摘 要:對(duì)無(wú)窮小和無(wú)窮小階的比較的理解是掌握極限理論的關(guān)鍵對(duì)同一極限過程下的一組無(wú)窮小,抽象的階的比較往往使初學(xué)者難以接受。本文考慮在課堂上講授這一部分時(shí)運(yùn)用類比,力圖將無(wú)窮小階的比較過程形象地呈現(xiàn)出來。這一類比也可用于對(duì)無(wú)窮大及其階的比較的課堂講授。
關(guān)鍵詞:無(wú)窮小階的比較;類比
一、無(wú)窮小及其階的比較
無(wú)窮小量,即無(wú)窮小,指在自變量的某一變化過程下趨于零的函數(shù)。在微積分的發(fā)展過程中,人們對(duì)無(wú)窮小量的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過程,這與極限理論的遭遇密切相關(guān):無(wú)窮小是極限理論中最使人難以接受的部分,對(duì)當(dāng)時(shí)的人們來說,它似乎帶有某種“神秘氣氛”,見[1]。無(wú)窮小的定義是“如果一個(gè)量的絕對(duì)值能變得小于任意選定的無(wú)論怎樣小的量,則說它能變?yōu)闊o(wú)窮小”,正是這個(gè)說法,引出了一般極限定義的ε.δ語(yǔ)言,毋庸諱言,”某量的絕對(duì)值小于任意選定的無(wú)論怎樣小的量”表達(dá)成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言(即無(wú)窮小的ε.δ定義)仍困擾著今天的初學(xué)者,而無(wú)窮小階的比較,則是在自變量的某變化過程下,比較出不同無(wú)窮小趨于零的相對(duì)快慢。這個(gè)比較過程,在教科書中是考慮這些無(wú)窮小量的比值在自變量的該變化過程下的極限(可參見任一本微積分教材,如文獻(xiàn)[2]):
二、用類比法講授“無(wú)窮小量階的比較”過程
極限理論對(duì)初學(xué)者往往較難理解,這源于極限概念(ε.δ語(yǔ)言)的抽象性和高度的動(dòng)態(tài)性:據(jù)說這是一個(gè)有四個(gè)邏輯層次的雜邏輯結(jié)構(gòu),[3]而中學(xué)的數(shù)學(xué)對(duì)象多是靜態(tài)的,即使略顯抽象,也可在數(shù)次”親密”接觸后形成印象.但對(duì)于ε.δ語(yǔ)言,即使靠”死記硬背闖關(guān)了”,理解起來仍無(wú)所適從,基于此,人們?cè)脑鞓O限概念的表達(dá)方式,提出所謂非ε語(yǔ)言定義來代替ε.δ語(yǔ)言,[3]這種做法,不會(huì)降低學(xué)生的理解難度,甚至可以說,有意繞開極限理論的精髓反而加大了以后學(xué)習(xí)的難度,最終還是要返回去重新理解ε.δ語(yǔ)言。那么,怎樣才能讓初學(xué)者對(duì)ε.δ語(yǔ)言形成一個(gè)基本印象呢? 由前述的極限定義的 ε.δ語(yǔ)言和無(wú)窮小之間的關(guān)聯(lián),即正是無(wú)窮小的定義,引出了極限定義的ε.δ語(yǔ)言,筆者認(rèn)為,講授這一部分時(shí),通過對(duì)某一動(dòng)態(tài)過程的類比考察,形象的再現(xiàn)無(wú)窮小及其階的比較經(jīng)過,對(duì)于初步理解極限定義的ε.δ語(yǔ)言大有裨益。
設(shè)定一個(gè)長(zhǎng)跑比賽的場(chǎng)景,假設(shè)沿一個(gè)800米跑道跑下去,以終點(diǎn)作為各運(yùn)動(dòng)員在比賽過程”要趨于”的點(diǎn):這就對(duì)應(yīng)于若干同一過程下的極限過程。經(jīng)過最初的幾圈,參賽隊(duì)員依實(shí)力就會(huì)自然地形成梯隊(duì),各梯隊(duì)的組成人員隨著比賽的繼續(xù)是相對(duì)固定的,而且相鄰梯隊(duì)相距很遠(yuǎn)。這時(shí),我們可以認(rèn)定,前面梯隊(duì)的人員”趨于”終點(diǎn)的速度要遠(yuǎn)大于其后梯隊(duì)的人員,而在梯隊(duì)內(nèi)部,運(yùn)動(dòng)員們的速度是相差不多的(否則就會(huì)沖到前一梯隊(duì)或掉出該梯隊(duì)而拉到后面梯隊(duì))。
在這個(gè)場(chǎng)景下,回到無(wú)窮小量階的比較上。若將比賽的終點(diǎn)視為極限值0,在比賽過程中,每一個(gè)運(yùn)動(dòng)員都在趨于終點(diǎn),也就是說參賽的運(yùn)動(dòng)員都可視為相應(yīng)的無(wú)窮小。我們先考慮處于不同梯隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員,顯然,如前述,屬于前面梯隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員要遠(yuǎn)快于其后梯隊(duì)的,如果比較前面梯隊(duì)中人員的速度和其后梯隊(duì)人員的速度,在前面梯隊(duì)接近終點(diǎn)時(shí),可以認(rèn)為對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小接近極限值0,對(duì)應(yīng)的,其后的梯隊(duì)距終點(diǎn)還有很長(zhǎng)一段,對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小還遠(yuǎn)未接近0,那么這個(gè)比的極限就是0,我們稱作為分子的無(wú)窮小較作為分母的無(wú)窮小高階,對(duì)應(yīng)到場(chǎng)景中就是前面梯隊(duì)的速度遠(yuǎn)大于后面梯隊(duì)的。在同一個(gè)梯隊(duì)中,不同運(yùn)動(dòng)員之間的速度也有差異,除非二者”并駕齊驅(qū)”,否則,這個(gè)相對(duì)速度之比會(huì)趨于一個(gè)非零常數(shù),這時(shí)我們可稱位于同一梯隊(duì)中的運(yùn)動(dòng)員相對(duì)靜止,這類比于兩個(gè)無(wú)窮小量是同階的,而若這個(gè)比值趨于1,對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)員”并駕齊驅(qū)”,那么這兩個(gè)無(wú)窮小量就是等價(jià)無(wú)窮小了。以上過程中若將終點(diǎn)類比成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么比賽過程就可想象為無(wú)窮大量的階的比較過程,不同的,由于是趨于無(wú)窮遠(yuǎn),當(dāng)相應(yīng)的極限為0時(shí),類比的情形是,極限過程下,分母遠(yuǎn)大于分子。此時(shí)稱分母為較分子高階的無(wú)窮大,反過來也可以稱分子為較分母低階的無(wú)窮大,類似可有其他結(jié)論。
三、其他
對(duì)應(yīng)于某無(wú)窮小較另一無(wú)窮小低階,場(chǎng)景中就是后面梯隊(duì)的速度低于前面梯隊(duì)的;而當(dāng)兩運(yùn)動(dòng)員”并駕齊驅(qū)”時(shí),他們的速度當(dāng)然是可以互換的,這就可聯(lián)系接下來的等價(jià)無(wú)窮小替換了。
四、結(jié)論
本文用長(zhǎng)跑比賽中的梯隊(duì)現(xiàn)象類比無(wú)窮小(大)階的比較過程,可幫助初學(xué)者呈現(xiàn)比較的經(jīng)過,理解這一過程及極限定義的ε.δ語(yǔ)言。
參考文獻(xiàn):
[1]齊民友.重溫微積分[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,1999.
[3]張景中.教育數(shù)學(xué)探索[M].成都:四川教育出版社,1994.
作者簡(jiǎn)介:曹志杰,男,博士,三峽大學(xué)理學(xué)院講師。