陳小星

（第七一五研究所，杭州，310023）

拖曳線列陣聲吶具有孔徑大、可變深、拖船噪聲干擾小等優(yōu)點，因此被廣泛使用。但在拖船回轉(zhuǎn)及減速過程中其陣形姿態(tài)變化很大，對其安全使用操作帶來一定的困難。本文以Ablow[1]和Milinazzo[2]提出的纜索運(yùn)動數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，對拖線陣的回轉(zhuǎn)及減速過程進(jìn)行了數(shù)值計算，并與實測數(shù)據(jù)進(jìn)行比對。

1 纜索運(yùn)動模型

拖線陣一般由3段不同的纜索組成，分別為拖纜、線陣、尾繩。為簡化計算，將纜索視為細(xì)長、柔性的圓截面纜；不考慮纜索的伸長；只承受拉力而不考慮扭轉(zhuǎn)、彎曲等因素。

1.1 坐標(biāo)系變換

如圖1所示，設(shè)固定坐標(biāo)系為(x,y,z)，x表示初始航行方向，z表示垂向方向。纜索坐標(biāo)系為(t,n,b)，t、n、b互相垂直，t表示纜索的切向方向，沿拖船方向為正，n為纜索的法向法向，b平行于x-y平面。

圖1 拖線陣拖曳狀態(tài)圖

兩個坐標(biāo)系之間通過歐拉角(α,β,γ)相互關(guān)聯(lián)。令β=π/2，則兩個坐標(biāo)系之間的變換矩陣為

其相互轉(zhuǎn)換公式為

按照Ablow和Milinazzo的纜索模型,建立纜索的動力學(xué)以及運(yùn)動關(guān)系，可用如下的方程表示：

上述公式中，T為纜索張力；Vt、Vn、Vb為纜索在局部坐標(biāo)系(t,n,b)下的速度；α為纜索的偏航角，γ為纜索的縱傾角；m為單位長度纜索的質(zhì)量；m1為單位長度纜索的虛擬質(zhì)量；d為纜索的直徑；w為單位長度纜索的水中重量，ρ為流場的密度；Ct和Cn分別為纜索的切向和法向阻力系數(shù)。

1.2 邊界條件

纜索的首端邊界條件為速度和拖船一致，拖船速度Vx、Vy、Vz為已知量。根據(jù)式（1）可得

纜索尾端點為自由端，該點處纜張力為 0，歐拉角α、γ對弧長的變化率為0，可得三個方程，即：

2 數(shù)值計算

數(shù)值計算采用有限差分法[3]對纜索方程進(jìn)行離散。將纜索的總長S劃分成任意的N段，單段長度為Δs。從ti變化至ti+1的每一時間步長Δt=ti+1-ti。

下標(biāo)1表示纜索節(jié)點，下標(biāo)2表示纜索下一節(jié)點，下標(biāo)0表示ti時刻，下標(biāo)無0表示ti+l時刻。則差分方程可表示為

共計6N個方程，加上首端點（式3）、尾端點（式4）的6個方程，方程總數(shù)為6(N+1)。未知數(shù)為N+1個纜索節(jié)點的Y值，共6(N+1)個，方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)一致，可以求解。

本文用牛頓迭代法對以上的非線性方程組進(jìn)行求解。已知穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)的初值為Yi，下一時刻待求解的為Yi+1。求解出的下一時刻的解作為下一時間步長內(nèi)的初值，重復(fù)計算則可以求解出整個時間段內(nèi)的Y值。記Xi=[Y01,Y02,…Y0N+1]為初始時刻纜上各節(jié)點的Yi，Xi+1=[Y1,Y2,…YN+1]為下一時刻纜上各節(jié)點的Yi+1。對于單個時間步長內(nèi)，求解非線性方程組變?yōu)?/p>

按牛頓迭代法求解有

F'()是方程組（6）的Jacobi矩陣，具體如下：

這樣，非線性方程組就變?yōu)閷€性方程組關(guān)于ΔX的求解。

采用列選主元高斯消去法對式（8）進(jìn)行求解，解出ΔX，得到Xi+1。然后用Xi+1作為初值，繼續(xù)進(jìn)行多次迭代計算，直到ΔX絕對值小于預(yù)先給定的小量eps時，當(dāng)前時間步計算完成。

纜索在固定坐標(biāo)系中位置由下列公式給出：

求解出各節(jié)點的Y值后，按照式（10）沿纜長進(jìn)行積分，即可得到纜索的空間位置。

3 計算結(jié)果分析

本文選用表1中的數(shù)值作為纜索的計算參數(shù)。拖船航速為8 kn，回轉(zhuǎn)直徑780 m，拖船在300 s后進(jìn)入直航狀態(tài)。倒車航速從18 kn降到4 kn后穩(wěn)定航行，倒車時間180 s，纜長600 m。其回轉(zhuǎn)狀態(tài)陣首、陣尾點的仿真值和陣尾實測深度值的比較見圖2～6。倒車減速狀態(tài)尾端點的實測深度值和仿真值的比較見圖7。從圖中可知，短纜時(纜長小于600 m)，線陣基本沒有下沉，隨著纜長增加線陣會先下沉后上浮，越長下沉深度越多，最大下沉點出現(xiàn)的時間越晚，線陣穩(wěn)定時間越長。觀察線陣的深度變化，陣首比陣尾先下沉，增加纜長后，陣首和陣尾的下沉深度趨向一致。

表1 纜索的具體參數(shù)

圖2 400 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖3 600 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖4 800 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖5 1 000 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖6 1 500 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖7 18 kn倒車至4 kn尾端點深度變化圖

4 結(jié)論

本文通過纜索運(yùn)動數(shù)學(xué)模型對拖線陣在回轉(zhuǎn)及減速工況下的陣形姿態(tài)進(jìn)行了仿真計算，并與實測值進(jìn)行了比對，該方法可以用于指導(dǎo)拖線陣的安全使用。由于實船回轉(zhuǎn)存在一定的速降，實測值的上浮時間比仿真計算時間偏長。同時，由于實際使用中存在海流等影響因素，計算結(jié)果和實測值存在一定的偏差。后續(xù)需進(jìn)一步研究考慮速降及海流的影響，進(jìn)一步提高模型計算精度。