王 勛，左啟耀，洪詩(shī)聘,陳 亮，楊曉昆

(1.北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京 100074;2.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094；3.中國(guó)航天科工信息技術(shù)研究院，北京 100070)

0 引言

衛(wèi)星導(dǎo)航定位解算普遍采用卡爾曼濾波方法，在定位解算算法投入應(yīng)用之前，對(duì)算法性能進(jìn)行評(píng)估，為設(shè)計(jì)和確定滿足衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)性能要求的系統(tǒng)參數(shù)提供了依據(jù)。同時(shí)，為衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)提供了一個(gè)算法驗(yàn)證平臺(tái)，益于系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化、功能設(shè)計(jì)與改進(jìn)，節(jié)約了測(cè)試成本，縮短了系統(tǒng)的開發(fā)周期。因此，對(duì)基于卡爾曼濾波的定位解算性能進(jìn)行評(píng)估，成為提高衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)性能的前提條件和必備依據(jù)。

目前，基于卡爾曼濾波的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位解算性能的評(píng)估方法很少有人研究，但國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出諸多應(yīng)用于其他系統(tǒng)的評(píng)估方法[1-4]，其中模糊層次分析(Fuzzy Analytic Hierarchy Process, FAHP)方法是一種基于模糊數(shù)學(xué)理論的評(píng)估方法，自提出至今，已受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。荷蘭學(xué)者Van Laarhove和Pedrycz[5]最先將三角模糊數(shù)引入判斷矩陣的構(gòu)建，減小了主觀因素影響，并將FAHP方法作進(jìn)一步改進(jìn)，利用對(duì)數(shù)最小二乘法(Logarithmic Least Squares Method, LLSM)從三角模糊判斷矩陣中獲得權(quán)重向量；Younesi等將LLSM方法應(yīng)用于模糊分析網(wǎng)絡(luò)方法中，求解三角模糊評(píng)判矩陣的權(quán)重[6]，提出了一種基于程度分析法(Extent Analysis Method, EAM)的FAHP方法，將程度分析理論應(yīng)用于模糊層次分析法中，并通過計(jì)算一個(gè)三角模糊數(shù)大于其他三角模糊數(shù)的可能性程度來獲得權(quán)重向量；Kemal Kl?拓展了程度分析方法，并利用重心去模糊化和中間數(shù)去模糊化對(duì)權(quán)重進(jìn)行了排序[7]。Teng Y等提出了基于先驗(yàn)規(guī)則挖掘(Apriori Rule Mining,ARM)的FAHP方法，利用先驗(yàn)算法計(jì)算評(píng)估因素間的相關(guān)性，而后采用FAHP方法將相關(guān)性和其他主客觀因素融合，減弱了相關(guān)性強(qiáng)的因素的雙重作用[8]。在以上模糊評(píng)估方法中，對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法能夠有效解決模糊的、難以量化的問題，且只需給出模糊判斷矩陣而無需給出精確的判斷矩陣，其利用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法弱化主觀成分，使權(quán)重更符合客觀實(shí)際，相對(duì)于其他方法更為精確、客觀。而基于卡爾曼濾波的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位解算性能的影響因素眾多，且各因素存在相關(guān)性，其性能評(píng)估是一個(gè)多級(jí)別、多層次的處理過程，涉及對(duì)多源數(shù)據(jù)和信息進(jìn)行探測(cè)、互聯(lián)、相關(guān)、估計(jì)和綜合，往往難以給出精確判斷矩陣。為此，可利用基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法對(duì)定位解算方法進(jìn)行評(píng)價(jià)權(quán)重向量求解，但仍需尋求綜合評(píng)價(jià)方法進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

模糊綜合評(píng)價(jià)(Fuzzy Comprehensive Eval-uate, FCE)方法是一種根據(jù)模糊數(shù)學(xué)隸屬度理論把定性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為定量綜合評(píng)價(jià)的方法。它具有結(jié)果清晰、綜合判斷能力強(qiáng)的特點(diǎn)，但對(duì)于指標(biāo)因素多、因素相關(guān)性強(qiáng)的系統(tǒng)，F(xiàn)CE方法存在確定的指標(biāo)權(quán)重客觀性差、評(píng)判等級(jí)分辨率低等問題。若將基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法和FCE方法結(jié)合，前者用來確定權(quán)重向量，后者利用隸屬度函數(shù)對(duì)指標(biāo)模型進(jìn)行評(píng)判得到模糊關(guān)系矩陣，再應(yīng)用加權(quán)平均型模糊算子將權(quán)重向量和模糊關(guān)系矩陣合成，便可得到算法性能的綜合評(píng)定結(jié)果。但是，基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法求解的權(quán)重向量存在多值性，且權(quán)重向量為三角模糊數(shù)權(quán)重向量，而FCE方法需要唯一、確定的權(quán)重，不能直接利用FCE方法對(duì)各指標(biāo)性能進(jìn)行加權(quán)綜合。針對(duì)此問題，本文推導(dǎo)并建立了權(quán)重唯一的確定條件來消除冗余解，進(jìn)一步，作去模糊化處理確定權(quán)重向量，這是本文提出的基于對(duì)數(shù)最小二乘FAHP-FCE評(píng)估方法得以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。

1 傳統(tǒng)的性能評(píng)估方法

1.1 基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法

滿足如下條件：

i,j=1,2,…,n;i≠j,k=1,2,…,dij

(1)

(2)

分別令

最終整理可得方程組：

Am=b

(3)

Fs=h

(4)

其中：

m=[m1,m2,…,mn]T

矩陣D為矩陣A的對(duì)角線元素構(gòu)成的矩陣，而矩陣N為矩陣A的非對(duì)角線元素構(gòu)成的矩陣。

顯然，通過求解式(3)和式(4)可以得到(li,mi,ui)，進(jìn)而得到歸一化的模糊權(quán)重向量為

(5)

然而易得，矩陣A的秩rank(A)

AA+b=b

(6)

FF+h=h

(7)

則式(3)和式(4)的通解可以分別表示為：

m=A+b+(I-A+A)y

(8)

s=F+h+(I-F+F)z

(9)

其中，A+和F+分別為矩陣A和F的偽逆；y為n維任意列向量，z為2n維任意列向量。

1.2 基于FCE的定位解算算法性能評(píng)估方法

FCE方法是利用模糊線性變換原理和最大隸屬度原則，建立模糊評(píng)判模型，并采用一定的模糊算子進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的方法。模糊評(píng)判模型有3個(gè)基本要素：因素集U={u1,u2,…,un}，評(píng)價(jià)集V={v1,v2,…,vm}和模糊變換。其中，模糊變換即模糊映射：

f:U→F(V)

ui|→f(ui)=(ri1,ri2,…,rim)∈F(V)

(10)

由映射f可誘導(dǎo)出一個(gè)模糊評(píng)判矩陣

(11)

若確定了歸一化權(quán)重向量W，可再由R誘導(dǎo)一個(gè)模糊變換：

TR:F(U)→F(V)

W|→TR(W)=W°R

(12)

進(jìn)一步，為兼顧各元素的權(quán)重，使評(píng)價(jià)結(jié)果充分體現(xiàn)被評(píng)價(jià)對(duì)象的整體特征，引入M(⊕,·)模糊算子，構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)集B

(13)

式中，Wi構(gòu)成正規(guī)化權(quán)重向量W，即有W={W1,W2,…,Wn}。

值得指出的是，在確定模糊評(píng)價(jià)集B時(shí)，若系統(tǒng)影響因素相互關(guān)聯(lián)，僅由一級(jí)模型進(jìn)行評(píng)判會(huì)比較粗糙，不能很好地反映算法性能本質(zhì)，需要引入二級(jí)甚至多級(jí)模糊綜合評(píng)判方法。

2 一種對(duì)數(shù)最小二乘FAHP-FCE評(píng)估新方法

通過分析基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法和FCE方法的特點(diǎn)，前者可以求解較為精確、評(píng)判分辨率較高的權(quán)重向量，后者能夠利用隸屬度函數(shù)對(duì)指標(biāo)模型進(jìn)行評(píng)判得到模糊關(guān)系矩陣，將權(quán)重向量和模糊關(guān)系矩陣合成，從而得到算法性能的綜合評(píng)定結(jié)果。但是，基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法確定的權(quán)重向量不唯一，且為三角模糊數(shù)形式，不能直接用FCE方法對(duì)各評(píng)估因素進(jìn)行加權(quán)綜合運(yùn)算。下面分別針對(duì)基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法求解的權(quán)重向量不唯一、模糊的問題，作深入研究，使得權(quán)重向量可直接用FCE方法進(jìn)一步作綜合評(píng)判。

2.1 對(duì)數(shù)最小二乘FAHP方法

2.1.1 權(quán)重的唯一性確定條件

證明：任取矩陣A中的一行，記為第r行，將矩陣A的其余(n-1)行分別加到第r行上，可將第r行的全部元素變?yōu)?；任取矩陣A中的一列，記為第s列，將矩陣A的其余(n-1)列分別加到第s列上，可將第s列的全部元素變?yōu)?。此時(shí)，將矩陣A的第r行和第s列移除得到(n-1)階矩陣，記為B，顯然矩陣B和矩陣A具有相同的秩。

(14)

即矩陣B為嚴(yán)格按行對(duì)角占優(yōu)矩陣，故矩陣B為滿秩矩陣，因此矩陣A與矩陣B的秩同為(n-1)，同理可得矩陣F的秩為(2n-1)。此時(shí)，式(3)和式(4)的通解具有以下形式[10]：

m=A+b+y1

(15)

s=F+h+z1

(16)

其中，y1=[p2,p2,…,p2]T，z1=[p1,p1,…,p1]T，p1和p2為任意實(shí)數(shù)。

(17)

其中，c1=exp(p1)，c2=exp(p2)。將權(quán)重向量進(jìn)行歸一化處理得

(18)

根據(jù)定理1可得：將基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法應(yīng)用于系統(tǒng)評(píng)估時(shí)，只要保證至少有一位專家對(duì)任意兩指標(biāo)重要性作出判斷，則利用式(18)即可得到唯一的歸一化模糊權(quán)重向量。

2.1.2 權(quán)重的去模糊化處理

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

再進(jìn)行歸一化處理，最終可得去模糊化后的歸一化權(quán)重向量為

(24)

2.2 評(píng)估方法原理及實(shí)現(xiàn)步驟

上述工作，一方面通過設(shè)定模糊判斷矩陣的限制條件，保證了權(quán)重向量的唯一性；另一方面采用CFCS方法進(jìn)行去模糊化處理，從而確定了唯一的非模糊權(quán)重。至此，即可利用FCE方法對(duì)算法性能進(jìn)行綜合定量評(píng)估。圖1所示為所提出的對(duì)數(shù)最小二乘FAHP-FCE評(píng)估方法的原理。

圖1中，評(píng)估方法由對(duì)數(shù)最小二乘FAHP方法和FCE方法兩部分構(gòu)成。前者通過構(gòu)建遞階層次結(jié)構(gòu)體系和模糊判斷矩陣，并采用對(duì)數(shù)最小二乘法構(gòu)建模糊權(quán)重向量解算模型，經(jīng)解算、歸一化后得到模糊權(quán)重向量。繼而利用2.1節(jié)中所述的方法，對(duì)模糊權(quán)重向量進(jìn)行去模糊處理，得到唯一的子目標(biāo)權(quán)重集Wi和指標(biāo)權(quán)重集wij。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)和指標(biāo)模型計(jì)算值構(gòu)建隸屬函數(shù)模型，經(jīng)模糊變換后得到隸屬度矩陣R，再應(yīng)用加權(quán)平均模糊算子將權(quán)重集Wi、wij和隸屬度矩陣R合成，進(jìn)而得到模糊綜合評(píng)判結(jié)果。

根據(jù)上述分析，對(duì)數(shù)最小二乘FAHP-FCE評(píng)估新方法的執(zhí)行步驟可歸結(jié)如下：

Step1：構(gòu)造遞階層次結(jié)構(gòu)體系

根據(jù)系統(tǒng)所包含的因素及相關(guān)關(guān)系，分解出關(guān)鍵性評(píng)判準(zhǔn)則，并構(gòu)建評(píng)判子目標(biāo)、指標(biāo)和評(píng)估等級(jí)論域集，從而構(gòu)成多層次指標(biāo)體系結(jié)構(gòu)。設(shè)系統(tǒng)評(píng)估子目標(biāo)和評(píng)價(jià)等級(jí)論域集分別為U和V：

U={u1,u2,…,um}，V={V1,V2,…,Vn}

(24)

式中，ui為第一層(最高層)中的第i個(gè)子目標(biāo)，它由第二層中的p個(gè)指標(biāo)決定，即有ui={ui1,ui2,…,uip},i=1,2,…,m。

Step2：確定權(quán)重分配集

利用對(duì)數(shù)最小二乘FAHP方法，確定出各子目標(biāo)和指標(biāo)的權(quán)重分配集。步驟歸結(jié)如下：

1)利用對(duì)數(shù)最小二乘法構(gòu)建模糊權(quán)重向量求解式(2)，依據(jù)三角模糊權(quán)重向量的唯一化確定條件，通過求解式(3)和式(4)，計(jì)算得到矩陣A、b、F和h。

2)計(jì)算矩陣A、F的偽逆A+和F+，并計(jì)算A+b和F+h，然后根據(jù)式(18)得到歸一化的模糊權(quán)重向量。

3)利用CFCS方法對(duì)模糊權(quán)重向量進(jìn)行去模糊化處理，得到非模糊的歸一化權(quán)重向量。

按上述步驟，可分別得到子目標(biāo)和指標(biāo)的權(quán)重分配集：

W={W1,W2,…,Wm}和Wi={wi1,wi2,…,wip}

(25)

式中，Wi和wij滿足：

(26)

Step3：構(gòu)造隸屬度矩陣

通過若干次蒙特卡羅仿真，得到歸一化的指標(biāo)模型值，將其代入一元線性隸屬度函數(shù)[12]，確定出子目標(biāo)集ui中每一指標(biāo)關(guān)于評(píng)價(jià)集V的隸屬度，從而導(dǎo)出子目標(biāo)層次的隸屬子集Ri為

(27)

由于系統(tǒng)通常存在復(fù)雜的不確定因素，因素間還分屬不同的層次，需要由低到高逐層確定權(quán)重并進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，同時(shí)還需要保持評(píng)價(jià)的整體性與一致性，因而需要在一級(jí)模糊綜合評(píng)判的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引入二級(jí)模糊綜合評(píng)判，以得到二級(jí)綜合評(píng)判結(jié)果。

Step4：選擇加權(quán)平均模糊算子進(jìn)行綜合評(píng)判

構(gòu)造一級(jí)模糊評(píng)估集為

=[bi1,bi2,…，bin]

(28)

其中，“°”為加權(quán)平均型模糊算子；Wi為子目標(biāo)權(quán)重集；Ri為子目標(biāo)層次的隸屬子集。

為了進(jìn)一步得到高層次的綜合評(píng)價(jià)，必須進(jìn)行二級(jí)模糊綜合計(jì)算，建立如下二級(jí)模糊綜合評(píng)估模型：

=[b1,b2,…，bn]

(29)

這樣，在一級(jí)模糊評(píng)判的基礎(chǔ)上，將一級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)所得到的歸一化評(píng)價(jià)結(jié)果合成矩陣R，作為因素集U到評(píng)價(jià)集V的隸屬度矩陣，再根據(jù)式(29)計(jì)算評(píng)價(jià)向量，由此逐層評(píng)判即完成多級(jí)綜合評(píng)價(jià)。

3 性能評(píng)估結(jié)果與分析

全天時(shí)、全天候條件下，衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的定位測(cè)速精度和可靠性在一定程度上取決于定位解算算法的性能，以彈載衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為對(duì)象，利用本文方法對(duì)其定位解算算法的性能進(jìn)行評(píng)估。將本文所提出的對(duì)數(shù)最小二乘FAHP-FCE評(píng)估新方法與具有代表性的兩類方法進(jìn)行對(duì)比研究，即文獻(xiàn)[13]中所述的基于程度分析的FAHP方法和基于ARM的FAHP方法[14]。

3.1 性能評(píng)估數(shù)據(jù)來源

邀請(qǐng)3位專家利用三角模糊數(shù)對(duì)各指標(biāo)之間的相對(duì)重要性作出判斷，得到三角模糊評(píng)判矩陣；對(duì)9個(gè)指標(biāo)模型進(jìn)行150次蒙特卡羅仿真，將歸一化指標(biāo)值代入隸屬函數(shù)得到隸屬度矩陣。

3.2 層次結(jié)構(gòu)評(píng)估指標(biāo)體系建立

根據(jù)各指標(biāo)模塊間的相對(duì)重要性及相互關(guān)系，構(gòu)建定位解算算法性能模糊綜合評(píng)價(jià)遞階層次指標(biāo)體系。

圖2所示為評(píng)估指標(biāo)的遞階層次結(jié)構(gòu)，層次結(jié)構(gòu)包含目標(biāo)層(A)、準(zhǔn)則層(B)和措施層(C)三層。其中，準(zhǔn)則層具體分為定位解算算法復(fù)雜度評(píng)估(B1)、定位效果評(píng)估(B2)和算法穩(wěn)定性評(píng)估(B3)等3個(gè)一級(jí)評(píng)估準(zhǔn)則，這3個(gè)準(zhǔn)則下分別包含若干個(gè)二級(jí)指標(biāo)。算法復(fù)雜度準(zhǔn)則涉及的二級(jí)性能評(píng)估指標(biāo)有時(shí)間復(fù)雜度(C1)、空間復(fù)雜度(C2)；定位效果準(zhǔn)則涉及的指標(biāo)有定位絕對(duì)誤差(C3)、定位相對(duì)誤差(C4)、定位速度(C5)以及定位有效性(C6)；算法穩(wěn)定性準(zhǔn)則包括算法收斂性(C7)、容錯(cuò)能力(C8)和魯棒性(C9)。這些具體指標(biāo)模型及量化結(jié)果共同構(gòu)成二級(jí)性能評(píng)估措施層(C)。值得提出的是，由于措施層(C)具有相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)模型和量化結(jié)果輸出，因此，構(gòu)建的遞階層次結(jié)構(gòu)評(píng)估指標(biāo)體系模型能夠更加確切地描述定位解算算法性能評(píng)估結(jié)果。

3.3 指標(biāo)權(quán)重計(jì)算

邀請(qǐng)3位專家利用三角模糊數(shù)對(duì)各指標(biāo)之間的相對(duì)重要性作出判斷，且對(duì)于任意兩指標(biāo)之間的重要性進(jìn)行比較，至少有一位專家給出判斷，得到準(zhǔn)則層和指標(biāo)層的模糊判斷矩陣，分別如表1～表4所示。

表1 主指標(biāo)(A)的模糊判斷矩陣Tab.1 Fuzzy comparison matrix of the main index(A)

表2 算法復(fù)雜度(B1)的模糊判斷矩陣Tab.2 Fuzzy comparison matrix of the algorithm complexity(B1)

表3 定位效果(B2)的模糊判斷矩陣Tab.3 Fuzzy comparison matrix of the positioning effect(B2)

表4 算法穩(wěn)定性(B3)的模糊判斷矩陣Tab.4 Fuzzy comparison matrix of the algorithm stability(B3)

分別利用基于程度分析的FAHP方法、基于ARM的FAHP方法和基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法計(jì)算各模糊判斷矩陣的權(quán)重向量，權(quán)重向量的計(jì)算結(jié)果如表5～表8所示。

表5 主指標(biāo)(A)的子指標(biāo)權(quán)重(W1-W3)Tab.5 Weight vectors(W1-W3) of the main index(A)

表6 算法復(fù)雜度(B1)的子指標(biāo)權(quán)重(W11-W12)Tab.6 Weight vectors (W11-W12) of the algorithm complexity (B1)

表7 定位效果(B2)的子指標(biāo)權(quán)重(W21-W24)Tab.7 Weight vectors (W21-W24) of the positioning effect (B2)

表8 算法穩(wěn)定性(B3)的子指標(biāo)權(quán)重(W31-W33)Tab.8 Weight vectors (W31-W33) of the algorithm stability (B3)

由表5可以看出，利用基于程度分析的FAHP方法得到的子指標(biāo)B2和B1的權(quán)重分別為0.7043和0.1144，二者之比約為6.156；利用基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法得到的子指標(biāo)B2和B1的權(quán)重分別為0.4672和0.2221，二者之比約為2.103。而由表3可得，專家對(duì)子指標(biāo)B2和子指標(biāo)B1之間的相對(duì)重要性判斷為(1/2, 1, 3/2)和(5/3, 2, 7/3)，對(duì)比這兩種方法計(jì)算得到的子指標(biāo)B2和B1的權(quán)重之比，可見基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法得到的權(quán)重分配結(jié)果更能代表各子指標(biāo)之間的相對(duì)重要性。而基于ARM方法得到的主指標(biāo)B1、B2和B3的權(quán)重分別為0.4210、0.2218和0.3572，該方法得出的定位效果(B2)和穩(wěn)定性權(quán)重(B3)均大于算法復(fù)雜度(B1)，與實(shí)際不符合，這是由于樣本較少且典型性的規(guī)則被最小支持度限制篩掉。

事實(shí)上從表5～表8中可以看出，前兩種方法計(jì)算得到的各子指標(biāo)權(quán)重明顯偏大或偏小，即該方法計(jì)算得到的權(quán)重結(jié)果并不能代表子指標(biāo)之間的相對(duì)重要性，而基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法得到的權(quán)重結(jié)果則相對(duì)更加合理。

另外，由表7可以看出，利用基于程度分析的FAHP方法計(jì)算得到的子指標(biāo)C4的權(quán)重為0，即在進(jìn)行指標(biāo)綜合時(shí)子指標(biāo)C4的作用將被忽略掉，這顯然是不合理的。而基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法卻不存在這種問題。

通過以上兩方面的比較分析，基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法的權(quán)重計(jì)算結(jié)果優(yōu)于基于程度分析的FAHP方法和基于ARM的FAHP方法。

3.4 模糊隸屬度矩陣計(jì)算結(jié)果

對(duì)定位解算算法進(jìn)行150次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)評(píng)估指標(biāo)模型和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)確定的隸屬度函數(shù)，求解隸屬度矩陣的結(jié)果歸納如下：

1)B1的隸屬子集為(其中矩陣元素rijk表示第i個(gè)子目標(biāo)的第j個(gè)指標(biāo)隸屬于第k個(gè)評(píng)判等級(jí)的程度)

2)B2的隸屬子集為

3)B3的隸屬子集為

3.5 定位解算算法綜合評(píng)判結(jié)果

建立量化評(píng)估區(qū)間賦值表如表9所示。

表9 評(píng)語(yǔ)集量化區(qū)間賦值表

依據(jù)對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法和基于程度分析的FAHP方法得到的準(zhǔn)則層權(quán)重向量，可計(jì)算得到一級(jí)模糊評(píng)估集Bi如下：

1)B1的一級(jí)模糊評(píng)估集為：

2)B2的一級(jí)模糊評(píng)估集為：

3)B3的一級(jí)模糊評(píng)估集為

將一級(jí)模糊評(píng)價(jià)結(jié)果構(gòu)成二級(jí)單因素評(píng)判矩陣，得到綜合評(píng)價(jià)向量為

從綜合評(píng)價(jià)向量可以看出，定位解算算法性能屬于評(píng)價(jià)集的隸屬度為0.5767,0.3652,0.0484,0,0，根據(jù)最大隸屬度原則，定位解算算法性能隸屬于很好。

同樣，根據(jù)各子集的隸屬度和相應(yīng)權(quán)重向量，逐層向上加權(quán)，不難得到基于程度分析的FAHP方法和基于ARM的FAHP方法的綜合評(píng)估結(jié)果，并將最終評(píng)價(jià)結(jié)果與提出的對(duì)數(shù)最小二乘FAHP-FCE方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表10所示。

表10 三種評(píng)估方法結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

本文通過對(duì)基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP方法和FCE方法的深入分析，結(jié)合基于卡爾曼濾波的定位解算算法性能評(píng)估的特點(diǎn)，提出了一種基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP-FCE評(píng)估方法。以彈載衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的定位解算算法性能評(píng)估為實(shí)例，并分別與具有代表性、前沿性的兩類方法進(jìn)行對(duì)比，得出以下結(jié)論：

1)基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP-FCE方法有效利用了FAHP方法和FCE方法均善于處理模糊、不精確問題的優(yōu)點(diǎn)，在定性分析與定量分析之間建立了聯(lián)系。同時(shí)，模糊評(píng)估方法具有較強(qiáng)的綜合評(píng)判能力，利用FAHP方法確定精確的指標(biāo)權(quán)重，形成優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，使模糊評(píng)估更具科學(xué)性。

2)傳統(tǒng)的對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP-FCE方法應(yīng)用于性能評(píng)估時(shí)存在權(quán)重不唯一性和模糊性問題。而基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP-FCE方法，通過給出模糊判斷矩陣的限制性條件，即滿足至少有一位專家給出任意兩指標(biāo)之間的重要性評(píng)判，保證了歸一化模糊權(quán)重向量的唯一性；此外，利用CSCF方法對(duì)模糊權(quán)重向量進(jìn)行去模糊化處理，從而得到可供FCE方法直接綜合運(yùn)算的非模糊權(quán)重值。

3)盡管三種方法得到的評(píng)價(jià)隸屬度差異較小，但由于基于程度分析法的FAHP方法計(jì)算得到的權(quán)重向量并不是最優(yōu)的，且在進(jìn)行程度比較時(shí)，出現(xiàn)了指標(biāo)權(quán)重為0的情況，這導(dǎo)致了綜合評(píng)判結(jié)果的偏差；而基于ARM的FAHP方法會(huì)篩掉典型性的規(guī)則，也會(huì)引入偏差。通過對(duì)比，基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP-FCE方法求解的權(quán)重更符合客觀實(shí)際。

因此，本文提出的基于對(duì)數(shù)最小二乘的FAHP-FCE方法得到的算法性能評(píng)估結(jié)果相對(duì)更準(zhǔn)確、可靠。