張宗慶，馬樹(shù)元，宋寧冉

(北京理工大學(xué)，北京 100081)

0 引 言

大行程、高精度是定位平臺(tái)追求的目標(biāo),而磁懸浮直線電動(dòng)機(jī)是滿足這一要求的途徑之一。直線電動(dòng)機(jī)磁懸浮力與水平推力由氣隙磁場(chǎng)決定，而定子線圈平面精度直接影響氣隙磁場(chǎng)形態(tài)與大小。因此，定子線圈平面精度是影響直線電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)穩(wěn)定性的重要因素之一[1]。

直線電動(dòng)機(jī)是磁懸浮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)的電磁驅(qū)動(dòng)裝置，永磁同步直線電動(dòng)機(jī)可以看作是永磁同步旋轉(zhuǎn)電機(jī)沿徑向剖開(kāi)，直線電動(dòng)機(jī)的縱向、法向和橫向與旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)周向、徑向和軸向一一對(duì)應(yīng)。基于David L.Trumper對(duì)永磁直線電動(dòng)機(jī)框架結(jié)構(gòu)和原理的分析[2]，Won-Jong Kim建立的基于Halbach永磁陣列的直線電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)解析模型成為許多學(xué)者進(jìn)行直線電動(dòng)機(jī)電磁分析的理論基礎(chǔ)[3]。周贛等在對(duì)Halbach陣列磁場(chǎng)解析計(jì)算和諧波分析的基礎(chǔ)上[4]，對(duì)Halbach型直線電動(dòng)機(jī)執(zhí)行器的特點(diǎn)進(jìn)行分析，并提出其電磁力方程[5]。宋玉晶則在考慮端部效應(yīng)的基礎(chǔ)上建立無(wú)鐵心式永磁同步直線電動(dòng)機(jī)推力模型[6]。支凡等通過(guò)建立永磁直線電動(dòng)機(jī)推力諧波解析模型，并將低推力波直線電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則應(yīng)用于直線電動(dòng)機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，降了低推力波動(dòng)[7]，王斐然等則提出最優(yōu)初級(jí)長(zhǎng)度從而抑制了永磁直線電動(dòng)機(jī)的推力波動(dòng)[8]。潘開(kāi)林等分析了永磁直線電動(dòng)機(jī)磁阻力產(chǎn)生的原因，并提出相應(yīng)的抑制永磁直線電動(dòng)機(jī)磁阻力削弱的措施[9-10]。

對(duì)于直線電動(dòng)機(jī)，目前學(xué)者研究側(cè)重點(diǎn)在于Halbach 磁體結(jié)構(gòu)，對(duì)線圈研究較少，文獻(xiàn)[2-11]中很多定子繞組均采用環(huán)型線圈表面纏繞結(jié)構(gòu)。Han-Sam Cho根據(jù)線圈陣列與永磁陣列相互作用的平面驅(qū)動(dòng)原理，提出了一種多組一維線圈陣列和一個(gè)二維永磁陣列所組成的動(dòng)線圈式平面電機(jī)[11]。此后，不少學(xué)者對(duì)平面電機(jī)有了較為深入的研究，諸如文獻(xiàn)[13-15]。平面電機(jī)所用線圈類型有圓形線圈、同心環(huán)形線圈、魚(yú)骨形線圈等，定子有帶鐵心和無(wú)鐵心之分。

謝虎等采用漆包線粘接成平面線圈并進(jìn)行了電磁分析[15]，徐偉等對(duì)凸型Halbach陣列的永磁直線電動(dòng)機(jī)磁場(chǎng)進(jìn)行分析[16]。在此工作的基礎(chǔ)上，本文對(duì)線切割平面線圈Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)進(jìn)行電磁分析，并進(jìn)一步驗(yàn)證其優(yōu)良性。

1 磁懸浮直線電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)

在磁懸浮系統(tǒng)中，直線電動(dòng)機(jī)一般由固定的平面線圈作為定子，浮動(dòng)的凸型Halbach永磁陣列(固定于工作平臺(tái)上)為動(dòng)子。直線電動(dòng)機(jī)依靠Halbach永磁陣列的磁場(chǎng)與通電平面線圈產(chǎn)生的勵(lì)磁磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生的電磁力進(jìn)行驅(qū)動(dòng)[15]。

磁懸浮Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)模型如圖1所示，IA,IB′,IC,IA′,IB,IC′為三相對(duì)稱正弦電流，磁塊上所標(biāo)箭頭表示磁塊充磁方向，4個(gè)方向?yàn)橐恢芷?。分段的凸型永磁體來(lái)構(gòu)成Halbach 永磁陣列，形成較理想化的空間正弦分布磁場(chǎng)。永磁陣列的磁場(chǎng)與通電平面線圈產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生電磁浮力[16]，將永磁陣列懸浮至控制高度0.5 mm；同時(shí)產(chǎn)生電磁推力，在線圈固定的情況下，工作平臺(tái)將沿著行波磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的方向作直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)永磁直線電動(dòng)機(jī)的線圈平面精度達(dá)不到設(shè)計(jì)精度時(shí)，將會(huì)直接影響磁懸浮定位平臺(tái)的精度及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

圖1磁懸浮Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)模型

對(duì)交流線圈繞組，一般要求三相繞組對(duì)稱，電動(dòng)勢(shì)和磁動(dòng)勢(shì)的波形接近正弦波，機(jī)械強(qiáng)度高，散熱好，絕緣性能可靠，制造工藝簡(jiǎn)單。傳統(tǒng)環(huán)形線圈在加工制造過(guò)程中的不對(duì)稱，會(huì)導(dǎo)致各相線圈的互感不相等，引起端部效應(yīng)；制造過(guò)程中不易保證線圈平面的平面度，影響電機(jī)的平穩(wěn)工作，無(wú)法滿足高精度的需求。特別是對(duì)于磁懸浮直線電動(dòng)機(jī)，由于沒(méi)有懸浮方向的約束，線圈平面在懸浮方向的精度直接影響電機(jī)在懸浮方向上的平穩(wěn)性。

本文設(shè)計(jì)了平面線圈結(jié)構(gòu)，由線切割加工而成，通過(guò)加工精度的控制保證三相繞組的對(duì)稱性，最大限度地克服端部效應(yīng)的影響，并保證線圈平面優(yōu)良的平面度。在裝配時(shí)采取彎折措施，利于配線組裝。為使線圈平面獲得更高的平面度，還可在組裝后做磨削加工，然后對(duì)表面進(jìn)行絕緣處理。

2 平面線圈電磁分析

2.1 平面線圈邊界磁矢勢(shì)分析

永磁直線電動(dòng)機(jī)電磁分析模型如圖2所示。其中fx為水平X方向電磁推力，用于在X方向平臺(tái)實(shí)現(xiàn)指定位移；x0為永磁體相對(duì)于定子的水平位移；fz為懸浮Z方向磁懸浮力,用于將工作平臺(tái)懸浮至指定高度并保持；z0為空氣間隙厚度；Δ為永磁體的厚度；Γ1為平面線圈厚度;l為永磁陣列周期長(zhǎng)度；字母a～h表示物體的邊界；IA,IB′,IC,IA′,IB,IC′為三相對(duì)稱正弦電流；J為電流密度；磁塊上所標(biāo)箭頭表示磁塊充磁方向，4個(gè)方向?yàn)橐恢芷凇?/p>

圖2 永磁直線電動(dòng)機(jī)模型圖

在平面線圈電流IA,IB′,IC,IA′,IB,IC′區(qū)域內(nèi)，磁矢勢(shì)方程：

(1)

在平面線圈內(nèi)泊松方程的特解：

(2)

式中：kn為表面電流線密度；μ0為真空磁導(dǎo)率。

平面線圈邊界f和g的磁場(chǎng)：

(3)

在平面線圈區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁矢勢(shì)關(guān)系：

(4)

(5)

邊界h和g磁矢勢(shì)關(guān)系：

(6)

(7)

求解式(1)～式(7)，可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

可得空氣間隙上表面d的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

(12)

可得平面線圈邊界e的磁矢勢(shì)：

(13)

2.2 平面線圈電磁力分析

平面線圈中的磁通量確定以后才能得到其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)斯托克司定理可知，平面線圈磁通量可用磁矢勢(shì)表示：

(14)

平面線圈的磁場(chǎng)周期為L(zhǎng)，相數(shù)為φ1,ω為線圈長(zhǎng)度，平面線圈磁通量φ：

(15)

(16)

式中：η0為線圈電流密度。

電流密度J的Fourier可表示：

(17)

磁矢勢(shì)：

(18)

則平面線圈磁通表達(dá)式：

(19)

從式(19)可得，平面線圈磁通量φ與線圈厚度Γ和磁場(chǎng)周期L有關(guān)。

在直線電動(dòng)機(jī)電磁功率確定之后，才能確定直線電動(dòng)機(jī)的水平驅(qū)動(dòng)力fx和懸浮力fz與平面線圈結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

直線電動(dòng)機(jī)機(jī)械功率PM：

PM=vxfx+vzfz

(20)

在工作時(shí)，直線電動(dòng)機(jī)電磁功率PE轉(zhuǎn)化為機(jī)械功率PM，采用平面線圈的直線電動(dòng)機(jī)，電磁功率PE：

(21)

做以下假設(shè)： 平面線圈電流密度Jz在z方向正弦分布；對(duì)電磁功率影響較小的高次諧波忽略不計(jì)；只考慮對(duì)電磁功率影響較大的基波。得Jz表達(dá)式：

Jz=(Ja+jJb)e-jk1z+(Ja-jJb)e-jk-1z

(22)

將式(22)代入式(21)并根據(jù)關(guān)系式(23)：

γ-1=γ1=k-1=k1

(23)

可得電磁功率PE：

PE=μ0M0Ge-γ1x0{vx[Jasin(γ1z0)-Jbcos(γ1z0)]-

vz[Jacos(γ1z0)+Jbsin(γ1z0)]}

(24)

直線電動(dòng)機(jī)輸入電磁功率PE和輸出機(jī)械功率PM相等(能量守恒定律)，綜合以上各式可得：

(25)

式中：μ0M0及γ1均為永磁體物理常量；線圈厚度Γ和電流密度J的關(guān)系：

(26)

由式(25)和式(26)可得:

(27)

由式(27)可知，當(dāng)永磁陣列參數(shù)確定后，平面線圈輸入電流I，厚度Γ和線圈磁場(chǎng)周期L共同決定了直線電動(dòng)機(jī)的磁懸浮力fz與水平推力fx，在線圈磁場(chǎng)周期L和厚度Γ確定的情況下，磁懸浮力fz與水平推力fx只由電流I決定。

3 線圈的設(shè)計(jì)和制作

線圈組裝后如圖3所示。直線電動(dòng)機(jī)在定子和動(dòng)子的磁場(chǎng)周期相等時(shí)才能正常工作，由凸形[1]Halbach永磁陣列周期長(zhǎng)度為24 mm，可得平面線圈每一相的寬度應(yīng)該為24 mm/6=4 mm。根據(jù)前面分析及直線電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)力要求，結(jié)合磁懸浮系統(tǒng)工作平臺(tái)運(yùn)動(dòng)需求，線圈厚度設(shè)為1 mm，采用雙層結(jié)構(gòu)，上下兩層串聯(lián)，三相繞組Y型連接。兩端孔是為方便連線。考慮到導(dǎo)電性以及成本因素，材料選擇紫銅?？紤]到實(shí)際永磁陣列的制造、安裝等誤差，以及線圈的制造、安裝絕緣處理等誤差，留有間隙，以抵消實(shí)際誤差，達(dá)到永磁陣列的周期與線圈周期相匹配。利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量本文線圈的平面度為0.084 7 mm，較之前所用線圈的平面度有較大改善[15]。

圖3 線圈組裝圖

4 平面線圈有限元仿真分析

為了對(duì)設(shè)計(jì)的直線電動(dòng)機(jī)的電磁特性進(jìn)行進(jìn)一步分析，采用COMSOL軟件建立了線圈的2D有限元模型，并設(shè)定如表1所示的相關(guān)參數(shù)，分析得到的線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布如圖4所示。根據(jù)磁懸浮平臺(tái)的設(shè)計(jì)懸浮高度，在0.5 mm處產(chǎn)生的行波磁場(chǎng)如圖5所示?？梢钥闯?，本文研究的平面線圈繞組磁場(chǎng)，特別是接近中間工作區(qū)域，正弦性接近理想形態(tài)，加之較高的平面精度，適合作為系統(tǒng)Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)的定子繞組使用。

表1 平面線圈有限元仿真參數(shù)

圖4 線圈的2D有限元模型磁場(chǎng)強(qiáng)度分布圖

圖5 0.5 mm處產(chǎn)生的行波磁場(chǎng)

5 直線電動(dòng)機(jī)有限元分析仿真

為求得直線電動(dòng)機(jī)電磁密度進(jìn)而得到系統(tǒng)的電磁力，需要對(duì)直線電動(dòng)機(jī)進(jìn)行電磁分析。COMSOL基于洛倫茲力法求解電磁力，即把通電平面線圈當(dāng)作載流設(shè)備，可得通電平面線圈在水平X方向和懸浮Z方向所受的洛倫茲度密度，基于洛倫茲力密度公式F=J×B，即可得平面線圈所受的磁懸浮力和水平推力，即為磁懸浮系統(tǒng)的磁懸浮力fz與水平推力fx。

建立平面線圈凸形Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)的模型并導(dǎo)入COMSOL，如圖6所示。

圖6平面線圈直線電動(dòng)機(jī)有限元仿真模型

COMSOL分析過(guò)程中，相關(guān)常數(shù)及參數(shù)如表2所示。

表2 直線電動(dòng)機(jī)COMSOL仿真參數(shù)

建立好直線電動(dòng)機(jī)的仿真模型, 定義有限元網(wǎng)格、 選擇求解器和可視化結(jié)果之后，得到如圖7所示結(jié)果。

圖7 直線電動(dòng)機(jī)有限元仿真磁場(chǎng)強(qiáng)度分布圖

在COMSOL后處理中，選擇所有的線圈進(jìn)行求解域積分，得到通電線圈的在Z方向和X方向洛倫茲力密度系數(shù)分別為59.745 N/m和33.028 N/m，乘以平面線圈與永磁陣列作用的有效長(zhǎng)度0.04 m，可得線圈所受到的洛倫茲力：懸浮Z方向2.389 8 N，水平X方向1.321 N，根據(jù)作用力與反作用力原理，直線電動(dòng)機(jī)永磁陣列受到的懸浮力fz為2.389 8 N,水平推力fx為1.321 N。

在對(duì)直線電動(dòng)機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)仿真時(shí)，為簡(jiǎn)化仿真模型，并沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和永磁阻尼器的重量與影響，此時(shí)運(yùn)動(dòng)部件的重量為0.21 kg，即所受的重力：

G=mg=2.058 N

(28)

由仿真結(jié)果及式(28)可知，當(dāng)平面線圈厚度為1 mm時(shí)，磁懸浮力fz=2.389 8 N>G,能夠滿足磁懸浮系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)要求，此時(shí)fx=1.321 N，能夠滿足磁懸浮系統(tǒng)加速度要求。同時(shí)仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了采用平面線圈的凸形Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)的正確性。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了用以改進(jìn)磁懸浮平臺(tái)Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)定子平面精度的線切割平面線圈，在制作工藝和線圈平面的平面度方面有較大提升，而且易于裝配。針對(duì)所設(shè)計(jì)的線圈，利用有限元方法分析了電磁特性分析。結(jié)果表明平面線圈繞組磁場(chǎng)正線性接近理想形態(tài)，適合作為系統(tǒng)Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)的定子繞組使用。因此，Halbach永磁直線電動(dòng)機(jī)中，使用本文設(shè)計(jì)的線切割平面線圈，能夠使電機(jī)運(yùn)行更平穩(wěn)，改善磁懸浮平臺(tái)的精度及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。