趙 臨 龍

(安康學院數學與統(tǒng)計學院，陜西 安康 725000)

0 序 言

對于三元一階線性微分方程組：

(1)

一般都是用基解矩陣，先求出方程組(1)對應的齊次方程組的解，再利用常系數變異法求出方程組(1)的解，這些方法都比較繁瑣.[1-14]文獻[15]對于n元一階線性齊次微分方程組的解法進行研究，得到相關結論.本文將對三元一階線性非齊次微分方程組解法進行深入討論，給出其解的本質結構.

1 方程組(1)的解結構

對于方程組(1)，設x=(x1,x2,x3)T，f=(f1,f2,f3)T，K=(k1,k2,k3)，其中k1,k2,k3是不全為零的常數，使得

(4)

(k1a12+k2a22+k3a32)x2+(k1a13+k2a23+k3a33)x3+(k1f1+k2f2+k3f3).

(5)

令

k1a1i+k2a2i+k3a3i=λki(i=1,2,3,λ為常數)

(6)

(7)

定義1對于常系數線性方程組(1)，設U=(k1,k2,k3)T，其中k1,k2,k3是不全為零的常數，使得

(A-λE)TU=0?UT(A-λE)=0,

(8)

則方程A-λE=0稱為方程(1)的特征方程，而將滿足(8)的K=(k1,k2,k3)稱為特征根λ所對應的特征“行向量”.

結論1[15]設n階矩陣A的特征根λ的重數為m,則方程組(1)對于常數列向量u1的m-1個廣義列向量ui(i=1,2,…,m)滿足

(9)

結論2[3]設m階矩陣A的特征根λ的重數為m,則

(A-λE)m=0.

(10)

定理1如果常系數線性齊次方程組(1)的特征方程(A-λE)=0有3個互異的特征根λ1,λ2,λ3，而λ1,λ2,λ3對應的線性無關的特征行向量分別為Ki=(ki1,ki2,ki3)(i=1,2,3)，則(1)化為代數線性方程組

(i=1,2,3).

(11)

定理2如果常系數線性齊次方程組(1)的特征方程A-λE=0有特征重根λi(i=1或2),其重數分別為m1,m2,m1+m2=3，而對應的線性無關的特征行向量為Km,Km-1(m=2或3)，則(1)化為一階線性齊次方程

(12)

其中特征根λi對應特征行向量為Ki.

證明：若方程組(1)的特征方程A-λE=0特征根為λi，對應的線性無關的特征行向量Ki=(ki1,ki2,ki3)(i=1,2,3)滿足

(13)

則有代數線性方程

, (i=1,2,3).

(14)

即定理1獲得證明.

現在，若方程組(1)的特征方程A-λE=0特征根λ為m重根，由結論1，得方程

(A-λE)um=0.

(15.1)

(A-λE)um-1=um.

(15.2)

對于方程組(1)的齊次形式x′=Ax，在(15.2)中，其線性無關的解xm-1=um-1eλt、xm=umeλt(m=2或3)滿足方程

λExm-1+xm, (m=2或3).

(16)

1° 對于(A-λiE)xm=0(i=1或2)，由定理1將方程組(1)化為一階線性方程形式

(Kixm)′=λi(Kixm)+Kif,

(17)

其中特征根λi的對應特征行向量為Ki，i=1或2.

2° 對于(A-λiE)xm-1=xm(m=2或3,i=1或2)，則

λixm-1+xm,

(m=2或3;i=1或2),

(18)

其中xm(m=2或3)為滿足(17)的解.

(A-λiE)mum-1=0, (m=2或3).

(19)

對于特征根λi，取對應線性無關的特征行向量為Km-1,有：

Km-1(A-λiE)m=0, (m=2或3，i=1或2).

(20)

于是，有方程

,(m=2或3).

(21)

(Km-1xm)′=λi(Km-1xm)+Km-1(A-λiE)xm-1+

Km-1f.

(22)

此時，由(2°)得到

(Km-1xm-1)′=λi(Km-1xm-1)+Km-1xm+Km-1f,

(m=2或3,i=1或2),

(23)

其中xm為滿足(17)的解.

即方程組(1)的化為以下形式

(23)

其中特征根λi對應特征行向量為Ki,m=2或3，i=1或2.證得定理2.

此時，由Ki(A-λiE)m=0(i=2或3)確定Ki.

(1)若(A-λiE)2≠0(i=1)，在(23)中，取Km與Km-1(m=2或3)構成線性無關的行向量，即可.

(2)若(A-λiE)2=0(i=1)，由結論，在(23)中，直接取取Km與Km-1(m=2或3)構成線性無關的行向量，即可.最簡單的是直接取單位分向量.

推論如果常系數線性齊次方程組(1)的特征方程A-λE=0有特征根λ重數為3，而對應的線性無關的特征行向量為K，若(A-λE)2=0，則(1)化為一階線性齊次方程

(24)

其中KI為取單位分向量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)即可.

2 方程組(1)解理論的應用

例1[4]解方程組

解 由特征方程A-λE=-(λ-1)(λ+2)(λ+3)=0，得到特征根λ1=-1,λ2=-2,λ3=-3.

設λ1=-1所對應的特征行向量K1=(k11,k12,k13)滿足

k11-6k13=0,k11+k12-11k13=0,k12-5k13=0.

求得K1=(6,5,1)，有方程

(6x1+5x2+x3)′ =K1Ax+K1f

=-6x1-5x2-x3+e-t，

6x1+5x2+x3=C1e-t+te-t.

(1.1)

設λ2=-2所對應的特征行向量K2=(k21,k22,k23)滿足

2k21-6k23=0,k21+2k22-11k23=0,k22-4k23=0.

求得K2=(3,4,1)，有方程

(3x1+4x2+x3)′ =K2Ax+K2f

=-6x1-8x2-2x3+e-t,

3x1+4x2+x3=C2e-2t+e-t.

(1.2)

設λ3=-3所對應的特征行向量K3=(k31,k32,k33)滿足

3k31-6k33=0,k31+3k32-11,k33=0,k32-3k33=0.

求得K3=(2,3,1)，有方程

(2x1+3x2+x3)′ =K3Ax+K3f

=-6x1-9x2-3x3+e-t,

(1.3)

由(1.1)、(1.2)、(1.3)，得到初始條件：x(0)=o的方程組

于是，求得原微分方程組的解

.

例2[3]解方程組

解 由特征方程A-λE=-(λ+1)3=0，得到特征根λ1=λ2=λ3=-1.

設λ1=-1所對應的特征行向量K1=(k11,k12,k13)滿足

k11-k13=0,k11+k12-3k13=0,k12-2k13=0.

求得K1=(1,2,1)，有方程

(x1+2x2+x3)′ =K1Ax+K1f

=-(x1+2x2+x3)+(t-5)e-t,

(2.1)

設λ2=-1所對應的特征行向量K2=(k21,k22,k23)滿足

=(k21,k22,k33)0=0.

(x1+x2)′ =K2Ax+K2f=x2+x3

=-(x1+x2)+(x1+2x2+x3)

x2= (C2-C3)e-t+(C1-C2)te-t-C1t2e-t+

(2.2)

再取K3=(1,0,0)，有方程

(x1)′ =K3Ax+K3f=x2=-x1+(x1+x2)

(2.3)

由(2.1)、(2.2)、(2.3)，得到方程組的解

例3[13]解方程組

解 由特征方程A-λE=-(λ-3)3=0，得到特征根λ1=λ2=λ3=3.

設λ1=3所對應的特征行向量k1=(k11,k12,k13)滿足

k11+k12=0.

求得k1=(1,-1,0)，有方程

(x1-x2)′=3x1-3x2=3(x1-x2),

x1-x2=C1e3t.

(3.1)

設λ2=3所對應的特征行向量k2=(k21,k22,k23)滿足

(x3)′=K2Ax=3x3,

x3=C2e3t.

(3.2)

再取單位分向量k3=(1,0,0)，有方程

(x1)′=K3Ax=2x1+x2+2x3=3x1-(x1-x2)+

2x3=3x1-C1e3t+2C2e3t,

C1te3t+2C2te3t.

(3.3)

由(3.1)、(3.2)、(3.3)，得到方程組的解

同樣，可得到解(3.3).

3 理論的推廣

結論1如果常系數線性非齊次方程組

(25)

的特征方程(A-λE)=0有n個互異的特征根λ1,λ2,…,λn，而λ1,λ2,…,λn對應的線性無關的特征行向量分別為Ki=(ki1,ki2,…,kin)(i=1,2,…,n)，則方程組(25)化為方程組

(Kix)′=λi(Kix)+Kif(i=1,2,…,n),

(26)

其中特征根λi對應特征行向量為Ki,i=1,2,…,n.

結論2如果常系數線性非齊次方程組(25)的特征方程A-λE=0有不同的特征根λ1,λ2,…,λm,其重數分別為n1,n2,…,nm,n1+n2+…+nm=n，而λ1,λ2,…,λm對應的線性無關的特征行向量分別為Ki=(ki1,ki2,…,kin)(i=1,2,…,m)，則(25)

化為方程組

(27)

其中特征根λi對應特征行向量為Ki,i=1,2,…,m.