☉江蘇省錫山高級中學實驗學校 劉春云

一、問題提出

初中數學教學，尤其是七年級教材每章初始幾課時的教學，常有這樣的現(xiàn)象：教材內容少且簡單，教師能在十幾分鐘內輕松“完成”教學任務，卻也覺得寡淡無味.究其原因，是這些教師缺少對教材和教學內容的深入研究和思考，對出現(xiàn)的新概念，快速灌輸，然后進行大量機械重復習題訓練.一節(jié)課下來，學生只學會了機械模仿，對于“新概念是什么？為什么要學？怎樣學”這一系列該深度思考的問題，學生一概不知.

如何豐實文本，使概念教學更加厚重？深度學習是一個可借鑒的視角.深度學習是一種學生在教師設計的復雜問題情境中，高投入地進行高階認知的有意義的學習.深度學習的發(fā)生需要教師深入研究教材，從整個知識體系研究概念的內涵，挖掘概念的本質，揭示概念的形成過程，讓學生在課堂上真正有一個深度思維的過程.

筆者在某次青年教師基本功大賽中執(zhí)教過蘇教版七年級下冊第九章第五節(jié)“多項式的因式分解”第1課時，下面就以這節(jié)課為例，談談如何讓“單薄”的內容豐實起來，使數學課堂有數學味、有厚重感.

二、教學片段回顧

1.片段1：知識遷移，由“數”到“式”

師：數學總離不開數，大家學數學6年多啦！恭喜同學們從自然數認識到實數.我們先來做個數字游戲吧？

游戲規(guī)則：請你給出任意四個數，并用其中一個你喜歡的數與其他數相乘.老師能馬上說出這三個乘積的和能被哪個數整除，有興趣參與嗎？

生1：37×8+37×9+37×10.

師：能被37和27整除.

生2：16×20+16×30+16×40.

師：能被16和90整除.

師：好，大家出題沒有難倒老師，那么，現(xiàn)在老師也出一個題來考考大家. 你知道37×2.8+37×5+37×2.2這個式子能夠被哪些數整除嗎？

生3：這個簡單，逆用一下小學學習的乘法分配律，結果就出來了：原式=37×（2.8+5+2.2）=37×10，能被37和10整除.

師：很好，有理有據！再來一個試試?。?56）×100.1+（-56）×0.2+56×0.3.

生4：同理，原式=（-56）×（100.1+0.2-0.3）=（-56）×100，能被56和100整除.

師：說明大家已經找出了其中的奧秘！你能把你發(fā)現(xiàn)的這個奧秘說出來或用數學語言表達出來，跟大家分享嗎？

生5：我發(fā)現(xiàn)要計算的式子，每項都有一個相同的數，我用字母a表示，其余的三個數，我用b、c、d表示，于是就表示成ab+ac+ad=a（b+c+d）.

設計意圖：從學生感興趣的“數學游戲”入手，激發(fā)其學習興趣，并鼓勵學生進一步深化，把這一方法的運用推廣到一般情形，體現(xiàn)代數方法的優(yōu)越性.教師的提問：“這個式子能被哪些數整除”，巧妙地引導學生把這個式子分解成幾個數的積的形式，使學生逐漸明白解決這些問題的關鍵是把一個多項式化為積的形式，為提公因式法的引入掃清障礙，為建立因式分解做好準備.同時，這一環(huán)節(jié)注意了滲透整體、類比等數學思想.

2.片段2：逆向思維，探究奧秘

師：用含字母的式子，可以很簡潔地把這個奧秘表示出來.從具體的數演變到字母，這個式子永遠成立嗎？

生6：肯定成立，我們前面剛剛學過整式乘法：a（b+c+d）=ab+ac+ad，只要把等號兩邊調換一下，就可以得到ab+ac+ad=a（b+c+d）.

師：哦，原來等式兩邊是可以互換的！所以，這樣表達是完全正確的.

設計意圖：分解因式是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，但是如何轉化呢？充分利用各種乘法公式的逆運算.逆向思維是學習數學十分重要的途徑和手段，初中數學教學過程中，不少內容若運用正向思維，則難以解決；若采取“反其道而思之”的方式，則問題會順利解決.因式分解正是進行逆向思維能力培養(yǎng)的最佳平臺與載體，其思考過程是這一數學思想很好的體現(xiàn).

3.片段3：動手拼圖，加深理解

師：如果我們能再從其他角度驗證這個式子的正確性，應該更具說服力.

拼圖游戲：（1）每個同學看看自己手上的小長方形的面積是多少，然后算算你們小組內三張小長方形的面積和；（2）小組成員能否通力合作，用所有圖形拼成一個大長方形？比一比哪個小組最快.（小組活動）

小組代表（生7）：上臺展示自己的成果，如圖1.

圖1

師：你拼出來的這個長方形的長是多少？寬是多少？面積又是多少？你們又有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：因為拼圖不改變圖形的面積大小，所以有ab+ac+ad=a（b+c+d），再次驗證了我們剛才總結出來的數學式子是正確的！

設計意圖：代數式ab+ac+ad可以被賦予多種不同的實際意義.若把a、b、c看成3個數，就可以從代數運算的角度，逆用有理數的乘法分配律，得到ab+ac+ad=a（b+c+d）；若把a和b、c、d分別看成三個長方形的長和寬，那么又可以從圖形的角度，利用拼圖不改變面積的共識來驗證，由于ab、ac、ad就分別表示三個小長方形的面積，并且這三個小長方形的面積和等于長為b+c+d、寬為a的大長方形的面積，同樣有ab+ac+ad=a（b+c+d）.因此，在這個環(huán)節(jié)，借助圖形的直觀性，學生既能發(fā)現(xiàn)結論，又再次體驗了成功的樂趣，更重要的是引領學生感悟 “模型思想”，感悟數與形的聯(lián)系，感悟數形結合的思想方法.

4.片段4：數式類比，發(fā)現(xiàn)概念

師：剛才我們通過兩種途徑驗證了你們總結的式子是正確的，那么接下來就該好好研究這個式子了，其從左到右的變形有什么特征？

生9：將多項式化為單項式乘以多項式.

師：同學們知道，單項式、多項式都是整式，那么右邊是否可以說成更簡單的形式？

生10：從左到右的變形，就是將一個多項式化成兩個整式的乘積.

師：很好！在小學里，我們學過把一個整數分解成幾個質因數的積的形式，叫作因數分解.想想看，可不可以給這個過程（指著ab+ac+ad=a（b+c+d））也起個名字？

生11：因式分解！

師：非常好！同學們，你們在做著一件很了不起的事——類比.類比思想，是我們數學上一個非常重要的思想方法.大家可否繼續(xù)開動腦筋，類比“因數分解”，給“因式分解”下個定義？

學生嘗試，小組合作，相互補充完善，得出因式分解的定義：“把一個多項式分解成幾個整式的乘積的形式，叫作多項式的因式分解”.

教師板書，師生共同觀察分解的結果的特點：（1）分解的結果一定是乘積的形式；（2）每個因式必須是整式.

辨一辨：下列等式從左到右的變形是不是因式分解？

師：從上面的“辨一辨”可以看出，（1）（4）（5）（7）都屬于因式分解，其中（5）和（7）是我們今天要先研究的一種類型.大家仔細看看，這類因式分解有什么特點？

生12：左邊多項式各項都有共同的因式，然后我們可以逆用乘法分配律把它提出來，結果就變成了整式積的形式.

師：各項都有的這個因式，我們能否仿照小學的某個說法，給它取個名字？

生（齊答）：公因式.

然后，師生一起得到“提公因式法”的說法，并相互補充完善，得出找公因式的易錯點、易漏點及注意點.

設計意圖：此處設置數與式的類比，使學生通過類比的思想方法很自然地由“因數分解”引出新概念“因式分解”，由“公因數”引出“公因式”，從而得到本節(jié)課的主題之一：“提公因式法”因式分解，實現(xiàn)已有知識的正遷移，不僅有利于學生形成良好的認知結構，還促進了學生的深度思維，達到了深度教學的效果，對培養(yǎng)學生良好的數學核心素養(yǎng)起到了引導作用.概念出現(xiàn)后，采用“辨一辨”的形式來練習，加深學生對新概念的辨析，深化對概念本質的認識和把握，這也是對新概念教學常采用的方法.其中，第（7）題，由于公因式是a+b，所以無形中還向學生滲透了整體思想方法.

5.片段5：概念提升，知識升華

師：今天我們學了新知識“因式分解”，大家都知道這個新概念是什么，那么大家有沒有想過：為什么要學因式分解？今后怎樣學因式分解？

生13：進入初中后，我們在不斷擴充數的概念，然后又從數向式進一步轉變，小學已學過因數分解，現(xiàn)在就該學因式分解.而且，學了因式分解，可以將一個多項式表達為幾個整式積的形式，這樣就可以進行兩個多項式相除的計算，分子和分母可以約分.當然，也許還有其他作用，暫時我還不知道.

生14：對于怎樣學因式分解，我覺得就是把多項式的乘法公式反過來.

設計意圖：設置此問題，目的是讓學生明白我們所學知識均有其價值所在，同時引導學生：知識有延續(xù)性，學數學需對比和類比.雖然學生的回答不是很完美，但是已有主動思考和把前后知識類比的意識，課堂上真正出現(xiàn)了高階思維的過程.長此以往，學生的學習原動力和持久興趣將大大提高.

三、“以深度學習視角豐實概念文本理解”的幾點策略

1.貼近學生最近發(fā)展區(qū)，恰當定位深度學習目標

“多項式的因式分解”的教學，如果直接讓學生記定義、記提取公因式的注意點，或許既節(jié)省時間，又暫時提高學生做題正確率，但缺少經歷因式分解概念形成的過程，是典型的淺層學習，學生學習數學的能力自然得不到提高.事實上，剛剛升入七年級的學生，已經初步體會了用字母表示數的簡潔性和概括性，思維上也經歷了從數到式的飛躍，這為本節(jié)課的學習奠定了基礎.所以，本課中筆者大膽設置了“數字游戲”“找奧秘”“自己給定義”這一系列環(huán)節(jié)，目的不僅在于傳授知識，還希望以深度學習提升學生學習數學的綜合能力.學生在小學學習了“因數分解”“公因數”等概念，經過知識正遷移，得出“因式分解”“公因式”，這是水到渠成的事.這樣，學生不僅僅會把一個多項式因式分解，而且經歷了因式分解概念形成的過程，真正增強了對因式分解的感性認識，也實實在在經歷了一個深刻思維的過程.

2.讓學生在活動中做數學，在實踐中體驗知識發(fā)展的過程

本節(jié)課是一節(jié)關于式的純代數問題，如果教學組織不恰當，學生自然會覺得枯燥無味.因而，筆者開篇就從學生感興趣的“數字游戲”入手，激發(fā)其學習興趣，調動其積極性.然后，通過“拼圖游戲”，為學生提供較充分的“做”數學的機會，讓學生在操作探究、合作交流、成果展示中，感受和體驗數學的樂趣，從而主動獲取數學知識，明晰數學本質，真正理解ab+ac+ad=a（b+c+d）的幾何意義和數學內涵.我們知道，數學活動更多的是引導學生在活動中思考，在活動中感受知識的價值，同時能增強學生應用數學知識解決問題的意識.教師若能在平時的教學中，合理、恰當地設置數學活動，必然會有效地達成課堂預設.

3.滲透數學思想，發(fā)展學生數學素養(yǎng)

數學素養(yǎng)是數學學科固有的內蘊特性，其核心素養(yǎng)反應在數學本質和數學思想上，是在學習數學過程中形成的，具有綜合性、整體性、持久性.所以，我們教師在組織教學時，不要急功近利地壓縮知識形成過程、大量操練例題和習題，應放慢腳步，多設置一些有序的、恰當的教學環(huán)節(jié)，和學生一起經歷知識的來龍去脈.對于概念教學，在其概念形成過程中，所蘊含的數學思想方法更是數學學習的精髓所在.本節(jié)課，筆者把類比思想、數形結合思想、整體思想、幾何變換和逆向思維等數學思想方法潛移默化、潤物無聲地滲透給了學生.在此過程中：“單薄”的概念教學，變得厚重而悠遠；學生的數學素養(yǎng)，得到有效培養(yǎng)和提升.

四、結語

深度學習是一種有意義的、體現(xiàn)學生主體地位的學習過程.而以學生深度學習為目的的概念教學課，需要教師對教材內容進行聯(lián)合整合，恰當定位教學目標，并采取讓學生深切體驗、深刻思考的教學方式，這樣才能使概念教學變得厚重而悠遠，實現(xiàn)培養(yǎng)和提升學生數學素養(yǎng)的目標.