趙 燕

(江蘇泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院 225300)

關(guān)于空間直線與平面的相關(guān)位置，兩直線的相關(guān)位置及兩平面的相關(guān)位置的題目千變?nèi)f化，一般都可以一題兩解，甚至一題多解.下面我們就書(shū)上的例題和課后習(xí)題來(lái)探究求解的一般思路及特殊方法，從而說(shuō)明了在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性.

首先給出一道求平面方程的題目，見(jiàn)《解析幾何》書(shū)上第134頁(yè)的例1.

解設(shè)所求平面方程為l(2x+y-2z+1)+m(x+2y-z-2)=0，

即(2l+m)x+(l+2m)y+(-2l-m)z+(l-2m)=0.

由兩平面垂直的條件得(2l+m)+(l+2m)+(-2l-m)=0，即l+2m=0，因此l∶m=2∶(-1).

所求平面方程為：2(2x+y-2z+1)-(x+2y-z-2)=0，即3x-3z+4=0.

可以發(fā)現(xiàn)，書(shū)上第120頁(yè)的第3題的2小題事實(shí)上是上述例題的變式.

分析方法1： 類似于例1的解法，寫(xiě)出所求平面的方程，再利用所求平面的法向量與l2的方向向量垂直.

方法2：設(shè)所求平面π的法向量為n，利用點(diǎn)法式寫(xiě)出通過(guò)直線l1上一點(diǎn)(2,-3,-1)的所求平面π的方程，再利用π的法向量n與l1和l2的方向向量均垂直.

接下來(lái)探究求直線方程的題目，見(jiàn)《解析幾何》書(shū)上第132頁(yè)的第9題.

方法2： 設(shè)所求直線為l，因?yàn)閘與直線l1平行，可設(shè)l的方向向量為v={8,7,1}.直線l2與l3的方向向量分別為v2={0,1,0}，v3={3,2,6}.在直線l2上設(shè)y=0，解得x=9,z=39.那么(9,0,39)為直線l2上一點(diǎn).在直線l3上設(shè)x=0，解得y=-3,z=-4.那么(0,-3,-4)為直線l3上一點(diǎn).因?yàn)樗笾本€l可以看作兩平面的交線，其一是l與l2決定的平面，其二是l與l3決定的平面，所以兩平面的方程分別為

《解析幾何》書(shū)上第132頁(yè)的第7題事實(shí)上是例2的變式.

分析設(shè)所求直線l的方向向量為v，直線l1的方向向量為v1={4,-2,1}，且過(guò)點(diǎn)M1(1,3,0)，平面π的法向量為n={3,-1,2}.

解方法1：所求直線l可以看作兩平面π1和π2的交線，π1是通過(guò)點(diǎn)P(1,0,-2)且與平面3x-y+2z-1=0平行的平面，π2是P與l1決定的平面(過(guò)P點(diǎn)，以M1P和v1為方位向量)