□ 海南師范大學(xué)附屬中學(xué) 廖云霞

如果用一個平面去截幾何體，那么該平面與這個幾何體的各個面相交，由交線圍成的平面圖形叫幾何體的截面。打個比方，木匠用鋸子將某個小木塊鋸成兩塊，“鋸口”就是我們所說的截面。本文將以正方體為載體，展開討論關(guān)于截面的如下兩個問題：一是過三點（均在棱上）作正方體的截面的做法；二是截面面積或周長的計算。通過研究正方體的截面問題，我們能更好地揭示空間圖形與平面圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

因為正方體的各個面都是平面，所以用平面去截它所得的截面必是多邊形。由于截面至少與正方體的三個面相交，至多與六個面相交，所以截面的形狀只能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形四種。截面與正方體每一個面的交線由兩個公共點決定，所以只要找到截面與正方體某個面的兩個公共點，就能做出截面與該面的交線。公共點與交線的求得，主要依據(jù)為：

1.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

2.公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面，及公理2的三個推論。

3.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

4.面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

5.如果三個平面兩兩相交，那么所得三條交線平行或共點。

例1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。做過D1、E、F三點的截面，并求截面圖形的周長。

圖1

作法1（延長線法）：如圖1，分別延長D1F、DC交于點 P；連接 PE，交 BC于點 N；延長 PE，交 DA的延長線于點S；連接D1S，交AA1于點M，則五邊形D1MENF即為所求作的截面圖形。

由三角形相似可得A1M=3MA,CN=2NB，易得截面

作法 2（平行線法）：如圖 2，連接 D1F，過 A作A1S//D1F，交 B1B 于點 S；過 E 作 EM//A1S，交 AA1于點 M，連接 D1M；過 C作 C1T//D1M，交 BB1于點 T；過F作FN//C1T，交BC于點N，則D1MENF五邊形即為所求作的截面圖形。

圖2

點撥：作法1是通過延長線找線與線的交點，進(jìn)而找出面與面的交線，最終找出截面與正方體各個面的交點；作法2是在正方體的表面不斷地作已知直線的平行線，進(jìn)而找出截面與正方體各個面的交點。

例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點P、Q、R 分別在棱 AB、BC、CD 上，且做出過P、Q、R三點的截面，并求出截面面積。

圖3

作法：如圖 3，由于 BP=BQ，所以 PQ//AC，那么過點R且平行于PQ的直線與AA1的交點U為AA1的中點，且點U在截面上，連接PU。因為UR的中點是正方體的中心，所以截面多邊形的頂點關(guān)于正方體中心對稱。由對稱性，便可做出截面PQRSTU，且其面積為梯形積的2倍。

點撥：先利用平行線確認(rèn)一個點在截面內(nèi)，再利用正方體及截面的對稱性，確認(rèn)截面圖形。

例3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，R、S、T 分別為棱 AA1、BC、C1D1的中點。求做過 R、S、T三點的截面，并且計算截面面積。

圖4

作法 （輔助平面法）：首先過R、T做一個輔助平面。 過 T作 TG//D1D交于點 G，連接 A1T、AG，則有TG//A1A，得到輔助平面A1ATG。連接TR并延長交GA的延長線于點K。連接KS，交AB于點N，交DC的延長線于點E。連接ET，交CC1于點Q，交DD1的延長線于點F。 連接FR，交A1D1于點M，交KE于點H，則H必在DA的延長線上。最后，連接RN，SQ，TM，則六邊形RNSQTM即為所求截面。

知△D1MT與△BSN， 因為 D1T=SB， 所以△D1MT≌△BSN，因此MT=NS。

又由R是A1A的中點，可證得KH=MT，KN=NE.又因為S是BC的中點，所以NS=SE.易證KH=HN=NS=SE。由此可得

同理可證得∠MTQ=∠TQS=∠QSN=∠SNR=∠NRM=∠TMR=120 ②

點撥：借助一個過其中兩點的輔助平面，再利用延長線法找出截面與正方體各個面的交點。

聞師母病逝悲寄恩師周公

□ 陳則民

求學(xué)有緣遇周公，

愛徒如子勝親翁。

園丁半世耕耘累，

筆墨終生教化豐。

退隱田莊剛快意，

攜妻故里晚霞紅。

悲聞師母西游去，

誰管周公老稚童？