☉江蘇省連云港市海州區(qū)教研室 張才寶

在教學(xué)法研究范疇，邏輯是對數(shù)學(xué)思考的思考，概念邏輯關(guān)系的建立是通過原型定向、數(shù)學(xué)思考、問題解決和審美移情等邏輯行為實現(xiàn)的，涉及概念獲得、概念保持、概念使用和概念遷移等內(nèi)驅(qū)邏輯因素（具體見圖1）.在初中階段，概念邏輯關(guān)系的建立，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則的理解與把握，有助于“扣好”概念思維的“扣子”，有助于“帶得走”課堂目標(biāo)的實現(xiàn)，進(jìn)而落實數(shù)學(xué)“關(guān)鍵能力”的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)“必備品格”的養(yǎng)成.

本研究以江蘇省“基于《伴你學(xué)》提高學(xué)習(xí)力”的數(shù)學(xué)專題研討活動中開設(shè)的“9.4-1乘法公式”觀摩課為思想承擔(dān)體，突出概念關(guān)系的形成、使用與解釋，終于課程“過程目標(biāo)”的有序?qū)崿F(xiàn)及“態(tài)度目標(biāo)”的無意識變遷.

圖1

一、原型定向，概念邏輯關(guān)系建立的先行組織

在數(shù)學(xué)概念邏輯關(guān)系研究范疇，“原型定向”起于概念先行組織行為，終于概念邏輯關(guān)系的建立，終歸于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的定向?qū)蛹?在加里培林和安德森研究的基礎(chǔ)上，我國教育心理學(xué)家提出心智技能形成三段論，即原型定向、原型操作和原型內(nèi)化.而原型定向是程序性知識獲得的必經(jīng)途徑，反映數(shù)學(xué)概念的程序邏輯，是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗獲得的思維支點（如圖1），其實現(xiàn)效應(yīng)受先行組織行為的支配與調(diào)節(jié)，因此，在一定層面來說，原型定向的本身就是一種先行組織行為.從數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系建立的“算理性情境”和從數(shù)學(xué)外部關(guān)系建立的“關(guān)系性情境”，都是原型定向的可靠路徑.

在邏輯模式論研究范疇，原型定向階段就是使主體掌握程序性知識階段，相當(dāng)于加里培林的“活動定向階段”，也就是將一類專家頭腦中觀念的、內(nèi)潛的、簡縮的經(jīng)驗“外化”為物質(zhì)的、外顯的、展開的“心理模型”的過程.換句話說，就是將專家頭腦中的經(jīng)驗內(nèi)化為學(xué)生頭腦中的心智技能，變成學(xué)生經(jīng)驗世界的組成部分.數(shù)學(xué)概念、公式、法則等程序性知識的習(xí)得，就是原型得以定向的具體表現(xiàn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在課程設(shè)計層面，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.這就要求數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須從學(xué)生的經(jīng)驗世界出發(fā)，通過原型定向，還原概念的心理原型，揭示概念的發(fā)生、發(fā)展與生長等“合適應(yīng)性”特征，為此必須做好三個維度的概念邏輯關(guān)系建設(shè)工作.一是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯關(guān)系，確證算理邏輯關(guān)聯(lián)；二是基于數(shù)學(xué)外部邏輯關(guān)系，建立原型范式邏輯；三是基于系統(tǒng)概念邏輯，建設(shè)先行組織經(jīng)驗反應(yīng)塊，終于概念一般邏輯關(guān)系的形成與把握，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)課程目標(biāo).

概念邏輯關(guān)系建立清樣1：執(zhí)教者在探索蘇科版七年級數(shù)學(xué)“9.4-1乘法公式-完全平方公式”概念發(fā)生模塊時，就是通過先行組織行為，進(jìn)行“原型定向”，建立概念的邏輯關(guān)系，終于概念的內(nèi)源性獲得與理解.具體先行組織行為線索執(zhí)行如下：首先，基于一個具有特殊意義的數(shù)字20012（執(zhí)教者在2001年從A單位調(diào)動到B單位）引發(fā)原型定向行為，進(jìn)而落實概念邏輯關(guān)系的建立，即讓學(xué)生通過“算一算”（有的從純粹的數(shù)字運算開始，有的從完全平公式開始，有的從多項式乘多項式開始），進(jìn)而為“由特殊到一般”思想的滲透奠定概念的邏輯關(guān)系基礎(chǔ)；其次，讓學(xué)生通過計算（a+b）（a+b）與（a+b）（c+d）兩個具有“由特殊到一般”關(guān)系的多項式乘多項式，感知概念內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別，終于概念的邏輯關(guān)系得以本質(zhì)性顯化，進(jìn)而使得完全平方公式的模型得以初始建立；最后，讓學(xué)生通過拼圖（用1張a×a、2張a×b、1張b×b彩色紙片），借助從不同角度計算圖形的面積，直觀顯化完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的“合規(guī)定性”，在類比算理的基礎(chǔ)上形成（a±b）2=a2±2ab+b2產(chǎn)生式（production），終于概念的邏輯關(guān)系建立.

一般來說，數(shù)學(xué)模式（mathematicalpattern）是按照某種理想化的要求，概括地表現(xiàn)一類事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式，帶有一意性、精確性和一定條件下的普適性及邏輯上的演繹性.數(shù)學(xué)概念、公式、法則是“一意性”“精確性”“普適性”“運演性”的組合體，是定向原型的表現(xiàn)，其本身就是一種可泛在的心理原型，帶有概念邏輯關(guān)系的屬性特征.就數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系來說，概念、公式、法則等事實性概念帶有運演性和精確性特征；就數(shù)學(xué)外部關(guān)系來說，一意性和普適性是數(shù)學(xué)概念邏輯的本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)基本思想和基本經(jīng)驗溶解的結(jié)果，反映普適性是概念構(gòu)成的必要條件.在上述清樣1中，通過多項式乘多項式獲得完全平方公式的方法，就是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系建立概念邏輯關(guān)系的原型定向例子，反映數(shù)學(xué)概念的邏輯屬性；通過拼圖揭示完全平方公式的邏輯直觀，就是基于數(shù)學(xué)外部關(guān)系建立概念邏輯的具體表現(xiàn)，投射概念的數(shù)學(xué)化意義；“數(shù)字形態(tài)的完全平方公式→字母形態(tài)的完全平方公式→一般形態(tài)的多項式相乘”是由特殊到一般思想得以有序滲透的表現(xiàn)，反映概念的系統(tǒng)邏輯屬性和概念原型的本質(zhì)，終于概念的獲得及原型定向的真正發(fā)生，實現(xiàn)讓學(xué)生經(jīng)歷原型抽象的過程目標(biāo)，這就是“精神胚胎”的生長.

二、數(shù)學(xué)思考，概念邏輯關(guān)系建立的思維基礎(chǔ)

在素養(yǎng)教育邏輯學(xué)范疇，數(shù)學(xué)思考是以“立德樹人”為課堂宗旨的思維活動形式，是數(shù)學(xué)基本思想獲得的一種邏輯途徑（如圖1），支配著審美課堂育人模式的轉(zhuǎn)變，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)不可替代的途徑.基于這一認(rèn)識，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究范疇，思考是比較縝密的思維活動，思維是在表象、概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合、判斷、推理等認(rèn)識活動的運演過程，因此數(shù)學(xué)思考有助于概念邏輯關(guān)系的建立，是數(shù)學(xué)思維邏輯連貫的心理前提.數(shù)學(xué)思考起于概念，成于邏輯，終于概念邏輯關(guān)系的建立，進(jìn)而提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界的能力，提升“想數(shù)學(xué)”的思維質(zhì)量，增長學(xué)生思辨能力的發(fā)展指數(shù).在愛因斯坦看來，獨立思考是創(chuàng)新的基礎(chǔ).這就意味著思考是數(shù)學(xué)發(fā)明的關(guān)鍵，是知識獲得并保持的重點.如蘇霍姆林斯基認(rèn)為的那樣，要培養(yǎng)孩子的智力，就得教思考.換句話說，獨立思考支配著知識獲得的質(zhì)量.

思維是人類特有的一種具有普遍意義特征的精神活動，是從社會實踐中產(chǎn)生的.思考是數(shù)學(xué)思維著陸的邏輯形式，是數(shù)學(xué)概念建立的思維地基，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的意義可見一斑.世界上很多國家的課程標(biāo)準(zhǔn)都把“數(shù)學(xué)地‘思考’”作為一個重要的過程屬性目標(biāo).《澳大利亞數(shù)學(xué)課程》文本從概念的邏輯關(guān)系出發(fā)，課程目標(biāo)聚焦于培養(yǎng)逐步復(fù)雜的數(shù)學(xué)理解、邏輯推理、分析問題和解決問題技能.新加坡教育部公布的《初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》文本中，把“發(fā)展數(shù)學(xué)思考和問題解決技能，應(yīng)用這些技能公式并解決問題”作為數(shù)學(xué)課程的一項重要目標(biāo).在中國的數(shù)學(xué)《課程標(biāo)準(zhǔn)》文本中，把“數(shù)學(xué)思考”作為過程性目標(biāo)的一個重要方面，包括學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.由于數(shù)學(xué)思考本身就是一種邏輯甚至是一種思想方法，因此概念邏輯關(guān)系的建立離不開數(shù)學(xué)思考的支配和支撐.這就要求在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，必須做好三個維度的“數(shù)學(xué)地”思考工作：一是用表象思維引領(lǐng)知識質(zhì)量的保持；二是用概念思維促進(jìn)邏輯關(guān)系一致性的建立；三是借助逆向思考，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思辨能力，終于概念邏輯關(guān)系的確立與建設(shè).

概念邏輯關(guān)系建立清樣2：執(zhí)教者在探索“完全平方公式”的形成和發(fā)展范疇時，就是通過數(shù)學(xué)思考，達(dá)成概念邏輯關(guān)系建立的思維目標(biāo)的.包括：概念符號語言特點的揭示、概念的文字語言表征、概念的整體邏輯秩序及概念的適應(yīng)性類比使用等.具體邏輯思考秩序簡概如下.首先，讓學(xué)生指出完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征（有的從“=”兩邊的項數(shù)看，左邊2項，右邊3項；有的從符號看，左邊是用“±”連接的，右邊是分別用“±”“+”連接的；有的從文字語言表述看，兩數(shù)和的完全平方等于兩數(shù)的平方和與兩數(shù)積的2倍的和），并通過“口訣”提高學(xué)生認(rèn)識概念的形式邏輯，即“首平方加尾平方，積的2倍放中央，積的符號看前方”.其次，讓學(xué)生通過逆向思考感知概念間的邏輯關(guān)系，包括兩種范式：一是類比公式形式邏輯，寫一個可以使用完全平方公式的算式，并基于數(shù)學(xué)內(nèi)部算理邏輯，給出范式性答案（這一模塊是研究者自己添加的，目的在于發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知邏輯理序）；二是設(shè)計一道簡單的使用完全平方公式解答的填空題，突出逆向思考能力的培養(yǎng)目標(biāo)，在交流合作中提高概念邏輯關(guān)系的信度；最后是讓學(xué)生站在“整體思想”的角度，認(rèn)識概念邏輯關(guān)系的可拓展性（三個數(shù)和的完全平方應(yīng)該等于什么？你是怎么知道的？如何使用整體思想？如果使用“-”連接，其結(jié)果怎樣呢？舉一個可以使用這類公式的例子），進(jìn)而發(fā)展概念的使用范疇，反映數(shù)學(xué)思考的順應(yīng)性，揭示完全平方公式的一般性和普適性及可泛在性.

目前，中國基礎(chǔ)教育課程改革正處于以“德美同行”為宗旨，以發(fā)展學(xué)生的“核心素養(yǎng)”為目標(biāo)，以實現(xiàn)課堂轉(zhuǎn)型為重點的“再出發(fā)”階段.這里的宗旨、目標(biāo)及重點都是一種邏輯概念，而數(shù)學(xué)思考是概念邏輯關(guān)系建立的執(zhí)行對象，因此數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)指向概念邏輯關(guān)系這一思考對象，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)地思考，包括數(shù)學(xué)地“做”、數(shù)學(xué)地“想”和數(shù)學(xué)地“說”等一般邏輯思考范式.在上述清樣2中，“研討公式特點”的行為就是建立表象思維邏輯關(guān)系的一個具體表現(xiàn)形式，有助于概念概括邏輯特征的揭示；“類比寫→逆向填→確立框架”是建立概念邏輯關(guān)系的通用技術(shù)，反映數(shù)學(xué)思考的“可補償”屬性，發(fā)展了學(xué)生的元認(rèn)知水平；使用“整體思想”及組合適配性“思維塊”，有助于概念邏輯關(guān)系的一致性建立，反映概念思維的知覺性和一般性，揭示概念邏輯關(guān)系的可連貫性及數(shù)學(xué)思考的邏輯性與數(shù)學(xué)思維的變遷性，促進(jìn)了知識的保持與銜接.

三、問題解決，概念邏輯關(guān)系建立的方法和路徑

“問題解決”是西方數(shù)學(xué)教育的另一個現(xiàn)代思想，包括發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題及遷移問題、變遷問題甚至是審美問題.提出問題是人的創(chuàng)造性思維的開始，從這個意義上講，提出問題比解決問題更重要.這也是我們要保護(hù)學(xué)生問題意識的一個重要原因.但是問題解決本身并不能開發(fā)學(xué)生的問題意識.適應(yīng)性整合教材，站在系統(tǒng)論、學(xué)段論的高度，設(shè)置和學(xué)生知覺水平一致的“問題反應(yīng)塊”“概念銜接塊”，在經(jīng)歷使用概念的問題解決中深度理解概念，進(jìn)而建立概念之間的內(nèi)部邏輯關(guān)系，這才是有效解決問題的邏輯方法和思維路徑.當(dāng)然，概念的邏輯關(guān)系的建立不是一兩節(jié)課就能解決的，而是長期“使用教材+研究教材”的結(jié)果形態(tài).借助多角度研究同一個問題的不同側(cè)面，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解，從而生長數(shù)學(xué)概念的理解能力，包括“做一題、通一類、連一片”的問題解決邏輯目標(biāo)，這是一種很好的適配思維途徑.如人本主義心理學(xué)家馬斯洛的觀點，學(xué)習(xí)具有發(fā)自內(nèi)心的生長潛力，教師的任務(wù)不只是教學(xué)生知識，更重要的是為學(xué)生設(shè)置良好的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生自行學(xué)習(xí).換句話說，就是問題解決支配著概念邏輯關(guān)系建立的水平，問題解決的方法和路徑影響概念實施的忠誠度，其中包括概念邏輯關(guān)系的信度和效度.

在數(shù)學(xué)概念邏輯學(xué)研究范疇，美國學(xué)者M(jìn)c Naught等使用“實施忠誠度”（implementation fidelity）的概念進(jìn)行了教材使用研究.簡單地說，就是使用者大多程度上忠實于教材原意進(jìn)行教學(xué)，包括內(nèi)容忠誠度和表達(dá)忠誠度，而這些實施忠誠度的大小取決于問題解決的思維效應(yīng)，影響概念邏輯關(guān)系的建立及其思維方法的配屬性.因此問題解決支配教材的使用高度和概念使用的系統(tǒng)力.舉一反三、聞一知十、道生無限都是問題解決有效的具體表現(xiàn)，而“舉一反一”“舉一反零”則是問題解決低效、無效的表現(xiàn).也就是說，只為“得個答案”的問題解決，只能讓學(xué)生獲得一些雜亂無章的零散知識，只有建立邏輯概念關(guān)系的問題解決，才能實現(xiàn)概念的類化與遷移目標(biāo).這也是課程專家反對“教教材”（表達(dá)忠誠度偏低）、倡導(dǎo)“用教材”（內(nèi)容忠誠度較高）及提出“問題串”的微言大義.數(shù)學(xué)《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“問題解決”維度，強調(diào)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識，初步形成評價與反思意識.毋庸置疑，“問題”“方法”“創(chuàng)新”“評價反思”都是較高忠實于教材的表現(xiàn)，是概念邏輯關(guān)系得以建立的思維操作.這就要求在概念邏輯關(guān)系建設(shè)中，必須做好三個維度的問題解決工作：一是提出問題，發(fā)展概念邏輯類化能力；二是還原問題，揭示“知其然，知其所以然，以及知其所不然”的概念邏輯目標(biāo)；三是整編問題，投射數(shù)學(xué)整體思想的實施忠誠度，反映問題解決方法路徑的逆向性，有助于層次性概念的有序遷移.

概念邏輯關(guān)系建立清樣3：執(zhí)教者在執(zhí)行“乘法公式”使用概念模塊教學(xué)時，就是基于問題解決，讓學(xué)生在提出問題、還原問題及整編問題等行為中自然建立概念邏輯關(guān)系的.具體問題解決的行動路徑如下：首先，讓學(xué)生通過內(nèi)模仿，建立概念邏輯與“我的”思維知覺水平一致的塊狀思維問題，也就是讓學(xué)生在完全平方公式的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，嘗試使用公式解決問題（對例題的多角度解決，比如計算（2a+5）2、（2a-5）2的結(jié)果），落實概念數(shù)理邏輯的轉(zhuǎn)化目標(biāo)；其次，讓學(xué)生移情概念，即在觀察公式結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，寫一個可以用完全平方公式解決的有意義的算式（有的將20012轉(zhuǎn)化為完全平方公式形象，有的用轉(zhuǎn)化、套公式及多項式乘多項式等三種方法解決本題（2a-5）2，有的從“形”的角度回歸概念的邏輯源頭等），并在交換解題中獲得提出問題、質(zhì)疑反思及評價的思維契機(jī)，讓問題解決成為平衡思維沖突的中介，終于概念邏輯關(guān)系的漸次外顯與思維澄明；最后，讓學(xué)生站在系統(tǒng)邏輯高度關(guān)聯(lián)概念，實現(xiàn)對概念的整體把握，具體維度線索是復(fù)述概念特征、聯(lián)結(jié)多項式乘多項式法則、關(guān)聯(lián)逆向思考的因式分解等（問題略），實現(xiàn)了問題解決與概念邏輯共生的概念教學(xué)目標(biāo)，落地“學(xué)會學(xué)習(xí)”的能力目標(biāo)及關(guān)鍵能力的穩(wěn)定發(fā)展.

在數(shù)學(xué)教學(xué)法研究領(lǐng)域，杜賓斯基的APOS（行動、過程、對象和圖式）模式，就是問題解決的可靠套路，即在一個水平上使用的概念，成為在下一個水平上行動的對象，尤其在把“反思抽象”作為一種發(fā)展高級思維方式使用時，有助于執(zhí)教者在引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念的邏輯思維過程中，更加關(guān)注學(xué)生思維的有序發(fā)展.提出問題是行動的一個關(guān)鍵因素，支配著問題解決的質(zhì)量；還原問題是以過程性思維看得見為概念關(guān)系聯(lián)結(jié)目標(biāo)的；整編問題是以思維對象及其圖式作為概念產(chǎn)生式反應(yīng)塊的，終于概念的“合目的性”領(lǐng)悟.清樣3中的內(nèi)模仿就是提出問題的內(nèi)部表現(xiàn)形式，揭示思維行動的本體價值；移情是一種隱性的思維過程，投射還原概念的邏輯關(guān)系；關(guān)聯(lián)是整編問題的通用技術(shù)，涵蓋對思維對象、思維圖式的內(nèi)部表征，反映概念邏輯關(guān)系的全息屬性，終于公式感知、理解與領(lǐng)悟，落實問題解決的創(chuàng)新意義和高階思維的邏輯意旨.

另外，審美遷移是概念邏輯關(guān)系建立的基本思想，揭示概念的“形而上”邏輯，反映概念邏輯關(guān)系變量行為，有助于概念邏輯思維的秩序發(fā)展.這里限于文本飽和狀態(tài)，另文研究.