丁 勇

（南京醫(yī)科大學(xué)康達(dá)學(xué)院 理學(xué)部，江蘇 連云港 222000）

0 引言

相關(guān)和回歸是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的重要內(nèi)容。在實(shí)際工作中，受各種因素的影響，原始數(shù)據(jù)不可避免地存在一定的誤差，這些誤差對(duì)計(jì)算的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定的干擾，因此需要對(duì)誤差的影響進(jìn)行分析和研究。查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，關(guān)注誤差對(duì)回歸分析影響的研究非常多，例如經(jīng)典的最小二乘法、最小一乘法都是針對(duì)誤差對(duì)回歸的影響[1-5]；而關(guān)注誤差對(duì)相關(guān)分析影響的研究則很少[6，7]。

相關(guān)系數(shù)是研究變量之間相關(guān)程度的重要指標(biāo)，在理論研究和實(shí)際工作中得到了大量的應(yīng)用[1,2,8]，例如，相關(guān)系數(shù)作為變量之間的距離，在多元統(tǒng)計(jì)分析中，廣泛應(yīng)用于聚類分析、主成分分析等。因此，研究數(shù)據(jù)誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響有重要意義。本文在一個(gè)變量有相對(duì)誤差的情況下，探討相對(duì)誤差對(duì)簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)（又稱pearson積差相關(guān)系數(shù)，以下簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)）的影響。

1 公式與性質(zhì)

1.1 公式推導(dǎo)

記 r 為 x=(x1，x2，…，xn)和 y=(y1，y2，…，yn)的相關(guān)系數(shù)，則[1，2]：

考慮x、y兩個(gè)變量其中之一有誤差，由于對(duì)稱性，不妨設(shè) y有相對(duì)誤差：；這里εi~N(0，σ2) 且相互獨(dú)立。記 ε=(ε1，ε2，…， εn) ，則由樣本標(biāo)準(zhǔn)差和總體標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系可知：

從而可以把σ近似看成是y的平均相對(duì)誤差（以下簡(jiǎn)稱相對(duì)誤差）。

記r*為x=(x1，x2，…，xn)和的相關(guān)系數(shù)，則：

由此可知，r*是由ε確定的隨機(jī)變量，上式比較復(fù)雜。為了較簡(jiǎn)單明了地分析相對(duì)誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響，本文從總體特性的角度進(jìn)行分析。從理論上獲悉r*的統(tǒng)計(jì)分布再推導(dǎo)總體均數(shù)E(r*)比較困難，為簡(jiǎn)單起見，考慮如下的近似公式：

由 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 知 識(shí) 可 知[1]：E(εi)=0 ，E(εiεj)=E(εi)E(εj)=0(i≠j) ，且，所 以，從 而，故有。這里E(X)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，χ2(1)為自由度為1的卡方分布。由數(shù)學(xué)期望的 性 質(zhì) 可 知[1]E[(xi-ˉ)yiεi]=(xi-ˉ)yiE(εi)=0 ，E[(yi-ˉ)，又因?yàn)椋詮亩?，因此?/p>

式（1）為有相對(duì)誤差數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)的總體均數(shù)的近似公式，與數(shù)據(jù)有相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，考慮相關(guān)系數(shù)的相對(duì)總體均數(shù)：

當(dāng)ˉ=0，且σ2較小時(shí)，式（2）為：

當(dāng)n≥2、σ≤20%時(shí)：

1.2 誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)影響的統(tǒng)計(jì)特性

由式（2）可得如下相對(duì)誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響的3個(gè)統(tǒng)計(jì)特性：

性質(zhì)2：相對(duì)誤差σ值越小，對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響也越小；當(dāng)σ=0 時(shí)，|=|r|；

性質(zhì)3：相對(duì)與性質(zhì)1誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響和有誤差數(shù)據(jù)的二階原點(diǎn)矩與二階中心矩的比值有關(guān)，其值越小，影響越小；因?yàn)椋十?dāng)yˉ=0 時(shí)，，此時(shí)，y的大小對(duì)相關(guān)系數(shù)沒(méi)有影響。

2 模擬研究

2.1 數(shù)據(jù)

式（1）、式（2）是近似公式，其精度如何？由近似公式得到的性質(zhì)是否和實(shí)際情況相符？下面通過(guò)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬考察和驗(yàn)證。在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到相對(duì)誤差不會(huì)太大，故設(shè)相對(duì)誤差界為20%。

表1 某交通點(diǎn)大氣污染情況的測(cè)定數(shù)據(jù)

表1是某交通點(diǎn)大氣污染情況的16個(gè)測(cè)定數(shù)據(jù)[9]，第1列為汽車流量（輛/小時(shí)）數(shù)據(jù)，第3列為大氣中NO2含量（毫克/立方米）數(shù)據(jù)，這兩者的相關(guān)系數(shù)為r=0.8304，第2列為汽車流量減去它的平均值得到的中心化數(shù)據(jù),由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，兩個(gè)變量或其中之一做線性變換時(shí)，它們的相關(guān)系數(shù)不變[1]，所以它與大氣中NO2含量（毫克/立方米）數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)也為r=0.8304。由于本例的相關(guān)系數(shù)大于0，故在以下的討論中，省去相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值。

2.2 模擬研究

本文將汽車流量作為x，大氣中NO2含量作為y，此時(shí)取相對(duì)誤差σ分別為0.05、0.10、0.15和0.20（表2第1列），再由εi~N(0，σ2)產(chǎn)生有相對(duì)誤差的隨機(jī)數(shù)，分別進(jìn)行了10000次模擬，得到10000個(gè)x和y*的相關(guān)系數(shù)r*，統(tǒng)計(jì)其中r*＞r的個(gè)數(shù)（表2第2列，記為m），計(jì)算r*的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（表2第4列）以及r*與r比值的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差（表2第7列），為便于和近似公式比較，表2第3列和第6列給出了公式（1）和公式（2）的結(jié)果。

表2 大氣中NO2含量數(shù)據(jù)有相對(duì)誤差時(shí)10000次模擬結(jié)果

顯然，當(dāng)沒(méi)有誤差時(shí)，r*=r，從而=r*=r，式（2）也表明，當(dāng)相對(duì)誤差σ為0時(shí)，=r；當(dāng)數(shù)據(jù)有相對(duì)誤差時(shí)，由式（2）可知，要小于r，表2第3列結(jié)果驗(yàn)證了這一點(diǎn)，＜r=0.8304 ，且當(dāng)σ增大時(shí)，變得更小。是r*的平均值，＜r的一個(gè)可能原因是當(dāng)相對(duì)誤差σ存在時(shí)，r*＞r的個(gè)數(shù)會(huì)減少，表2第2列的結(jié)果驗(yàn)證了這一點(diǎn)。以上結(jié)果與前述的性質(zhì)1和性質(zhì)2的結(jié)論是一致的。

為比較y值的影響，取大氣中NO2含量數(shù)據(jù)為x，汽車流量數(shù)據(jù)為y，此時(shí)=19.7638，比表2的要大的多。類似上述的模擬方法，可得表3的各模擬結(jié)果。表3第2列與表2第2列欄類似，隨著誤差σ增大，r*＞r的個(gè)數(shù)越來(lái)越少，相比表2的個(gè)數(shù)還要少；表3第3列與表2第3列欄類似，隨著誤差σ增大而變小，相比表2的數(shù)值還要小。

表3 汽車流量數(shù)據(jù)有相對(duì)誤差時(shí)10000次模擬結(jié)果

表4 汽車流量中心化數(shù)據(jù)有相對(duì)誤差時(shí)10000次模擬結(jié)果

圖1

2.3 近似公式的精度

由表2、表3和表4的第3列、第4列和第6列、第7列可知，與r*的均數(shù)的均數(shù)都比較接近，且標(biāo)準(zhǔn)差較小，說(shuō)明近似公式有較好的精度，本文進(jìn)一步以均方根誤差（root-mean-square error）為精度評(píng)價(jià)的量化標(biāo)準(zhǔn)，由于與僅差一個(gè)常數(shù)，為簡(jiǎn)便起見，只對(duì)進(jìn)行比較，記顯然，當(dāng)σ=0 時(shí)，r*=r，從而=r，所以此時(shí)RMSE=0 ；另外4種σ的情況，計(jì)算機(jī)模擬的計(jì)算結(jié)果列于表2、表3和表4中第5列，一個(gè)有趣的現(xiàn)象是，RMSE與σ成正比關(guān)系（下頁(yè)圖2，圖中R2為決定系數(shù)），表4的RMSE小于σ的3.6%（圖2中☆數(shù)據(jù)），表2的RMSE小于σ的6%（圖2中*數(shù)據(jù)），表3的RMSE小于σ的21.5%（圖2中o數(shù)據(jù)）的值越小，RMSE與σ比值就越小；三種情況都表明，RMSE遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于誤差σ，這進(jìn)一步說(shuō)明近似公式有較高的精度。由于的精度與的精度是一致的。由于近似公式有較好的精度，由此得到的3個(gè)性質(zhì)與實(shí)際情況相符也就順理成章了。與僅相差一個(gè)常數(shù)，因此

圖2 均方根誤差RMSE與相對(duì)誤差σ的關(guān)系圖

3 討論

從復(fù)雜的現(xiàn)象中，排除次要因素的干擾，梳理出重要線索，抓住主要矛盾，有助于分析事物間的本質(zhì)聯(lián)系。本文從總體特性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律出發(fā)，利用簡(jiǎn)單的近似公式，較好地找到了相對(duì)誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)影響的主要因素。

從變量數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的幾何直觀來(lái)看，數(shù)據(jù)點(diǎn)越分布在回歸直線附近，變量的相關(guān)性越好。眾所周知，數(shù)據(jù)的誤差會(huì)對(duì)相關(guān)系數(shù)產(chǎn)生影響。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)誤差使數(shù)據(jù)點(diǎn)靠近（遠(yuǎn)離）回歸直線時(shí)，相關(guān)系數(shù)會(huì)增加（減少）。由于誤差是隨機(jī)的，因此，誤差有可能使相關(guān)系數(shù)（絕對(duì)值）增加，也可能使相關(guān)系數(shù)（絕對(duì)值）減少。本文研究表明，從統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)看，誤差的影響大多數(shù)情況是不利的，會(huì)使變量的相關(guān)性變差。

對(duì)于相對(duì)誤差，一般會(huì)認(rèn)為數(shù)據(jù)變量的絕對(duì)值越大，誤差會(huì)越大，從而對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響也越大。本文研究得到一個(gè)重要的結(jié)論是：數(shù)據(jù)的二階原點(diǎn)矩的與二階中心矩的比值對(duì)相關(guān)系數(shù)有較大的影響。誤差會(huì)對(duì)相關(guān)系數(shù)產(chǎn)生影響，但僅有誤差，影響的作用并不大，公式（3）說(shuō)明了這一點(diǎn)，誤差和二階矩比值的共同作用，特別是二階矩的比值較大時(shí)，會(huì)對(duì)相關(guān)系數(shù)產(chǎn)生較大的影響，圖1給出了直觀的說(shuō)明。數(shù)據(jù)均值為0時(shí)，二階矩的比值達(dá)到最小值1，此時(shí)數(shù)據(jù)大小對(duì)相關(guān)系數(shù)沒(méi)有影響。因此，數(shù)據(jù)相對(duì)誤差對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響，除了誤差和數(shù)據(jù)的大小，還要考慮數(shù)據(jù)是否對(duì)稱分布、均值為0。在實(shí)際問(wèn)題中，可以把二階矩的比值作為一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，當(dāng)該指標(biāo)數(shù)值較小時(shí)，相關(guān)系數(shù)的值比較穩(wěn)定，受誤差的影響較小。