安春霖

【摘 要】函數(shù)的思想是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題.

【關鍵詞】函數(shù)思想；一元二次函數(shù)；數(shù)學模型

就中學數(shù)學而言，函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的. 函數(shù)思想主要有：（1）引入變量，確定函數(shù)關系；（2）選定主元，揭示函數(shù)關系；（3）選取變元，構造函數(shù)關系；（4）實際問題，建立函數(shù)關系；（5）特殊函數(shù)，轉化函數(shù)關系。下面我們結合幾個具體的例子來看看函數(shù)思想在高中數(shù)學中的具體應用。

例1.已知 ，（ 、 、 ），則有（ ）

A. B. C. D.

【點 撥】解法一通過化簡，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點： 看作是方程 的一個實根，再利用一元二次方程有根的充要條件 求得；解法二轉化為 是 、 的函數(shù)，運用重要不等式解題.

【解答過程】解法一：依題設有

∴ 是實系數(shù)一元二次方程 的一個實根；∴

∴ 故選B.

解法二：去分母，移項，兩邊平方得：

∴ 故選B.

【易錯點】不能合理地轉化為 是 、 的函數(shù)或構造 來解題。

例2.已知 ，若關于 的方程 有實根，則 的取值范圍 .

【點撥】求參數(shù) 的范圍，可以先將 分離出來，表示為 的函數(shù)，求出函數(shù)的值域，進而得到參數(shù) 的范圍。

【解答過程】方程即 ，

即

當 時， 變?yōu)?，故 無解

當 時， 變?yōu)?，故

當 時， 變?yōu)?，故 無解

總之， 的取值范圍是

例3.已知函數(shù) .

（1）求函數(shù) 的單調區(qū)間和極值；

（2）已知函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象關于直線 對稱，證明當 時， ；

（3）如果 ，且 ，證明 .

【點撥】（1）利用導數(shù)，列出表格，求函數(shù)的單調性與極值；（2）首先根據(jù)對稱性求出 的解析式，再構造函數(shù) ，轉化為只需利用單調性證明 ；（3）首先判斷 的范圍，再利用前兩問的結論單調性，要證 ，只需證

【解答過程】（1）解： ，令 ，解得

當 變化時， ， 的變化情況如下表：

1

+ 0 -

極大值

所以 在 內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù)。

函數(shù) 在 處取得極大值 。

（2）證明：由題意可知 ，得

令 ，即 于是

當 時， ，從而 ，由 ， ，從而函數(shù) 在 是增函數(shù)。

又 ，所以 時，有 ，即 .

（3）證明：1）若 ，由（1）及 ，則 與 矛盾。

2）若 由（1）及 ，則 與 矛盾。

根據(jù)1），2）得 ，不妨設

由（Ⅱ）可知， ，則 ，所以 ，從而 .因為 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù)，所以 ，即 。

【易錯點】（1）在運用導數(shù)的四則運算法則求導數(shù)時容易出錯；（2）在構造函數(shù) 上存在問題；（3）在做第3問時，不知道合理利用前2問的結論。

例4.已知雙曲線以兩條坐標軸為對稱軸，焦點在y軸上。它的實軸長為2sinq（ ≤q≤ ），又這雙曲線上任意一點P（x，y）到定點M（1，0）的最短距離為 ，求該雙曲線離心率的取值范圍。

【點 撥】雙曲線方程可設為 =1，解題的首要環(huán)節(jié)是以點P的坐標為變量建立|PM|的函數(shù)表達式，并用b，sinq表示其最小值，爾后由題設可建立b和sinq之間的關系式，把離心率e表示成b或sinq的函數(shù)，研究它的取值范圍。

【解題過程】設雙曲線方程為 =1。

|PM|2=（x-1）2+y2=（x-1）2+sin2q（1+ ）=（1+ ）x2-2x+1+sin2q

∵ x∈R，∴ |PM|2的最小值為1+sin2q- ，因此1+sin2q- = ，即b2= . 由b2>0，及 ≤q≤ ，得

函數(shù)思想作為中學數(shù)學的主線，其思想的高瞻性、應用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性確定了它在高考數(shù)學試卷中函數(shù)的比重仍然很大，不僅會出現(xiàn)有關函數(shù)性質巧妙組合的小題，而且會出現(xiàn)融入各方面知識的函數(shù)的壓軸題，考查學生推理、論證的能力，以適合高校選拔人才的需要。

函數(shù)思想是對問題建立函數(shù)模型，并利用函數(shù)概念和性質解決問題的重要方法。函數(shù)思想是高中數(shù)學中的一種重要思想方法，有意識地滲透函數(shù)思想，有助于提高學生的思維品質，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，為進入大學進一步學習高等數(shù)學打好基礎。通過以上幾個例題說明了函數(shù)思想在高中數(shù)學解題中的廣泛應用，表明了在高中數(shù)學學習中滲透函數(shù)思想的重要性。

（作者單位：沁陽市第一中學高三（5）班）