☉浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心 褚水林

數(shù)學(xué)是思維的體操，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)核心目標(biāo)之一.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅關(guān)注知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)，更要關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)思維、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)求知，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).但從日常的教學(xué)調(diào)研、訪談分析，部分教師在教學(xué)中存在著“重結(jié)果、輕過程”“重?cái)?shù)量、輕質(zhì)量”“重知識(shí)、輕思維”的現(xiàn)象，究其原因，教師重在關(guān)注自身的教，關(guān)注學(xué)生的學(xué)還不夠，缺少研究讀懂學(xué)生意識(shí)，缺少學(xué)生學(xué)習(xí)心理的核心知識(shí)，缺少思維能力培養(yǎng)的策略和方法.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教育出發(fā)點(diǎn)、歸宿點(diǎn)都應(yīng)體現(xiàn)在學(xué)生身上.只有了解學(xué)生、研究學(xué)生，讀懂學(xué)生思維，走進(jìn)學(xué)生心靈，我們的教學(xué)才更有效，將培養(yǎng)學(xué)生思維能力真正落實(shí)在日常教學(xué)之中.怎樣才能讀懂學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)呢？

一、營(yíng)造平等、民主的課堂氛圍——讓學(xué)生敢想敢說

要讀懂學(xué)生思維，前提條件是讓學(xué)生充分暴露思維過程.要暴露學(xué)生的思維過程，需要營(yíng)造和諧、安全、平等、民主的課堂氛圍.心理學(xué)家羅杰斯曾指出，一個(gè)人的創(chuàng)造力只有在其感覺到“心理安全”和“心理自由”的條件下才能獲得最大限度的表現(xiàn)和發(fā)展.首先，建立和諧的師生關(guān)系.當(dāng)師生關(guān)系、生生關(guān)系融洽時(shí)，學(xué)生會(huì)感受到課堂的心理安全感，學(xué)生會(huì)主動(dòng)投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，會(huì)大膽交流、樂于發(fā)表自己的見解.因此，教師需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)變角色，要從內(nèi)心深處關(guān)愛學(xué)生，面向全體，要以組織者、引領(lǐng)者、促進(jìn)者的角色組織教學(xué)，建立良好、平等的師生關(guān)系.其二，給予學(xué)生思考時(shí)間與空間.課堂是師生交流、生生交流、師生共同成長(zhǎng)的園地，思維碰撞的場(chǎng)所.當(dāng)課堂定位為發(fā)展學(xué)生生命成長(zhǎng)的高度的時(shí)候，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生真正經(jīng)歷概念的形成過程、定理的發(fā)現(xiàn)過程、結(jié)論的應(yīng)用過程、方法的提煉過程.在活動(dòng)過程中，向?qū)W生提供自主、寬敞思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)有時(shí)間想，而不是教師急于告知，也不是經(jīng)常打斷學(xué)生思路.教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)平臺(tái)，給予學(xué)生自主表達(dá)思維過程的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)表達(dá)和交流.

二、讀懂學(xué)生思維的精彩——讓學(xué)生展示相異構(gòu)想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程.走進(jìn)課堂，走進(jìn)變化.真實(shí)的數(shù)學(xué)課堂不可能完全是一種預(yù)設(shè)執(zhí)行和再現(xiàn)，更多的是充滿“變數(shù)”的“生成”，更多的是來自學(xué)生的精彩.由于學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)風(fēng)格、學(xué)習(xí)環(huán)境的差異，每個(gè)個(gè)體學(xué)習(xí)方式并不相同，教師要真正走進(jìn)學(xué)生，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)反映，了解學(xué)生的思維狀態(tài).怎樣讀懂學(xué)生的精彩思維呢？首先，創(chuàng)設(shè)載體，讓學(xué)生充分展示精彩思維過程.設(shè)計(jì)元問題，由元問題生長(zhǎng)新問題，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題過程中又產(chǎn)生新問題，由問題引發(fā)學(xué)生積極思維，由不斷遞進(jìn)問題提高學(xué)生思維層次，碰撞學(xué)生思維火花.其二，教師要做一個(gè)觀察者、聆聽者、發(fā)現(xiàn)者、點(diǎn)撥者，善于捕捉學(xué)生的思維過程，用欣賞的眼光讀懂學(xué)生獨(dú)到的觀點(diǎn)、不同的想法、精彩的解法.其三，教師善于組織學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究、交流展示，讓學(xué)生能耐心聆聽其他學(xué)生不同的思考方法，開拓自身思維.

案例1：八年級(jí)“一次函數(shù)與幾何結(jié)合復(fù)習(xí)”教學(xué)片段.

這是由簡(jiǎn)單圖像出發(fā)的開放性問題，由于起點(diǎn)低、思維寬，結(jié)論、策略均開放，學(xué)生能從不同視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而分析問題、解決問題.下面呈現(xiàn)部分學(xué)生提出的具有價(jià)值的問題.

生1：取線段AB的中點(diǎn)M，求中點(diǎn)M的坐標(biāo)，還可求直線OM的解析式.

生2：求經(jīng)過點(diǎn)P（0，10）且平行于直線AB的直線的解析式.

生3：在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

生4：在坐標(biāo)軸上否存在一點(diǎn)P，使△ABP是等腰三角形？

生5：在AB上方是否存在點(diǎn)P，使△ABP是等腰直角三角形？

生6：在直線AB上是否存在點(diǎn)Q，使S△BOQ=S△AOB？

生7：在直線AB外是否存在一點(diǎn)Q，使S△ABQ=S△AOB？

生8：在直線AB外存在一點(diǎn)Q，使S△ABQ=S△AOB，這樣的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)，這些點(diǎn)形成什么圖形？能否求出解析式？

……

學(xué)生討論非常激烈，思維火花一浪激起一浪，最后教師組織學(xué)生逐一解決生成的每一類問題，在解決問題過程中又展現(xiàn)精彩的思維.

通過設(shè)計(jì)元問題生長(zhǎng)新問題的方式，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，學(xué)生參與思維的動(dòng)力、活力不斷激活，參與思維含量不斷增加.不同學(xué)生都呈現(xiàn)了思維精彩，學(xué)生設(shè)計(jì)問題時(shí)，教師還可引導(dǎo)其從點(diǎn)、線、面進(jìn)行分類歸納.從點(diǎn)上突破，設(shè)計(jì)求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；從線上突破，設(shè)計(jì)兩線的位置關(guān)系問題；從面上突破，設(shè)計(jì)特殊三角形（等腰三角形、等腰直角三角形）存在性問題、三角形面積問題等.這里不僅呈現(xiàn)問題多樣性、獨(dú)特的想法，而且思維靈活性、層次性、深刻性得到較好體現(xiàn).學(xué)生思維多樣性，也促進(jìn)教師思維能力提升，真正體現(xiàn)師生共同成長(zhǎng).

三、讀懂學(xué)生的思維偏差——教師適時(shí)恰當(dāng)指導(dǎo)

初中生由于受年齡、身心發(fā)展的制約，思維還未成熟，對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解還是比較膚淺的、表面的、不全面的.教師要善待和包容學(xué)生差錯(cuò)，研究學(xué)生思維特點(diǎn)，讀懂學(xué)生思維的缺陷、偏差，析其原因，并針對(duì)性加以策略和方法的指導(dǎo)，提高學(xué)生的思維能力與思維品質(zhì).

1.思維無序化

“思維無序化”是指學(xué)生思考和解決數(shù)學(xué)問題方向不明、思路混亂的無序狀態(tài).知識(shí)不全面，儲(chǔ)存知識(shí)零碎缺乏關(guān)聯(lián)，思維方法手段單一而出現(xiàn)思維混亂的無序狀態(tài)，主要表現(xiàn)在解決數(shù)學(xué)問題過程中，分析過程缺乏有序思考方法，問題解答過程中或推理論證不清晰或問題結(jié)果考慮不全或因果關(guān)系錯(cuò)位等.

案例2：圖形規(guī)律問題你怎么想.

為了了解學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的思維過程，選取了一組圖形規(guī)律問題，由本區(qū)基礎(chǔ)較好的S校九年級(jí)兩個(gè)平行班學(xué)生進(jìn)行解答.

原題呈現(xiàn)：如圖1～3，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第3個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)為___，請(qǐng)寫出思考過程；第5個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)為___，請(qǐng)寫出思考過程；第n個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)為___，請(qǐng)寫出思考過程.

圖1

圖2

圖3

測(cè)試結(jié)果出乎意料，第①問正確率為81.8%，第②問正確率只有32.3%，第③問正確率僅有3%.

為了弄清問題產(chǎn)生的根源，筆者對(duì)學(xué)生寫出的思考過程進(jìn)行梳理歸納，選取有代表性的思考過程.

生1：圖1中正三角形的個(gè)數(shù)為5，圖2由3個(gè)圖1和1個(gè)等邊三角形組成，所以3×5+1=16（個(gè)），圖3由3個(gè)圖2與1個(gè)等邊三角形組成，所以16×3+1=49（個(gè)）.

生2：圖1中有4個(gè)，圖2中有1+31+32=13（個(gè)），圖3中有1+31+32+33=40（個(gè)），第5個(gè)圖形中有1+31+32+33+34+35=364（個(gè)），第n個(gè)圖形中有1+31+32+33+34+35+…+3n（個(gè)）.

生3：由具體數(shù)三角形尋找答案，圖1中正三角形的個(gè)數(shù)為5，圖2中為12+4+1=17，圖3中為36+3+4+1=44.

生4：圖1中有4+1=5（個(gè)），圖2中有12+4+1=17（個(gè)），圖3中有36+12+4+1=53（個(gè)），第4個(gè)圖形中有108+36+12+4+1=161（個(gè)），第5個(gè)圖形中有324+108+36+12+4+1=485（個(gè)）.

生5：圖2由3個(gè)圖1和中間、外邊兩個(gè)等邊三角形組成，圖3由3個(gè)圖2和中間、外邊兩個(gè)等邊三角形組成，以此類推，所以圖1中有3+2=5（個(gè)），圖2中有3×5+2=17（個(gè)），圖3中有17×3+2=53（個(gè)），第4個(gè)圖形中有53×3+2=161（個(gè)），第5個(gè)圖形中有161×3+2=485（個(gè)）.

生6：圖1：2×31-1；圖2：2×32-1；圖3：2×33-1；第4個(gè)圖形：2×34-1；第5個(gè)圖形：2×35-1；第n個(gè)圖形：2×3n-1.

顯然，解答不正確者，不在于知識(shí)欠缺，而在于思維處于無序或亂序狀態(tài).觀察時(shí)順序混亂而漏解，漏掉中間的正三角形或外圍的大正三角形.解題策略上未能從聯(lián)系的、整體的視角思考，往往從單個(gè)圖形思考，且計(jì)數(shù)的方法比較原始.顯然，給出正確解答的學(xué)生在解決本問題時(shí)思維活動(dòng)處于有序狀態(tài)，能發(fā)現(xiàn)圖形生長(zhǎng)規(guī)律，從而順利解決問題.

著名的蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷茨基認(rèn)為，有序思維是指思考和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)遵循一定的順序、按照特定的線索和步驟去探索的一種思維方式.這種思維方式有利于解決較復(fù)雜的開放性問題，避免了盲目地純憑經(jīng)驗(yàn)解題的弊端.怎樣引導(dǎo)學(xué)生從無序逐步走向有序呢？首先，引導(dǎo)學(xué)生觀察有目的、有順序，或由內(nèi)到外、從左到右，或從局部到整體，或從整體到局部；其次，思考解決問題的策略從特殊到一般，或從一般到特殊，探尋基本規(guī)律和方法或基本步驟.如對(duì)于本案例，可以引導(dǎo)學(xué)生梳理歸納解決數(shù)字、圖形規(guī)律問題的基本步驟：分析、嘗試、歸納、驗(yàn)證.①觀察分析：與序號(hào)聯(lián)系；②推理嘗試：把握整體和局部；③猜想歸納：寫出關(guān)系式；④驗(yàn)證規(guī)律：取多個(gè)值驗(yàn)證.

2.思維表面化

“思維表面化”是指學(xué)生思考問題時(shí)容易被問題表象所束縛而未抓住本質(zhì)的思維狀態(tài).主要表現(xiàn)在滿足于對(duì)結(jié)論、公式、定理的簡(jiǎn)單套用，對(duì)問題的膚淺認(rèn)識(shí)，缺乏站在數(shù)學(xué)思想方法角度深度思考.這樣的思維，不利于理解數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，不利于核心思想方法領(lǐng)悟，同時(shí)制約了知識(shí)的遷移和能力的發(fā)展.

案例3：為什么會(huì)列出這樣的方程呢？

原題呈現(xiàn)：機(jī)械廠車間40名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘600個(gè)或螺母300個(gè)，1個(gè)螺釘要配2個(gè)螺母，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母？

教師出示題目后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，生1板演：

解：設(shè)生產(chǎn)螺釘?shù)挠衳名工人，根據(jù)題意得：

600x=2×300（40-x）.

解得x=20.

答：生產(chǎn)螺訂的有20名工人，生產(chǎn)螺母的有20名工人.

做完后生1看了看解題過程，似乎感覺不太對(duì)，但一時(shí)找不出原因，帶著疑惑回到自己的座位.

教師先統(tǒng)計(jì)多少同學(xué)像生1這樣列方程，結(jié)果超過一半同學(xué)是這樣列的，出乎教師預(yù)料.此時(shí)，教師先讓學(xué)生代入檢驗(yàn)，生產(chǎn)螺訂12000個(gè)，生產(chǎn)螺母6000個(gè)，這與1個(gè)螺訂要配2個(gè)螺母相矛盾，學(xué)生紛紛議論.

生2：我認(rèn)為應(yīng)該是2×600x=300（40-x），螺母的數(shù)量要多，螺釘?shù)臄?shù)量要少.

師：說得對(duì)，螺母的數(shù)量多，螺釘?shù)臄?shù)量少.

教師在黑板上又舉例說明：

螺釘 螺母

1 2

2 4

3 6

……

師：從螺釘與螺母數(shù)量的比例關(guān)系知道，螺母的數(shù)量是螺釘數(shù)量的2倍.所以2×600x=300（40-x）.

評(píng)析：學(xué)生為什么會(huì)列出方程600x=2×300（40-x）呢？一是學(xué)生沒有理解1個(gè)螺訂要配2個(gè)螺母的真正含義，僅是從1個(gè)螺訂要配2個(gè)螺母字面意義列出數(shù)量關(guān)系誤認(rèn)為等量關(guān)系，缺乏數(shù)學(xué)表征意識(shí)；二是沒有理解列方程解應(yīng)用問題的本質(zhì)，事實(shí)上列方程的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，就是同一數(shù)量用兩種不同的形式表示而已.如方程右邊表示螺母的數(shù)量，方程左邊用另一種形式表示螺母的數(shù)量，用螺釘數(shù)量表示螺母的數(shù)量，從1個(gè)螺釘要配2個(gè)螺母轉(zhuǎn)化為螺母的數(shù)量是螺釘數(shù)量的2倍.

從思維表面化逐步走向思維本質(zhì)化，首先讓學(xué)生真正經(jīng)歷觀察、分析、比較、歸納、抽象思維活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理、方法的本質(zhì)；其次，引導(dǎo)學(xué)生正確表征數(shù)學(xué)問題.維果茨基認(rèn)為：“教師在向?qū)W生提供有效認(rèn)知任務(wù)的同時(shí)，還應(yīng)該提供合理的學(xué)習(xí)支架，使學(xué)生可以借助支架參與問題解決并獲得意義上的理解，從而確保教學(xué)獲得最大效益.”數(shù)學(xué)問題表征是數(shù)學(xué)問題解決的核心和關(guān)鍵，要理解問題本質(zhì)，教師在日常教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語言（文字、符號(hào)、圖形、表格等）表達(dá)能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生能對(duì)問題進(jìn)行多元表征；最后，注重變式，從一題多解、一題多變、多題歸一等途徑，發(fā)現(xiàn)變中不變的規(guī)律，從而從思想方法層面剖析問題的本質(zhì).

3.思維單一化

“思維單一化”是指學(xué)生由于思維惰性、思維定式而習(xí)慣于孤立地、靜止地看問題，滿足于求問題的單一解，不能從整體上把握數(shù)學(xué)對(duì)象，缺乏用運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、聯(lián)系的觀點(diǎn)全面認(rèn)識(shí)事物.這樣的思維，不利于學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的深刻理解，不利于思維靈活性、深刻性的培養(yǎng).

案例4：（浙教版七年級(jí)（下）課本第57頁作業(yè)題）要在一條河上架一座橋（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直），請(qǐng)?zhí)峁┮环N設(shè)計(jì)方案，使A地到B地的路程最短.請(qǐng)說明理由.

學(xué)生課堂練習(xí)中出現(xiàn)的三種畫法（如圖4～6）：針對(duì)三種畫法的出現(xiàn)，及時(shí)與學(xué)生進(jìn)行交流.

圖4

圖6

生1：根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”連接AB可得.

師：條件“橋與河岸垂直”你怎么理解？（生1沉默不語）

生2：根據(jù)條件“橋與河岸垂直”，過點(diǎn)B作河岸的垂線交河岸于點(diǎn)C、D，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”連接可得.

師：請(qǐng)你測(cè)量A地到B地的路程并與圖6的路程作比較.（通過測(cè)量后，學(xué)生認(rèn)識(shí)到圖6的路程更短）師：本題中什么條件使我們解題感到困難？生：河的存在.

師：由于河的存在使我們解題發(fā)生了困難，橋址的兩個(gè)端點(diǎn)未定，但兩端的距離是定值（河寬）.那么我們可以通過平移使河岸重合，把A向上平移河的寬度至A1，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，連接可得A1B，從而問題容易解決，見圖7.

圖7

對(duì)于本題，學(xué)生利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)來解決問題的思維方向是正確的，但對(duì)于條件“橋與河岸垂直”的處理，大部分學(xué)生感到束手無策.究其原因，是由于學(xué)生的思維單一化，缺乏用運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化的眼光全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題.學(xué)生出現(xiàn)思維單一的情況，與我們教師平時(shí)在教學(xué)中過分注重復(fù)習(xí)鋪墊、過分強(qiáng)調(diào)模型不無關(guān)系，當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，學(xué)生習(xí)慣了由教師暗示他，教師則習(xí)慣于幫助學(xué)生找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與連接點(diǎn).因此，雖說我們的學(xué)生解題不少，但他們最擅長(zhǎng)的是解決熟悉的問題，而一旦遇到找知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與連接點(diǎn)問題時(shí)，往往一籌莫展.因此，在教學(xué)過程中，所選擇的問題及安排的數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅要適合學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，還應(yīng)考慮思維的進(jìn)階水平.策略上，注重知識(shí)的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，注重知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從多角度、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)分析問題、解決問題，以鍛煉多向發(fā)散，尋求變異的能力，從而開闊學(xué)生的思路.

讀懂學(xué)生思維，教師關(guān)愛之心是前提，從關(guān)注自己的教轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生的學(xué)，從關(guān)注知識(shí)教學(xué)轉(zhuǎn)向知識(shí)思維融合教學(xué).讀懂學(xué)生思維，需要專業(yè)知識(shí)能力，從了解學(xué)生思維方式到讀懂學(xué)生思維過程，從讀懂思維過程到借助支架訓(xùn)練學(xué)生思維、指導(dǎo)學(xué)生思維、開發(fā)學(xué)生思維.讀懂學(xué)生思維，需要從學(xué)生成長(zhǎng)的觀念思考，生長(zhǎng)知識(shí)、生長(zhǎng)方法、生長(zhǎng)思維.