分掌握成反比例的條件：兩個量的乘積為定植。這個題是兩個量的和一定，學(xué)生頓時豁然開朗，

5.6 反例是鑒別假命題簡易的方法

反例是否定一個命題的絕佳手段。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生通過類比或歸納等方法得到一些看似正確實則錯誤的結(jié)論，要否定它，反例是一種行之有效的利器。判斷一句話（或一個結(jié)論）的真?zhèn)?，首?dāng)其充的方法就是構(gòu)造反例。這是由反例本身的特性決定的，在澄清是非，揭示黑白，否定命題時它具有直觀、簡明、說服力強等特點。

例6：負數(shù)就是在一個數(shù)的前面加一個負號。

解析：許多理解不清的學(xué)生認為是對的，只要亮出反例，如果是負數(shù)，在它的前面加一個負號就變成了一個正數(shù)了。再如果是0，在0的前面加個負號還是0。

5.7 教學(xué)相長的助推

教學(xué)包含教師的教與學(xué)生的學(xué)兩部分。教學(xué)離不開教師和學(xué)生這兩個相對主體，在教學(xué)中，教師不僅是講授者和組織者，也是參與討論的一位，學(xué)生的思維“動”起來后，他們在研究問題的廣度和深度上可能會超越教師，使教師和學(xué)生之間能相互學(xué)習(xí)。反例在教學(xué)中雖處于次要地位或輔助教學(xué)地位，但它是培養(yǎng)學(xué)生主動性和能力的一種途徑，它有利于教師更有效地教授知識，也有利于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)各類知識，達到雙贏的局面。

例7：兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？

6 結(jié)束語

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時地引入一些反例或啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認識上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，有助于他們掌握并能靈活運用。教師根據(jù)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生容易出錯的地方，開展反例教學(xué)，講解精選的反例，往往能引起學(xué)生內(nèi)心的共鳴，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，使認識與體驗相融合，打破對數(shù)學(xué)的慣性思維：“枯燥、繁瑣、難如登天”，激勵其上進的欲望，并形成學(xué)好數(shù)學(xué)的堅定信念，癡于與數(shù)學(xué)談一場永不分手的戀愛。

參考文獻

[1]B.R.蓋爾鮑姆，J.M.H.奧姆斯特得.分析中的反例[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983.

[2]鐘啟泉.教學(xué)模式論[M].上海：上海教育出版社，1998.

[3]劉永振.數(shù)學(xué)方法[Ml.沈陽：遼寧人民出版社，1985.

[4]馮素芬.試論數(shù)學(xué)反例及其構(gòu)造[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2003，2（3）.

[5]林武成.反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2005（6）.

[6]張鑫浩，盧 蕊，華 芳.反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].鎮(zhèn)江高專學(xué)報，2005（1）.

[7]石賽英.數(shù)學(xué)反例（特例）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用——兼談如何構(gòu)造數(shù)學(xué)反例（特例）[J].中學(xué)教研，2003（6）.

收稿日期：2018-9-23