李 陽，趙志文

在統(tǒng)計學(xué)研究中，部分缺失數(shù)據(jù)一直是統(tǒng)計學(xué)家值得研究的問題.文獻［1］研究了兩點分布的相關(guān)知識，得到了如何估計產(chǎn)品的合格率，種子的發(fā)芽率和兩種產(chǎn)品的某種指標(biāo)是否相等的問題.文獻［2］通過對產(chǎn)品壽命的研究，得到了具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個指數(shù)的總體參數(shù)估計以及假設(shè)檢驗問題.文獻［3］通過對混合指數(shù)分布總體的研究，得到了不同場合下的混合指數(shù)分布總體的參數(shù)估計.文獻［4］在定數(shù)截尾下，利用樣本獲得估計量，并計算其收斂速度.

1 矩估計及其漸近性

假設(shè)混合兩點分布的密度函數(shù)為f(x,q,γ1,γ2)=

其中，取γi＞0(i=1,2)為第一個總體的未知參數(shù)，分別對兩個混合兩點分布進行n次獨立觀測，觀測時，每一個樣本以1-p的概率缺失.第一個總體觀測值為(Xi,δi)，i=1,2,…,n，其中，Xi表示第一個混合兩點分布總體的第i個樣本觀測值，若第i個樣本值丟失時，記δi=0，否則記δi=1.

下面考慮用矩估計的方法對未知參數(shù)p1,p2進行估計.建立矩估計方程為

解此方程得

同理，θi＞0(i=1,2)為第二個總體的未知參數(shù)，第二個總體觀測值為(Zi,ηi)，其中，Yi表示第二個混合兩點分布總體的第i個樣本觀測值，若第i個樣本值丟失時，記ηi=0，否則記ηi=1.得到另一組觀測值(Zi,ηi) 后，得到η1,η2的矩估計

對于如上參數(shù)γi(i=1,2) ，θi(i=1,2)的矩估計，有下面的相合性和漸近正態(tài)性.

證明 {Xiδi，1≤i≤n} 為獨立同分布隨機變量序列，由強大數(shù)定律知a.s.，其中，同理可得

定理2 在上述記號下，有

同理，令

2 兩總體參數(shù)相等的檢驗及其兩總體參數(shù)之差的漸近置信區(qū)間

在實際中獲得兩組樣本，那么這兩組樣本是否來自于一個總體一直是我們關(guān)心的問題.因此，可以把一問題理解為檢驗兩個總體參數(shù)是否相 等.研 究 的 假 設(shè) 檢 驗 為H0:γ1-θ1=0?H1:γ1-θ1≠0 ，G0:γ2-θ2=0?G1:γ2-θ2≠0.

表1 模擬結(jié)果

定理3（檢驗統(tǒng)計量）若為參數(shù)γ1的矩 估計，為參數(shù)θ1的矩估計，則

下面研究 Δ 的漸近置信區(qū)間，令 Δ1=γ1-θ1.對 于 0＜α＜1，令ξα滿足于是得α給定的置信區(qū)間，漸近置信區(qū)間Δ1為

同理，得Δ2=γ2-θ2的漸近置信區(qū)間.

3 隨機模擬

置信水平取為α=0.95.n=100為樣本量，缺失概率為1-P=0.10時的模擬結(jié)果如表1所示.其中，參數(shù)差的絕對值為分別表示參數(shù)γ1，γ2以及參數(shù)θ1，θ2的估計的偏差，覆蓋率(C.P) 為 | Δ|置信區(qū)間以及的平均值為隨機模擬500次的結(jié)果，覆蓋率則為隨機模擬500次的覆蓋率.

4 結(jié)論

本文首先給出混合兩點分布的密度函數(shù)，并利用矩估計的方法證明估計的相合性以及漸近正態(tài)性；其次，討論混合兩點分布參數(shù)相等的假設(shè)檢驗，給出檢驗統(tǒng)計量及其分布，進而得到了兩個總體參數(shù)之差的置信區(qū)間；最后對模型進行隨機模擬，結(jié)果表明文中方法具有可行性.通過對該方法的研究，為今后研究數(shù)據(jù)缺失問題打下了基礎(chǔ).