吳建芳

（浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán)，浙江湖州 313000）

引 言

小學(xué)數(shù)學(xué)教材將分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)分為“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”（三年級(jí)上）、“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”（五年級(jí)下）兩個(gè)階段來(lái)學(xué)習(xí)。近日筆者對(duì)所任教班級(jí)在五年級(jí)下《分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系》課時(shí)教學(xué)之后，隨機(jī)調(diào)查“解方程16x-8.7=8.3”的情況如下(表1)。

表1 解方程16x-8.7=8.3的調(diào)查情況

全班59人，其中38人正確用小數(shù)除法計(jì)算出準(zhǔn)確結(jié)果1.0625，約占65.5%，用錯(cuò)誤分?jǐn)?shù)16/17表示商的共16人，約占27.6%，真正用17/16表示結(jié)果的只有3人，約占5.2%，其他錯(cuò)誤2人，約占3.4%。從調(diào)查結(jié)果可以看出，學(xué)生學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”之后，其中65.5%的學(xué)生雖然結(jié)果是正確的，但是不會(huì)自覺(jué)地用分?jǐn)?shù)表示商，“分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)”的意識(shí)不明顯，而用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)的商恰恰是分?jǐn)?shù)意義最本質(zhì)的反映。另外，由于在《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》課時(shí)教學(xué)之前，學(xué)生大量接觸的是真分?jǐn)?shù)，從而導(dǎo)致了學(xué)生“分?jǐn)?shù)的分子一定比分母小”的錯(cuò)覺(jué)，形成了對(duì)分?jǐn)?shù)意義的片面理解。因此，在用分?jǐn)?shù)表示商的學(xué)生中絕大部分都是用錯(cuò)誤分?jǐn)?shù)16/17表示的。

基于以上調(diào)查結(jié)果和分析，筆者嘗試將《分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系》《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》進(jìn)行課時(shí)整合教學(xué)。

一、經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生過(guò)程，理解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

教材在《分?jǐn)?shù)的意義》課時(shí)教學(xué)時(shí)，對(duì)分?jǐn)?shù)的定義“把單位‘1’平均分成若干份取一份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)單位”一帶而過(guò)。學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生的必要性沒(méi)有體會(huì)，更體會(huì)不到分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值是什么。分?jǐn)?shù)源于除法，而除法的原始形態(tài)就是平均分，分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生同樣是因?yàn)槠骄值倪^(guò)程中，不能整個(gè)整個(gè)“分”從而引進(jìn)了比1更小的計(jì)算單位——分?jǐn)?shù)單位。下面是一個(gè)教學(xué)實(shí)例：

師：同學(xué)們，老師手中有好多卡片，要平均分給4個(gè)同學(xué)。你們知道怎么分嗎？

生：教師，你那里一共有多少?gòu)埧ㄆ。?/p>

師：我也沒(méi)有數(shù)過(guò)，真的不知道有多少?gòu)垺?/p>

生：那就像發(fā)撲克牌一樣，一張一張地發(fā)就可以了。

師：一張一張地發(fā)就是說(shuō)我們這時(shí)候計(jì)數(shù)單位是1。

師：教師今天還帶來(lái)了3個(gè)一樣的餅，要分給上課表現(xiàn)最好的4個(gè)同學(xué)，你們能幫幫教師嗎？

學(xué)生操作活動(dòng)，學(xué)生展示兩種結(jié)果，師生共同歸納（如圖1）：3÷4=3/4（塊）

圖1 課堂歸納結(jié)果

師：那么，這兩種平均分的分法，有什么相同的地方呢？

生：不能一個(gè)一個(gè)地分了，只好變成一小塊一小塊地分。

師：那現(xiàn)在的一小塊是多少？

生（齊）：一小塊是1/4塊。

師：那如果是這三個(gè)餅，平均分給五個(gè)人，多大的一小塊一小塊地分呢？

生（齊）：1/5塊1/5塊地分。

之后，師生交流討論，歸納分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

這里，“3個(gè)餅4個(gè)人平均分”的問(wèn)題，學(xué)生常見的兩種分法是：三個(gè)疊一起切成同樣的4份，或者三個(gè)餅分別切成4小塊，目的都是變成可以等分給4個(gè)人的小塊——改變計(jì)數(shù)單位。整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生源于平均分的實(shí)際需要，經(jīng)歷了從“一整個(gè)一整個(gè)地分”到“一小塊一小塊地分”的驟變過(guò)程，分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生成為“平均分”的需要，學(xué)生從中體會(huì)到了分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值。

二、經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位的累加過(guò)程，體會(huì)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)

我們知道，一個(gè)數(shù)都是相應(yīng)計(jì)算單位累加的過(guò)程。比如，整數(shù)8就是8個(gè)1的累加，小數(shù)0.8也是8個(gè)0.1的累加。整數(shù)和小數(shù)的累加滿足十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的“滿十進(jìn)一”，但是分?jǐn)?shù)單位的累加卻是“N進(jìn)制計(jì)數(shù)法”。因此，真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)也是相應(yīng)的分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果。

師：下面請(qǐng)大家?guī)屠蠋熃鉀Q這個(gè)問(wèn)題，5個(gè)相同的餅平均分給4個(gè)人該怎么分？

學(xué)生畫圖操作后，反饋了兩種分法與結(jié)果(如圖2)。

圖2 學(xué)生畫圖結(jié)果

師：大家看，這兩種分法，結(jié)果的大小是相等的，那分的過(guò)程有什么不一樣呢？

師：是?。〉谝环N分法，全部轉(zhuǎn)化成一種計(jì)數(shù)單位——3個(gè)餅4個(gè)人平均分成的小塊。而第二種分法，先一整個(gè)地分，再把余下的轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)單位——小塊后繼續(xù)分。想一想前面3個(gè)餅4個(gè)人平均分為什么都轉(zhuǎn)化成了一種分?jǐn)?shù)單位呢？

生：因?yàn)?個(gè)餅4個(gè)人平均分，每人分到的肯定不到一個(gè)。而5個(gè)餅4個(gè)人平均分，每人分到的一定是一個(gè)多，所以可以先一個(gè)一個(gè)地分。

之后，教師引導(dǎo)學(xué)生研究真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念。

三、經(jīng)歷分?jǐn)?shù)單位的直觀轉(zhuǎn)化，感悟數(shù)系擴(kuò)張

數(shù)的概念的每一次擴(kuò)張都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。分?jǐn)?shù)源于除法的需要，負(fù)數(shù)源于減法的需要，無(wú)理數(shù)源于開方的需要……一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。今天，我們所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造得如此完備和縝密，以致在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本的語(yǔ)言和不可或缺的工具[1]。小學(xué)階段，數(shù)的概念擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)系，完成了對(duì)加法、乘法和除法的封閉。我們可以充分利用數(shù)軸(如圖3)，比較直觀地讓學(xué)生建立“非負(fù)有理數(shù)”的概念，體會(huì)分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)的本質(zhì)。

圖3 數(shù)軸

師：直線上的一大格表示1，那么每一小格是多少呢？你會(huì)寫出上面的這些點(diǎn)分別表示哪些數(shù)嗎？

學(xué)生操作之后，2、3、4學(xué)生均不用假分?jǐn)?shù)表示，教師進(jìn)行引導(dǎo)。

生1：2、3、4是整數(shù)。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：整數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)，而且分母由你定。

師：分母由你定，你能給大家舉兩個(gè)例子嗎?

……

學(xué)生一句“分母由你定”，其實(shí)就是分?jǐn)?shù)的“N進(jìn)制”特點(diǎn)的原生態(tài)語(yǔ)言描述。數(shù)軸上的“一大格”“一小格”就是相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位），數(shù)軸上的“大格”與“小格”相互轉(zhuǎn)化了，完成了計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)化，也是分?jǐn)?shù)的“N進(jìn)制”的幾何直觀。教師又通過(guò)計(jì)數(shù)單位的累加，充分利用數(shù)軸，讓學(xué)生形象地領(lǐng)悟了整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，真正經(jīng)歷了數(shù)系擴(kuò)張的過(guò)程，體驗(yàn)了思維帶來(lái)的愉悅和成功。

在教學(xué)中始終圍繞著“分?jǐn)?shù)單位”展開。通過(guò)“創(chuàng)造”分?jǐn)?shù)單位的過(guò)程，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系；通過(guò)分?jǐn)?shù)單位累加的過(guò)程，認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)；通過(guò)在數(shù)軸上進(jìn)行計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)化過(guò)程，完成數(shù)系的擴(kuò)張。教學(xué)實(shí)踐之后，筆者對(duì)任教對(duì)比班級(jí)（56人）進(jìn)行了隨機(jī)作業(yè)“解方程16x-8.7=8.3”的調(diào)測(cè)查，結(jié)果如下（表2）。

表2 隨機(jī)調(diào)查結(jié)果

顯而易見，學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示商的人數(shù)比例大大提高，分?jǐn)?shù)是一種數(shù)的意識(shí)明顯增強(qiáng)。分子分母顛倒的錯(cuò)誤人數(shù)比例也大大降低，說(shuō)明學(xué)生在課時(shí)整合的學(xué)習(xí)中，糾正了“分子比分母小”的片面觀念。學(xué)生可以從更深刻、更全面的角度去理解分?jǐn)?shù)，對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)從第一階段“分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義”飛躍到“分?jǐn)?shù)的商定義”。

結(jié) 語(yǔ)

從以上的教學(xué)實(shí)例可以看出，開展《分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系》與《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》的課時(shí)整合教學(xué)，可以讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的概念有更深入的理解。這說(shuō)明在某種程度上課時(shí)整合教學(xué)具有可行性，教師在其他知識(shí)的教學(xué)中不妨大膽發(fā)揮，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的發(fā)展。