任 劍，王堅強，成鵬飛，胡春華

(1.湖南商學院 新零售虛擬現(xiàn)實技術(shù)湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410205；2.湖南商學院 湖南省移動電子商務協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 長沙 410205；3.中南大學 商學院，湖南 長沙 410083；4.湖南科技大學 商學院，湖南 湘潭 411201)

0 引言

在實際決策中，由于對象的復雜性、環(huán)境的不確定性和認知的不完全性，決策者在刻畫模糊數(shù)的隸屬度時常猶豫不決。一些學者致力于程式化、規(guī)范化現(xiàn)象。Torra[1]提出猶豫模糊集，指出猶豫模糊數(shù)的可能隸屬度是[0,1]的一個子集;Xu等[2]給出猶豫模糊集的形式化定義，探討其距離和相似度的測算方法;Rodríguez等[3]采用一個有限、有序、連續(xù)的語言標度子集表示猶豫模糊語言集;Lin等[4]提出由猶豫模糊語言數(shù)和可能隸屬度組成的猶豫模糊語言集，前者為一個語言標度，后者為上的一個非空有限子集;Meng等[5]提出由猶豫模糊語言數(shù)和可能隸屬度的元組組成的猶豫模糊語言集，并定義混合信息集成算子;Liao等[6]給出猶豫模糊語言集的距離和相似度測算方法;Wang等[7]構(gòu)建了猶豫模糊語言集的Outranking關(guān)系分析方法，允許偏好關(guān)系間具有不可比性和非傳遞性，以解決信息失真問題;Wang等[8]提出區(qū)間猶豫模糊語言集,猶豫模糊語言數(shù)的可能隸屬度為若干個上的區(qū)間數(shù)的集，并定義信息集成算子;Lee等[9]定義了猶豫模糊語言集的可能度比較關(guān)系和信息集結(jié)算子。猶豫模糊語言集能較好地刻畫定性、定量均不確定的決策信息，已應用于群決策[10]或多準則決策[11]問題求解。上述成果從問題情境出發(fā)，提出不同種類的猶豫模糊語言集并進行特定處理，沒有提出統(tǒng)一的概念范疇和計算方法，缺乏對其共同特征及關(guān)聯(lián)關(guān)系的深入分析。

近年來，得分函數(shù)在模糊多準則決策中被廣泛運用。Chen等[12]利用得分函數(shù)處理基于Vague集的模糊多準則決策問題;Liu等[13]在點算子和估值函數(shù)的基礎上，提出得分函數(shù)來解決直覺模糊多準則決策問題;徐澤水[14-15]定義了區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)，并提出得分矩陣;Chen[16]基于點算子提出樂觀得分函數(shù)和悲觀得分函數(shù)，并設計出結(jié)果導向的直覺模糊多準則決策方法;Wang等[17]將交叉熵引入得分函數(shù)的定義中;Chen等[18-19]將區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)應用于多準則群決策中;Pei等[20]在直覺模糊集的得分函數(shù)中考慮了隸屬度和非隸屬度的相對重要系數(shù);Wang等[21]定義了區(qū)間直覺模糊集的前景得分函數(shù);Chen等[22]總結(jié)并定義了直覺模糊集和區(qū)間直覺模糊集的加權(quán)得分函數(shù);Wu等[23]定義了區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)的得分期望函數(shù);Agarwal等[24]定義了泛化直覺模糊軟集的得分函數(shù);Wang等[25]在得分函數(shù)中考慮心理參數(shù)，以反映決策者的風險態(tài)度;Hu等[26]定義了二型猶豫模糊集的得分函數(shù)。上述研究主要集中在直覺模糊多準則決策領域，通過隸屬度和非隸屬度間的差異來描述得分函數(shù)。語言標度的下標值是猶豫模糊語言集的重要參數(shù)，反映了評價結(jié)果的優(yōu)劣程度，通過對語言標度的下標值進行集結(jié)，能夠較好地定義不同猶豫模糊語言集的得分函數(shù)。

目前，復雜模糊多準則群決策已經(jīng)成為研究熱點，主要有語言模糊多準則群決策[27]、直覺模糊多準則群決策[28]、中智模糊多準則群決策[29]、二型模糊多準則群決策[30]、畢達哥拉斯模糊多準則群決策[31]、猶豫模糊多準則群決策[32]、猶豫模糊語言多準則群決策[33]等，這些研究對經(jīng)典模糊集的值域或隸屬度進行了拓展。模糊混合多準則群決策是一種更復雜的群決策問題，“混合”主要表現(xiàn)為兩種情形：①利用不同決策方法的特性進行組合決策[34]；②準則值為不同類型的不確定性信息[35]?，F(xiàn)實中，由于知識經(jīng)驗和習慣偏好的差異，不同的領域?qū)＜铱赡懿捎貌灰粯拥莫q豫模糊語言集表示準則賦值，并給出不一樣的專家權(quán)重向量或準則權(quán)重向量，針對這一復雜決策情形，目前還缺乏相關(guān)研究。

綜上所述，現(xiàn)有的猶豫模糊語言混合多準則群決策研究沒有提出普適性較強的統(tǒng)一決策模型，且欠缺對不同形式的專家權(quán)重向量或準則權(quán)重向量的綜合分析，不利于該理論的推廣和應用。因此，本文針對各領域?qū)＜业牟煌袨槠茫C合考慮不同類型的猶豫模糊語言集，統(tǒng)一定義廣義猶豫模糊語言集，并對其性質(zhì)、運算等進行系統(tǒng)研究，兼顧不同形式的專家權(quán)重向量或準則權(quán)重向量，提出一種基于得分函數(shù)與排序得分的混合多準則群決策方法。

1 廣義猶豫模糊語言集

1.1 語言標度集

在語言模糊決策時，決策者通常利用L′對方案進行賦值，運用L″對方案賦值進行運算[37]。一些學者探討了拓展語言標度集的模糊語義表征和語言語法規(guī)則[38]。

為方便后續(xù)運算，定義符號⊕，?，?表示語言標度之間、清晰數(shù)與語言標度之間、區(qū)間數(shù)與語言標度之間的加、減、乘運算；符號+，-，·，/，∑表示清晰數(shù)之間、清晰數(shù)與區(qū)間數(shù)之間[39]、區(qū)間數(shù)與區(qū)間數(shù)之間[39]的加、減、乘、除、連加運算。

1.2 廣義猶豫模糊語言集的定義

定義1廣義猶豫模糊語言集(GHFLS)。X={xi|i∈M={1,2,…,m}}是一個論域，H={hk|hk∈[0,1]∨hk?[0,1],k∈N={1,2,…,n}}是一個可能隸屬度集，hk(k∈N)為清晰數(shù)或區(qū)間數(shù)，則稱LGHFLS={xi,{?H,j∈T′}|xi∈X}是一個GHFLS，其中：j表示對稱語言標度集中元素的下標值，表示L′中下標值為j的元素，Hij表示對應的可能隸屬度集，?H,j∈T′}表示廣義猶豫模糊語言數(shù)集(GHFLNS)(i∈M)。

設G(·)是一個集合的基數(shù)函數(shù)，LGHFLNS存在以下4種常見情形：

顯然，情形2是情形3的特殊情況。

本文重點討論以上4種常見情形。GHFLS可以是不同情形的混合。

1.3 廣義猶豫模糊語言集的運算

設有兩個GHFLS：

2 廣義猶豫模糊語言集的得分函數(shù)

2.1 廣義猶豫模糊語言集得分函數(shù)的定義

在定義5中，當W未知時，可假設wi=1/m(i∈M)。

定義6LGHFLS的得分函數(shù)記為S(LGHFLS)，

定義7LGHFLS的加權(quán)得分函數(shù)記為SW(LGHFLS)，

定義6是定義7的特殊情況，即W未知時，假設wi=1/m(i∈M)。

本節(jié)在探討GHFLS的得分函數(shù)時，始終考慮論域的影響，而不只考慮GHFLNS，具有較嚴密的數(shù)理邏輯。

2.2 廣義猶豫模糊語言集得分函數(shù)的性質(zhì)

(1)S(LGHFLS)∈[-t′,t′]或者S(LGHFLS)?[-t′,t′]。

(2)SW(LGHFLS)∈[-t′,t′]或者SW(LGHFLS)?[-t′,t′]。

若出現(xiàn)清晰數(shù)和區(qū)間數(shù)混合的情況，則按下述方法處理：

(1)清晰數(shù)之間可直接比較大小。

(2)區(qū)間數(shù)之間可采用可能度排序方法比較大小。

(3)清晰數(shù)和區(qū)間數(shù)之間可利用以下方法比較大?。孩倥袛嗲逦鷶?shù)是否在區(qū)間數(shù)界限內(nèi)；②若不在，則根據(jù)清晰數(shù)、區(qū)間數(shù)的上限、區(qū)間數(shù)的下限比較大?。虎廴粼冢瑒t區(qū)間數(shù)大于清晰數(shù)的可能度為(區(qū)間數(shù)上限-清晰數(shù))/區(qū)間數(shù)的長度，且區(qū)間數(shù)小于清晰數(shù)的可能度為(清晰數(shù)-區(qū)間數(shù)下限)/區(qū)間數(shù)的長度。

3 基于得分函數(shù)與排序得分的混合多準則群決策方法

3.1 問題描述

3.2 決策過程

為求解準則權(quán)重向量、專家權(quán)重向量為清晰數(shù)、區(qū)間數(shù)或未知數(shù)且方案賦值為廣義猶豫模糊語言集的混合型多準則群決策問題，提出基于得分函數(shù)與排序得分的決策方法，具體步驟如下。

步驟1利用定義4，求得ek認為在ai下的S(xkij)，將GHFLDMk轉(zhuǎn)化為GHFLSDM，記為GHFLSDMk=(ykij)m×n，其中ykij=S(xkij)，k∈Q，i∈M，j∈N。

步驟3根據(jù)SW(xki)或者S(xki)是否為區(qū)間數(shù)進行處理：若是區(qū)間數(shù)，則利用可能度矩陣比較大小；若是清晰數(shù)，則直接比較大小(k∈Q，i∈M)。

步驟4根據(jù)步驟3的比較結(jié)果，確定ek認為ai的排序(k∈Q，i∈M)。

步驟5通常，ek認為ai排在第δki位的排序得分通過Rk(ai)=m-δki+1計算(1≤Rk(ai)≤m，k∈Q，δki,i∈M)[40]，排序得分越高，方案越優(yōu)；為了拉開排序得分的差距，更好區(qū)分方案的優(yōu)劣，根據(jù)模糊Borda法[41]，求得Rk(ai)=(m-δki)·(m-δki+1)/2，(0≤Rk(ai)≤(m-1)·m/2，k∈Q，δki,i∈M)；基于不同的方案個數(shù)、排序位置，前述兩個公式所求取的排序得分如圖1所示，R1表示第1個公式的計算結(jié)果，R2表示第2個公式的計算結(jié)果，顯然，R2的變化幅度與區(qū)分性能強于R1。

步驟6根據(jù)WE的不同取值情形，計算各個方案的綜合排序得分。

步驟7比較R(ai)的大小，確定ai的最終排序(i∈M)。

4 實例計算與分析

表1 廣義猶豫模糊語言決策矩陣GHFLDM1

表2 廣義猶豫模糊語言決策矩陣GHFLDM2

表3 廣義猶豫模糊語言決策矩陣GHFLDM3

表4 廣義猶豫模糊語言決策矩陣GHFLDM4

將以上矩陣轉(zhuǎn)化為GHFLSDMk，求得ek認為ai在C下的SW(xki)或S(xki)(k∈Q={1,2,…,4}，i∈M={1,2,3}，j∈N={1,2,…,4})，如表5所示。

表5 加權(quán)得分函數(shù)值SW(xki)或得分函數(shù)值S(xki)

為了檢驗方法的可行性和有效性，對本文方法與文獻[4-6,8]方法獲得的ek算出的ai排序結(jié)果進行比較(k∈Q，i∈M)，如表6所示。

表6 排序結(jié)果比較

對于每位專家，本文方法得到與文獻[4-6,8]方法一致的排序結(jié)果，但具有以下優(yōu)點：能處理不同類型的猶豫模糊語言集，且兼顧各專家給出的不同情形的準則權(quán)重向量；得到e3,e4的排序結(jié)果均有可能度信息，更利于決策。因此，本文方法更具普適性。

求得ek認為ai排在第δki位的Rk(ai)(0≤Rk(ai)≤3，k∈Q，i∈M)，如表7所示。

表7 排序得分Rk(ai)

求得ai在C下的R(ai)(i∈M)：R(a1)=0.4，R(a2)=0.6，R(a3)=3.0。

ai的最終排序(i∈M)為a3?a2?a1。

上述計算結(jié)果R2和決策步驟5中第一個公式的計算結(jié)果R1如圖2所示，顯然R2對企業(yè)信用水平的區(qū)分度強于R1。

為更好地對比分析，運用一種常見的多準則群決策方法——逼近于理想解的排序技術(shù)(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS)[42]求解本例，具體步驟如下：

步驟1根據(jù)嵌套關(guān)系，對每個專家決策矩陣中的各個元素進行線性加權(quán)求和→平均→求和→平均，得到信息集結(jié)專家決策矩陣。

步驟2對每個信息集結(jié)專家決策矩陣求取正理想點ai+和負理想點ai-(i∈M)，如表8所示。

表8 正理想點ai+與負理想點ai-

表9 加權(quán)距離與

表10 相對接近度

步驟5根據(jù)專家權(quán)重，計算每個企業(yè)的綜合相對接近度，記為CRCD(ai)(i∈M)：CRCD(ai)=0.307 1,CRCD(a2)=0.376 3,CRCD(a3)=0.768 2。

步驟6根據(jù)綜合相對接近度，得到企業(yè)的最終排序a3?a2?a1。

本文方法與TOPSIS的排序結(jié)果一致，但具有以下優(yōu)點：綜合排序得分比綜合相對接近度的數(shù)值區(qū)分度更大；無需求解正理想點、負理想點及加權(quán)距離等中間變量，計算步驟清晰、過程簡便；區(qū)間準則權(quán)重向量無需轉(zhuǎn)化為清晰數(shù)向量，較好減少了信息損失；區(qū)間數(shù)排序結(jié)果附有可能度信息，更有利于決策。

綜上可知，本文方法針對本例決策情形時更具優(yōu)勢。

5 結(jié)束語

本文首先統(tǒng)一考慮各類猶豫模糊語言集，定義了GHFLS及其等于、包含于、補、交、并、差、笛卡爾積等運算，然后定義了GHFLS的得分函數(shù)并探討了其性質(zhì)，進一步提出一種基于得分函數(shù)與排序得分的混合多準則群決策方法。最后，應用于新能源汽車零配件小微企業(yè)的信用水平綜合評估，計算與分析顯示該方法具有以下特點：①方案的準則值可為不同類型的猶豫模糊語言集，具有較好的普適性；②準則權(quán)重和專家權(quán)重可為清晰數(shù)、區(qū)間數(shù)或未知數(shù)，且各專家給出的準則權(quán)重可不相同；③排序結(jié)果穩(wěn)定性較高，通過可能度信息，可更好支持決策。對于一個猶豫模糊語言決策矩陣中準則值為不同類型的猶豫模糊語言數(shù)集的群決策問題，本文方法同樣適用，這將在后續(xù)研究中探討。另外，鑒于安相華等[44]考慮準則關(guān)聯(lián)情形，將廣義證據(jù)推理模型應用于多準則群決策問題中，取得了協(xié)同性較好的評價結(jié)果，筆者擬在廣義猶豫模糊語言多準則群決策的后續(xù)研究中考慮準則關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實普遍性，并拓展廣義證據(jù)推理模型的應用范圍。