廣東省廣州市禺山高級中學(xué)(511400) 唐潔

1 為什么要對課本例習(xí)題進(jìn)行再“研究”

1.1 課本例習(xí)題是高考中低檔試題的直接來源.

有的試題直接取自教材,或者原題,或者類似題;有的試題是教材概念,例題,習(xí)題的改編;有的試題是教材中幾個題目,幾種方法的綜合與開拓;少量難題也是按照教材內(nèi)容設(shè)計的.高考試題是植根于教材,著眼于提高.

1.2 例習(xí)題是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的基本生長點

例習(xí)題是學(xué)生解題體驗的基本來源.離開了課本例習(xí)題,學(xué)生就找不到解題依據(jù),解題方法,解題靈感.不管多難的題講解時都要從教材中找知識和能力的生長點,將新的高考題化歸為課堂上學(xué)過的內(nèi)容和方法,以不變應(yīng)萬變.

2 怎樣研究課本習(xí)題,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維

2.1 研究一題多變,接軌高考,培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)教育家波利亞在總結(jié)解題時說“我們必須一再地變化它,重新敘述它,變換它,直到最后成功地找尋到某些有用的東西為止.”一題多變,變的是形式,不變的是本質(zhì).復(fù)習(xí)課,引領(lǐng)學(xué)生挖掘源頭,探究一題多變,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,激勵學(xué)生去思考,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

案例1(人教A版《必修4》第108頁習(xí)題A組第2題)已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,求|a+b|,|a-b|.

本題考查向量的模,數(shù)量積等基礎(chǔ)知識,訓(xùn)練學(xué)生的運算能力,很基礎(chǔ).師生都認(rèn)為本題簡單,沒有新意,沒有探究的價值.事實果真如此嗎?本人在學(xué)生解答完此題后,引導(dǎo)學(xué)生對該題進(jìn)行變式:

在學(xué)生解決新的數(shù)學(xué)問題時,啟發(fā)學(xué)生關(guān)注解題過程,歸納提煉出再解題過程中形成的公式:進(jìn)而再次變式:

(2016高考數(shù)學(xué)江蘇卷13題)如圖1,△ABC中,D是BC的中點,E、F是AD上兩個三等分點則的值是?

圖1

通過對習(xí)題的條件變化以及條件和結(jié)論的互換逐步引導(dǎo)學(xué)生探究問題的本質(zhì),由學(xué)生得出新結(jié)論,最后對接高考,讓學(xué)生感受一題多變的魅力,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

2.2 研究一題多解,培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

復(fù)習(xí)課教學(xué)一定要回歸教材,用透教材,用活變式(數(shù)學(xué)知識塊模型的變式或數(shù)學(xué)思維型的變式)不能只依靠教輔資料.而是要依綱靠本,多本綜合.并將高考試題和教材對比研究,找到高考試題在課本中的原型,進(jìn)行拓展并進(jìn)行一題多解.有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

案例2人教A版必修四第二章“平面向量復(fù)習(xí)參考題B組第5題和第8題”

第 8題:在△ABC中,若那么點O在△ABC什么位置?

在平面向量的復(fù)習(xí)過程中要充分運用好這兩題,充分挖掘它們內(nèi)涵和價值.這兩題啟發(fā)我們在平面向量的復(fù)習(xí)教學(xué)時要將三角形的四心與平面向量的關(guān)系進(jìn)行整合復(fù)習(xí).總結(jié)提煉三角形的四心與平面向量關(guān)系的常見結(jié)論.進(jìn)一步引申到三角形四心與空間幾何的關(guān)系的考查.進(jìn)而對接高考題:

(2016高考四川卷第10題)在平面內(nèi),定點A,B,C,D滿足動點P,M滿足則的最大值是( )

思路一坐標(biāo)法以A為原點,AD所在直線為x軸,AD的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖2,則D(2,0),因為所以P點的軌跡是單位元,設(shè)P(cosθ,sinθ),則,所以所以當(dāng)時,取得最大值故選B

圖2

坐標(biāo)化是平面向量的常規(guī)解法,大部分學(xué)生能想到,但去A點位原點,用圓的參數(shù)表示點P坐標(biāo)需要老師的引導(dǎo).并指出如何建系有利于運算.

思路二軌跡法以D為原點,DA所在線為x軸,DA的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖 3,則因為所以P點的軌跡是以A為圓心,1為半徑的圓A:(x-2)2+y2=1,設(shè)P(x1,y1),M(x,y),由有代入圓A的方程,可得所以點M的軌跡是以為圓心,為半徑的圓.所以得最大值轉(zhuǎn)化為圓E外一點B到圓上一點M的距離的最大值問題,即所以動點M是隨著動點P的變化而變化,于是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)相關(guān)點P的軌跡求求出點M的軌跡.突破學(xué)生的思維,引起學(xué)生的極大興趣.

圖3

思路三向量法如圖4,設(shè)AC的中點為N,則由知M是PC的中點,所以MN是△ABC的中位線,所以所以所以故選B.

圖4

此思路是利用純向量方法進(jìn)行解決,學(xué)生不容易想到取AC的中點N來搭建橋梁.該思路充分體現(xiàn)了平面向量的本質(zhì)即向量的線性運算.其解答運算小,但能力要求極高.

2.3 研究習(xí)題的推廣,激發(fā)興趣,培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

學(xué)好數(shù)學(xué)的有效方法是“再創(chuàng)造”.教師要引導(dǎo)學(xué)生對教材習(xí)題進(jìn)行發(fā)現(xiàn),探究出新的結(jié)論,進(jìn)而尋找更一般的規(guī)律.長期堅持,不盡能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可以督促學(xué)生形成積極主動,勇于探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

案例3(人教版選修2-1第41頁例3)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,且他們的斜率之積是(斜率存在)求點M的軌跡方程.

學(xué)生解完本題后,老師引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般的結(jié)論:設(shè)點A(-a,0),B(a,0),直線AM,BM相交于點M,且他們的斜率之積是求點M的軌跡方程.然后再次提出問題:設(shè)點A,B是橢圓上關(guān)于原點對稱的亮點,點M在橢圓上且異于點A,B,記直線AM,BM的斜率分別為k1,k2,問k1·k2是否為定值?

設(shè)點A,B是橢圓(雙曲線)上關(guān)于原點對稱的兩點,點M在橢圓(雙曲線)上且異于點A,B,記直線AM,BM的斜率分別為k1,k2,則k1·k2=e2-1.

在教師的啟發(fā)下,學(xué)生從一道樸實的教材例習(xí)題出發(fā),探索研究,得到結(jié)論,利用結(jié)論解決問題,這就是真正的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課.

3 對課本例習(xí)題“再研究”的反思

第一我們平時的教學(xué)是將教材分割為知識單點、知識片段來講授的,所以總結(jié)復(fù)習(xí)課要進(jìn)行“雙基排隊”,梳理出重要概念,重要定理.選擇出有價值的例習(xí)題進(jìn)行深度挖掘.第二對教材例習(xí)題的再研究是數(shù)學(xué)教師的基本功,也是教師擺脫“題?！泵つ亢汀百Y料”依賴的必由之路.第三教師要研究高考題,尋找高考試題的源頭,帶著問題去探究課本的例習(xí)題.

筆者認(rèn)為,對教材例習(xí)題的研究是一個不可忽視的問題,發(fā)揮教材例習(xí)題的重要作用,引導(dǎo)學(xué)生回歸教材,使數(shù)學(xué)概念和習(xí)題教學(xué)落到實處,這才是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的正道.