四川省四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院(610011) 甘良燕 邵利

1 引言

2010年國務院頒布的《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010-2020年)》中強調(diào)“面向全體學生,促進學生全面發(fā)展,著力提高學生用于探索的創(chuàng)新精神和善于解決問題的實踐能力”.[1]因此,以問題為中心、建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)培養(yǎng)學生問題解決能力,被越來越多的研究者關(guān)注.但是通過相關(guān)文獻的閱讀,發(fā)現(xiàn)近年來問題解決模式研究傾向于情境認知理論,而忽視了問題解決的首要前提是學生對知識的內(nèi)化和掌握.[2]而ACT-R理論是對知識內(nèi)化機制的具體說明,陳述性知識經(jīng)過程序化過程后,構(gòu)成穩(wěn)定的產(chǎn)生式,最終形成程序性知識.問題的解決需要數(shù)學的“概念性知識”與“方法性知識”.這與ACT-R理論中的“陳述性知識”和“程序性知識”有很多的相通之處,這就為用ACT-R理論指導數(shù)學問題的解決提供了理論和方法依據(jù).并且ACT-R理論還強調(diào)能力的練習,從而促進學習,增強問題解決能力.

2 理論基礎(chǔ)

ACT-R理論被稱為“學習和認知的簡單理論”,該理論利用三個簡單的二分法來說明人類的學習.“兩類知識”–陳述性知識與程序性知識,是學習與問題解決的基礎(chǔ),即個體已有的認知結(jié)構(gòu).“兩個假設”–操作假設與學習假設,是學習與解決問題的過程中兩類知識的獲得與遷移.“兩個水平”—符號水平與亞符號水平,是用于學習與問題解決的效率描述.這就為用ACT-R理論指導數(shù)學問題的解決提供了理論和方法依據(jù).

2.1 陳述性知識與數(shù)學問題解決

在解決數(shù)學應用題時所涉及的陳述性知識包括詞義知識、事實性知識和圖式知識.其中詞義知識和事實性知識有助于對問題的表面加工,而圖式知識則有助于對問題的深層次的加工.[3]

要解決一個數(shù)學問題,首先就是理解問題包括的詞義知識,事實性知識和圖示知識,然后對要解決的問題進行表征.(所謂表征,就是指信息在頭腦中的呈現(xiàn)形式.)美國認知心理學家西蒙(H.A.Simon)認為,“問題表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié),它說明了問題在頭腦中是如何呈現(xiàn)、如何表現(xiàn)出來的”.[4]既是在數(shù)學解題中,就是要理解并轉(zhuǎn)化問題,對一個數(shù)學問題,要用自己的語言將它陳述出來,并通過對問題的陳述將問題進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化.要想解決一個數(shù)學問題,就必須正確地恰當?shù)乇碚鲉栴}.所以理解問題涉及的陳述性知識,是重新表征問題的關(guān)鍵.

2.2 程序性知識與數(shù)學問題解決

新問題解決的過程往往是通過圖式和規(guī)則的交替進行來共同促進問題的解決的.圖式與圖式的規(guī)則相對獨立,但是規(guī)則的執(zhí)行不可能獨立于圖式之外而被激活.程序性知識中一個產(chǎn)生式規(guī)則就是一個“條件-反應”的單元,及針對特定的問題解決條件采取特定的認知操作.[5]在問題解決中,每個任務都可以分解為一系列的子目標,而這些子目標又會被進一步分解為一系列的子目標.但在每個時間點上,只有最新加入的子目標才用于產(chǎn)生式的選擇,一旦成功,則將這個子目標從目標結(jié)構(gòu)中清除.[5]可見目標層級在問題解決中起著主導的作用.而這個目標層級的過程正是問題解決的過程,把問題分解為需要解決的一步一步的小問題.解決一個問題之后調(diào)整原來的問題,進行新問題的分析找出當前需要解決的第一個問題,重復這樣的操作,直到所有問題成功解決.

3 ACT-R理論指導下的數(shù)學問題解決

問題解決可以認為是尋找問題的有效解決方案或?qū)ふ铱赡芙Y(jié)果的過程,在這個過程中個人會針對問題情景選擇適當?shù)南惹爸R和經(jīng)驗,為完成該目標不斷尋找可能的解決路徑,并對相關(guān)的信息進行重組以及發(fā)展出可行的方法.在ACT-R理論下首先需要對問題涉及的陳述性知識進行理解,然后根據(jù)陳述性知識中的詞義知識、事實性知識進行理解,直到能夠自己表征問題,從而進行問題解決.在問題解決的過程中根據(jù)程序性知識和目標層級的要求,梳理問題解決的過程直到問題解決.下面本文將結(jié)合一道競賽題來說明數(shù)學問題解決的過程.

3.1 例題呈現(xiàn)

例(x+y+z)100的展開式中項數(shù)共有____項.

呈現(xiàn)的例題是求三項式展開項的項數(shù),但對學生而言只學了二項式的展開.因此就學生目前掌握的知識,想解決這個問題是有困難的甚至沒辦法解決.但是分析這道題涉及的陳述性知識“展開式”,“項數(shù)”就會聯(lián)想到二項式展開中有關(guān)展開式和項數(shù)的陳述性知識從而促進對問題的理解.根據(jù)陳述性知識找到解題的程序性知識,再由程序性知識分析解決問題的過程.

例題分析式子展開式中,各單項式可以統(tǒng)一表示為含x、y、z的單向式,且展開式中各未知元的次數(shù)之和為確定的數(shù)100,即可用x,y,z表示出展開式中的通項式為xmynzt,m、n、t∈N?.

解法1(x+y+z)100展開式的通項為xmynzt,m、n、t∈N?且m+n+t=100.由數(shù)學歸納法有

(1)令t=0,則m+n=100;

(2)令t=1,則m+n=99;

···

(101)令t=100,則m+n=0.

當指數(shù)t=100時,m=n=0,此時xmynzt只有1種可能,故只含1項.當指數(shù)t=99時,m=1、n=0或者m=0、n=1,此時xmynzt有 2種可能,故含 2項.···當指數(shù)t=2時,m+n=98,此時xmynzt有99種可能,故含99項.當指數(shù)t=1時,m+n=99,此時xmynzt有100種可能,故含100項.當指數(shù)t=0時,m+n=100,此時xmynzt有101種可能,故含101項.

綜上,展開式中項數(shù)共有1+2+3+···+99+100+101=項.

此種解法利用二項式展開項中有關(guān)的陳述性知識對問題進行理解,展開式中各項的表示形式是一樣的,根據(jù)通項的特點用數(shù)學歸納法從m=n=0到m+n=100遞推,得到m,n的關(guān)系,逐漸分析題目.有多個未知數(shù)時,采用了固定未知數(shù)的手法,從而減少未知數(shù)個數(shù)來簡化解答過程,解出答案.分析解題的思路,從原有認知結(jié)構(gòu)中找到與本題有關(guān)聯(lián)的知識點二項式展開式從一個容易著手的和更普遍的問題開始,根據(jù)二項式的陳述性知識利用類比的方法轉(zhuǎn)化到三項式的展開,找到問題解決的計劃.從令t=0入手,由特殊到一般的歸納過程,整個過程二項式與三項式聯(lián)系緊密,條理清晰.

解法2對m+n+t=100這個式子放在立體幾何中,則表示一個邊長為的等邊三角形平面,且m,n,t為0≤m,n,t≤100的正整數(shù),如圖1.如圖△OBC為腰長為100的等腰三角形,因為m,n,t是限制在0到100的正整數(shù)所以要使三邊為整數(shù)時應有101個如圖2,抽象出等腰三角形,要使三邊為正整數(shù),BC邊應有101個如圖△OBC為腰長為100的等腰三角形,因為m,n,t是限制在0到100的正整數(shù)所以要使三邊為整數(shù)時應有101個如圖2抽象出等腰三角形,要使三邊為正整數(shù),BC邊應有101個

圖1

圖2

此種解法,從幾何這個角度采用數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化思考的過程,使思考過程更直觀明了也擴展了學生的解題思維.從而簡化解題過程,再由歸納法得出最終結(jié)果.分析題目中的幾何結(jié)構(gòu),運用幾何手段研究代數(shù)問題,理清分析過程中思路,簡化解題過程,加快解題速度,有利于學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng).但是思考的過程是個難點,一般的學生不容易想到聯(lián)系幾何方面的方法來解題,其次抽象出等腰三角形是在此題解題過程中一個巧妙的手法,看起來直觀但往往是學生解題過程中常出現(xiàn)卡頓的地方.

3.2 ACT-R理論下的問題解決分析

分析問題的解決過程,把問題解決的過程與ACT-R理論聯(lián)系起來,回顧二項式中的“展開式”,“項數(shù)”等知識點則是把之前學過的陳述性知識與問題解決聯(lián)系起來,形成解題的知識基礎(chǔ).由二項式解決過程的程序性知識來找到三項式的解決過程.所以整個問題解決的過程蘊含著ACT-R理論.

波利亞的解題表中提出的解決問題的四個步驟,第一是“弄清問題”則是理解問題描述的陳述性知識的含義.梳理出陳述性知識中的未知數(shù)、已知數(shù)、條件.第二步是“擬定計劃”找出各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,得出一個解決問題的計劃既是解決問題的程序性知識.如果不能解決所提的問題,可以先解決一個有關(guān)的問題,或者想出一個容易著手的和更普遍的問題,總之要有一個解決問題的計劃.第三步驟是“實現(xiàn)計劃”這一個步驟則是要達到ACT-R理論中的“目標層級”.實施計劃,把每個任務都分解為以系列的子目標,每步解決一個目標.問題解決后刪除最新的目標進行到下一個目標,直到所有的目標都被解決,則任務也就完成,計劃實施完成,問題得到解決.第四步是“檢驗結(jié)果”這是一個求證的過程,檢驗和反思問題解決的過程,保證結(jié)果和方法的正確性.

4.結(jié)論

喬納森等人認為,問題解決者應該擁有三個方面的知識:陳述性知識,結(jié)構(gòu)性知識,和程序性知識.其中,陳述性知識是指一些有關(guān)對象、事件和思想的知識,他們能夠幫助問題解決者去搜索和確定解題所需的信息;結(jié)構(gòu)性知識是關(guān)于如何組織信息的知識,為問題解決過程中知識的運用提供概念基礎(chǔ);程序知識則是關(guān)于如何做的知識,幫助解題者形成計劃,實施解題過程.

所以數(shù)學問題的解決是運用陳述性知識和程序性知識的過程,利用ACT-R理論對數(shù)學問題解決過程進行指導,可以明確解題步驟,實施解題計劃.使整個解題過程思路清晰,從而使問題得到解決.