嚴(yán) 穎，嚴(yán) 凌 （上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

YAN Ying,YAN Ling (Management School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

0 引 言

城市快速路是城市內(nèi)部的主要交通干線，具有舒適、快速、大容量等特點(diǎn)，能夠很好地滿足交通需求?？焖俾废到y(tǒng)在提供大容量交通走廊、屏蔽過境交通、調(diào)節(jié)城市路網(wǎng)結(jié)構(gòu)和優(yōu)化土地利用布局等方面發(fā)揮著巨大的效益。城市快速路系統(tǒng)在城市交通中承擔(dān)著大部分的交通量，其中北京市主要快速路總長度僅占北京市路網(wǎng)總長度的8%，卻承載了近50%的交通量[1]。上海市高架道路僅占市區(qū)道路總長度的5%，卻承載著市內(nèi)35%的交通量[2]。隨著經(jīng)濟(jì)水平的不斷發(fā)展，交通壓力與日俱增，交通需求分布不均衡，與交通資源不匹配成為導(dǎo)致?lián)矶碌闹饕獌?nèi)在原因?？焖俾返纳舷略训烙捎谲嚵鹘豢?、車道數(shù)變化、與地面道路銜接不恰當(dāng)?shù)仍蛟斐赏ㄐ心芰ο陆?，成為交通瓶頸。當(dāng)前對于入口匝道控制，國內(nèi)外學(xué)者做出了大量研究，而對出口匝道控制的研究比較少，主要集中在通行能力和交通組織方法[3-5]。國內(nèi)馬繼萍[6]在出口匝道超長排隊(duì)時提出在保證相連交叉口其他流向損失最小的條件下提前激活關(guān)聯(lián)相位綠燈的控制策略。王秀英[7]提出了基于Q學(xué)習(xí)算法和可拓控制相結(jié)合的出口匝道控制方法，自適應(yīng)地改變綠燈時間，從而使不同的交通狀態(tài)下應(yīng)有不同的信號配時方案，適當(dāng)?shù)亟刂沽溯o路車輛，優(yōu)先保證出口匝道車輛駛出，對出口匝道超長排隊(duì)具有一定的緩解。

以上研究是在提高出口匝道的通行能力，提高地面交叉口來自出口匝道的車流交通優(yōu)先級方面提出的控制策略，而與快速路出口匝道相連的地面交叉口其他相位可能也具有較大交通壓力，如果一味的提高快速路交通流的優(yōu)先級，可能會造成地面路網(wǎng)的擁堵甚至癱瘓。另一方面，城市快速路基礎(chǔ)設(shè)施周圍道路資源非常有限，可供改造的空間不足，對通行能力的提升也是有限的。由于交通需求的不均勻分布或者特殊公共事件的影響，例如上海世博會期間世博園附近的出口匝道和奧運(yùn)會期間奧運(yùn)主會場附近的出口匝道的交通壓力遠(yuǎn)超過出口匝道通行能力，就會在某個特定的出口匝道形成超長排隊(duì)，進(jìn)而影響到主線車流的運(yùn)行?；诖朔N情形，本文基于排隊(duì)論構(gòu)建了出口匝道排隊(duì)模型，提出了出口匝道動態(tài)反饋控制策略，同時利用VMS交通誘導(dǎo)信息，將車流誘導(dǎo)分流至相鄰交通壓力較小的出口匝道，促使交通需求均衡分配，提高出口匝道整體利用率。雖然可能會增加部分車流的交通延誤，但有利于快速路系統(tǒng)整體效率的提升。

1 排隊(duì)論介紹

排隊(duì)論又稱“隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論”[8]，屬于運(yùn)籌學(xué)的重要分支，是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列即排隊(duì)現(xiàn)象，合理協(xié)調(diào)二者關(guān)系的數(shù)學(xué)理論。排隊(duì)論廣泛應(yīng)用于公共服務(wù)事業(yè)以及任何需要排隊(duì)接受服務(wù)的場合，包括人、物和信息等接受服務(wù)而產(chǎn)生的排隊(duì)現(xiàn)象。

1.1 排隊(duì)系統(tǒng)組成

排隊(duì)系統(tǒng)由三部分組成：輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)。如圖1所示。

輸入過程是指車輛以怎樣的規(guī)律進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)，可以從三個方面來描述：顧客源，又稱輸入源，可以是有限或者無限的。顧客到達(dá)方式，描述顧客以怎樣的方式到達(dá)，可以是成批到達(dá)也可以是單個到達(dá)。顧客流概率分布，描述顧客到達(dá)時間間隔分布概率，可以理解為在一段時間間隔內(nèi)達(dá)到顧客數(shù)為K的概率。常見的分布有定長分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、愛爾朗分布等若干種。

圖1 排隊(duì)系統(tǒng)組成[9]

排隊(duì)規(guī)則又稱服務(wù)規(guī)則，是指服務(wù)臺從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順序，可分為損失制、等待制和混合制三大類。損失制是指當(dāng)顧客達(dá)到時，服務(wù)臺都處于繁忙狀態(tài)，那么顧客立即離開系統(tǒng)，不再回來。等待制是指當(dāng)服務(wù)臺都被占用時，這時到達(dá)的顧客加入排隊(duì)等待服務(wù)。對于等待制，服務(wù)臺為顧客服務(wù)可采用先到先服務(wù)（FCFS）、后到先服務(wù)（LCFS）、隨即服務(wù)（SIRO）、有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（PR）幾種規(guī)則?；旌现剖菗p失制和等待制相結(jié)合的一種排隊(duì)方式，是指允許排隊(duì)但又不能無限長排隊(duì)，一般會在排隊(duì)長度和排隊(duì)時長兩方面進(jìn)行限制。在交通排隊(duì)現(xiàn)象中，車流排隊(duì)就遵從混合制，先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則，允許車輛排隊(duì)，但由于空間限制或者延誤時間控制，排隊(duì)一定是有限的，在合理范圍內(nèi)。

服務(wù)臺是在排隊(duì)系統(tǒng)中為顧客提供服務(wù)的節(jié)點(diǎn)，顧客通過該節(jié)點(diǎn)就離開了排隊(duì)系統(tǒng)，服務(wù)臺的數(shù)量和排列方式構(gòu)成了排隊(duì)系統(tǒng)的不同構(gòu)成形式，有單服務(wù)臺式，多服務(wù)臺并聯(lián)式，多服務(wù)臺串聯(lián)式等。

1.2 排隊(duì)模型的符號表示

由上述內(nèi)容可知，排隊(duì)系統(tǒng)的特征包括顧客源、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)規(guī)則、服務(wù)臺數(shù)量等，根據(jù)這些特征的不同可以對排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述和分類，為了便于對眾多模型的描述，采用下述方式：

其中：A為顧客到達(dá)系統(tǒng)時間間隔服從的分布；

B為服務(wù)時間分布；

C為服務(wù)臺數(shù)量 （C=1,2,3,…）；

D為排隊(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的容量，即系統(tǒng)中能容納的顧客總數(shù)；

E為顧客源的總體數(shù)目，（m, ）∞ ；

F為服務(wù)規(guī)則（FCFS，LCFS，SIRO，PR）。

2 排隊(duì)模型

為了建立排隊(duì)模型，對快速路出口匝道和地面交叉口的情況做如下假設(shè)：（1）本文研究的是特殊事件影響時段或者高峰時段內(nèi)出口匝道交通需求暫時性增加的交通狀況，所以在有限的時間內(nèi)，車輛來源是有限的，假設(shè)顧客源是有限的。（2）快速路出口匝道與地面道路銜接方式有中間式、內(nèi)側(cè)式和外側(cè)式[10]三種。不同的銜接方式導(dǎo)致出口匝道輔路車輛與地面道路車輛形成交織。地面道路車輛與輔路車道車輛部分交換，影響排隊(duì)車輛總數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用時可以對顧客到達(dá)系統(tǒng)時間間隔分布函數(shù)修正，標(biāo)準(zhǔn)模型中暫不考慮此影響。（3） 假設(shè)每條車道上排隊(duì)長度一致。（4） 交叉口的信號配時等參數(shù)在控制時段內(nèi)不發(fā)生變動?；谝陨霞僭O(shè)，可構(gòu)建出口匝道標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)控制系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 出口匝道排隊(duì)控制系統(tǒng)示意圖

出口匝道排隊(duì)可以根據(jù)實(shí)際情況建立有限顧客源、多通道、單服務(wù)臺等待制的排隊(duì)系統(tǒng)，即M/M/1等待制排隊(duì)系統(tǒng)。假設(shè)(0,t]在時間段內(nèi)，車輛隨機(jī)到達(dá)交叉路口排隊(duì)，前后車輛之間的時間間隔是獨(dú)立的隨機(jī)序列αn｛｝，假定它們具有相同的分布函數(shù)，記此分布函數(shù)為，稱作輸入流函數(shù)。假設(shè)其概率密度函數(shù)存在且記為a（t），平均到達(dá)率為λ，平均時間間隔為則有：

假設(shè)車輛通過交叉口的時間序列為｛βn｝，每一輛車通過交叉口的時間是相互獨(dú)立的，它也是一個獨(dú)立隨機(jī)變量，假定它們具有相同的分布函數(shù)則稱它們是輸出分布。如果概率密度函數(shù)存在且用b（t）表示，交叉口的輸出率為μ，平均服務(wù)時間為，則有：

q等待時間Wq滿足下列等式：

排隊(duì)長度與等待時間存在下面的關(guān)系：

3 最優(yōu)控制策略

3.1 排隊(duì)情況分析

設(shè)與出口匝道相連的交叉口進(jìn)口道相位的信號周期為T，綠燈時間為g，為了計(jì)算簡潔，黃燈時間不計(jì)。相位綠信比已經(jīng)取得最大值且固定不變，在綠燈放行期間的交叉口服務(wù)率，紅燈期間車輛依次排隊(duì)。匝道排隊(duì)容量為Cmax，有三種情況：

紅燈期間排隊(duì)車輛w=λ（T-g）；

綠燈期間釋放的車輛數(shù)n=μ'g；

綠燈期間排隊(duì)減少的車輛數(shù)p=（μ'-）λg。

wp，且排隊(duì)長度不超過匝道排隊(duì)容量Cmax的三種情況下的排隊(duì)車輛消散情況如圖3、圖4、圖5所示。

圖3 w

圖4 w=p

圖5 w>p

由以上分析可知，當(dāng)w

當(dāng)w>p時，紅燈期間積累的排隊(duì)車輛將會出現(xiàn)二次排隊(duì)現(xiàn)象，每個信號周期，都會有部分滯留車輛，車輛排隊(duì)長度不斷增加，直至超過匝道容量。此時λ的值滿足：

為了描述某個出口匝道出現(xiàn)過量車流的情況，即當(dāng)車流在短時間內(nèi)突然大量增加，出口匝道的通行能力和交叉口的信號配時未做調(diào)整的情況，假設(shè)此時的排隊(duì)系統(tǒng)輸入車流的概率密度函數(shù)符合參數(shù)為λ的泊松流，與之相連交叉口相位綠信比以及綠燈時的飽和流率保持不變。

控制觸發(fā)條件：排隊(duì)長度到達(dá)閾值?。

匝道中排隊(duì)車輛數(shù)達(dá)到閾值?時，根據(jù)檢測到的輸入交通流λ的值分為兩種情況：當(dāng)λ滿足式（6）時，匝道排隊(duì)長度由紅燈期間積累的車輛數(shù)確定，并且處于動態(tài)平衡。如果此值不大于匝道排隊(duì)容量，那么匝道中的排隊(duì)長度基本保持不變，不需要采用暫時關(guān)閉匝道的控制策略。當(dāng)λ滿足式（7）時，匝道排隊(duì)長度隨著時間的增加不斷增加，如果不采取控制措施，排隊(duì)很快就會蔓延至主線車道，影響主線交通流運(yùn)行?？刂扑惴鞒淌疽鈭D如圖6所示：

3.2 控制模型

出口匝道采用三色信號燈控制，為計(jì)算簡潔，黃燈時間計(jì)入紅燈。為保持一致，信號控制周期采用與出口匝道相連的交叉口的控制周期?？刂颇Ｐ腿缦拢?/p>

r（k）是第k控制周期的控制率，r（k-1）是第k-1周期的控制率，它等于綠燈時長。KR是參數(shù)，用來調(diào)節(jié)外部擾動。?是排隊(duì)長度控制閾值，考慮到匝道的交通安全，該值一般取平直段長度，將出口匝道排隊(duì)長度盡量控制在平直段區(qū)域。?（k-1）是第k-1周期實(shí)測的排隊(duì)長度。KR的值對控制效果不敏感，要根據(jù)出口匝道實(shí)際數(shù)據(jù)標(biāo)定。其中ω為標(biāo)準(zhǔn)車輛換算長度，一般取ω=4m。λ（k-1）是第k-1周期的車輛到達(dá)率，該算法屬于反饋控制算法，無法對未來車流變化做出預(yù)測，式中是用λ（k-1）代替λ（k）。實(shí)際的出口匝道車流波動性較大，在應(yīng)用中可引入預(yù)測機(jī)制，用λ（k）的預(yù)測值帶入計(jì)算，能夠提高控制效果。根據(jù)排隊(duì)理論，r（k）的取值應(yīng)該滿足排隊(duì)系統(tǒng)平衡條件和平均排隊(duì)長度限制，整理如下：

圖6 控制算法流程圖

其中：Lq是在控制情況下的平均排隊(duì)長度，式（8）、式（9）、式（10）、式（11） 共同構(gòu)成了反饋控制模型。該模型以出口匝道排隊(duì)長度為輸入變量，控制率r（k）為控制變量，在匝道排隊(duì)閾值和排隊(duì)容量的限制下，由M/M/1等待制排隊(duì)系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)值范圍得到最優(yōu)控制率。

3.3 相位差計(jì)算

由于交叉口信號燈的作用，在綠燈時，排隊(duì)車輛依次啟動通過路口。紅燈時車輛依次在路口停車。這就會分別形成啟動波和停止波[11]，考慮到啟動波和停止波對出口匝道信號控制的影響，控制信號的綠燈開始相位與交叉口的綠燈開始相位之間的間隔，相位差計(jì)算如下：

式中：vt為相位差，l1為匝道長度，l2為地面輔路長度，vsta為啟動波波速，vstp為停止波波速。

4 結(jié)束語

本文以排隊(duì)論為基礎(chǔ)，將快速路出口匝道和與之相連的地面交叉口構(gòu)建均衡態(tài)排隊(duì)系統(tǒng)，在平均排隊(duì)長度和排隊(duì)控制閾值限制下，提出最優(yōu)控制率的反饋控制模型。最優(yōu)控制率隨著匝道排隊(duì)長度的變化而變化，在每一個控制周期內(nèi)，使得排隊(duì)長度保持在閾值附近，避免了超長排隊(duì)回溯到主線，對快速路主線交通流的影響。在出口匝道進(jìn)行控制的同時，利用VMS交通信息誘導(dǎo)，將過量車流引導(dǎo)至上游和下游相鄰出口匝道，充分利用上下游出口匝道的通行能力，提高快速路整體通行效率。