馬 爽，楊 軍，袁 博

(西北工業(yè)大學 航天學院，西安 710072)

0 引言

為了提高導彈攻擊機場、指揮中心、現(xiàn)代軍艦、潛艇、坦克和大型建筑物等目標的殺傷力，不僅希望導彈能夠精確打擊目標，同時還希望導彈能夠以期望的攻擊角度擊中目標，從而更大地發(fā)揮戰(zhàn)斗部的毀傷效能[1-2]。此外，偵察(搜索或勘測)無人機(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)航路點的飛行路徑也考慮了角度約束問題，高超聲速飛行器再入制導也需要考慮落角約束，因此設計滿足角度約束的制導律是十分必要的[3]。

針對具有落角約束的制導律設計問題，Zhengdong Hu等[4]利用最優(yōu)控制理論結合變結構控制理論，通過神經網絡訓練得出等速趨近律的系數，得到三維空間下的具有落角約束的導彈最優(yōu)制導律。Yao Zhao等[5]利用有限時間收斂的滑?？刂坡稍O計了可全向攻擊的滿足導彈落角約束的制導律。Chang-Kyung Ryoo等[6]利用最優(yōu)控制理論得到了帶有落角約束的導彈的最優(yōu)導引律，可較為準確地計算出導彈的剩余飛行時間。張友安等[7]利用Schwarz不等式得到了控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)或無慣性環(huán)節(jié)的帶落角約束的任意加權制導律。

本文針對攻擊特定目標需要有落角約束的情況，利用落角和脫靶量的始端和終端約束，使用多項式函數推導得到了在縱向平面內滿足落角約束的制導律的解析表達式。通過選取合適的制導律系數，可以使得導彈的法向過載在攻擊目標的過程中逐漸趨向于0，這是利用最優(yōu)控制理論求得的具有落角約束的制導律不能達到的。

1 彈目相對運動學模型

考慮典型條件為載機發(fā)射空對地導彈攻擊敵方靜止目標，為最大限度地發(fā)揮導彈的毀傷效能，采用帶有落角約束的制導律攻擊該目標。針對該典型條件建立理想情況下的彈目相對運動關系，將導彈和目標均視為縱向對稱平面內的質點，忽略周圍復雜環(huán)境的干擾，如圖1所示，導彈在點M處，目標在點T處，參考線為水平面上的基準線。Vm為導彈速度，θ為彈道傾角，θm為目標的速度方向角，am為導彈的加速度，彈目相對距離為r，彈目視線角為q。假定導彈勻速運動，目標靜止，導彈運動的加速度垂直于其速度方向，不改變速度大小，只改變速度方向[8-9]，t0為初始時刻，tf為終端時刻，則彈目相對運動學方程可表示為：

(1)

設計具有落角約束的導彈制導律，其目的是要設計合適的制導律使得導彈能夠在飛行末端以期望的落角和盡可能小的脫靶量命中目標，需要滿足如下的始端和終端條件：

(2)

當導彈的彈道傾角θ不大時，將自變量設為x，對式(1)進行小擾動線性化處理，可以得到非常簡潔的彈目相對運動學方程，處理后結果如下

(3)

其中，x為導彈的橫向位移，y為導彈的縱向位移，f′代表f對x的導數。

通過將自變量轉變?yōu)閤，可以將原本未知的自變量命中時間tf轉化為已知的自變量即命中位置xT，即目標的位置xT，故可用y表示導彈的脫靶量，方便利用終端約束條件對其進行求解。

(4)

帶落角約束的導彈制導律不僅要求導彈在終端時刻的脫靶量盡可能地小以保證擊中目標，同時也要求導彈在終端時刻的落角為期望落角。要使導彈以預計的落角擊中(xf,yf)處的目標，可將導彈的制導指令設為如下的多項式形式[10]

(5)

式中，xgo=xf-x，n為正實數且n≥1,c1、c2為待求制導律參數。

式(5)中用含2個待定參數的多項式函數的形式表示時間可控的導引指令，設計參數c1保證導彈能夠擊中目標，即脫靶量為0。由式(3)可得，在小擾動線性化的假設前提下，導彈的彈道傾角θ可近似為導彈的縱向位移y關于導彈的水平位移x的一階導數。因此，將制導指令中的落角約束項設為比脫靶量約束項的階數低一階是合理的。故設計參數c2可以保證導彈能夠按預計落角擊中目標，滿足角度約束。求解出c1和c2的解析解，則可用式(5)表示落角約束的制導指令。

2 帶有落角約束的制導律

為了保證設計的制導律能夠在落角約束的條件下命中目標，首先要確定制導指令式(5)中的參數c2，進而求得c1，最終得到制導指令。

將式(3)寫成積分形式同時引入初始條件，可得：

(6)

將式(5)代入式(6)中，化簡后：

(7)

式中，cx、cy為與初始條件相關的常值，分別為：

(8)

將始端條件和終端條件式(4)代入式(7)，有：

(9)

(10)

求解式(10)，可得：

(11)

將式(11)代入式(6)，得

(12)

式(12)利用始端和終端約束求得了導彈在初始點處的加速度指令，則對于任意橫向位移x，制導指令可寫為

(13)

其中，

(14)

可以看出，apn是經典比例導引律的線性近似。

當n=1時，式(13)與利用最優(yōu)控制理論求得的具有落角約束的導彈制導律的形式相同，此時比例導引律的系數為3。如果用經典比例導引律代替apn，并將制導指令aB轉換為以時間為自變量的形式，則式(13)可以寫成如下形式

(15)

式中，tgo=tf-t代表導彈的剩余飛行時間。

可以看出，式(15)中含有導彈的剩余飛行時間tgo，將導彈的剩余飛行時間用式(16)近似

(16)

所以，式(15)可以表示為如下形式

(17)

式(17)即為本文求得的基于多項式函數推導得出的落角約束制導律?？梢钥闯?，當時，式(17)退化為比例系數為2的比例導引律。

3 仿真結果與分析

在本文的假設前提下，在不同期望落角及不同制導律系數的情況下對文中求得的帶落角約束的導彈制導律進行仿真分析。

假設載機發(fā)射空對地導彈攻擊敵方靜止目標，載機發(fā)射導彈時導彈位于(0m,10000m)處，導彈最大可用過載為50g，其初速度為V0=240m/s，初始彈道傾角為θ0=0°；目標靜止于(10000m,0m)處，導彈的自動駕駛儀簡化為一階慣性環(huán)節(jié)，時間常數為0.45。

1)設置期望落角為θf=-30°，利用本文所設計的制導律，分別令n=1,2,3， 得到仿真結果如圖2～圖4所示。

當制導律系數分別取為n=1,2,3時，導彈的脫靶量分別為0.0557m、0.0689m、0.0162m，能夠保證精確命中目標。

由圖2可以看出，當系數n取不同的值時，導彈都能按照預定的角度擊中目標。當n越小時，導彈的彈道曲線越平滑。

由圖3可以看出，當系數n取不同的值時，導彈最終都能以期望的落角擊中目標，當n越大時，導彈的彈道傾角越快地趨向于期望落角，但其初始時刻偏離期望落角的程度越大。

特別地，由圖3和圖4可以看出，當系數n>1時，導彈的過載最終可以收斂到0，當n=1時導彈的過載不能收斂至0。通過設置合適的目標函數并應用施瓦茨不等式求解，可以得到初始位置誤差、初始方向誤差和落角約束作用下的無量綱加速度指令，指令的解析形式表明，只有當系數n>1時，加速度指令在彈道末端才會趨近于0[11]。

2)令制導律系數n=2，設置導彈的期望落角θf分別為-45°、-60°、-90°，對本文所設計的制導律進行仿真，仿真結果如圖5～圖7所示。

期望落角θf分別為-45°、-60°、-90°時，導彈的脫靶量分別為0.0919m、0.0815m、0.138m，能夠精確地命中目標。

由圖5和圖6可以看出，當導彈的期望落角θf取不同的值時，本文設計的制導律能夠使導彈按照預定角度命中目標。

由圖6可以看出，當期望落角θf大于初始彈目視線角時，導彈的彈道傾角是單調遞增的；不同期望落角θf使得導彈命中目標的時間不同。

由圖7可以看出，當導彈的期望落角θf不同時，導彈的初始法向過載差異較大，但最終都能收斂到0。

因此，本文設計的制導律不僅能夠使導彈按照期望角度命中目標，同時當制導律系數n>1時，還可使導彈的法向過載逐漸趨向于0，這是利用最優(yōu)控制理論求得的具有落角約束的制導律不能達到的。

4 結論

本文通過建立縱向對稱平面內彈目相對運動學模型，在小擾動線性化假設的前提下，利用落角和脫靶量的始端和終端約束，推導得到滿足落角約束的導彈制導律，該制導律是由經典比例導引律以及關于落角的修正項組合而成。仿真結果表明，將導彈的自動駕駛儀簡化為一階慣性環(huán)節(jié)時，在不同的仿真條件下，該制導律都能按照期望落角擊中目標。當制導律系數n>1時，可以使得導彈的法向過載最終趨向于0。