馮 鋒, 閆夢(mèng)娜, 柳曉燕

(西安郵電大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 西安 710121)

自Zadeh[1]提出模糊集的概念以來(lái), 其理論和方法已得到深入發(fā)展, 使數(shù)學(xué)的研究范圍拓展到面向模糊概念及現(xiàn)象的建模、 分析與計(jì)算. 在Zadeh模糊集的基礎(chǔ)上, Atanassov[2]通過(guò)引入非隸屬度, 提出了直覺(jué)模糊集的概念, 使對(duì)不確定問(wèn)題的描述更接近實(shí)際應(yīng)用. 為了進(jìn)一步拓展直覺(jué)模糊集在決策分析中的應(yīng)用, Xu等[3-4]定義了直覺(jué)模糊數(shù)及其基本運(yùn)算, 并提出了直覺(jué)模糊加權(quán)平均算子的概念. 軟集[5]理論從參數(shù)化的角度開(kāi)辟了處理不確定性的新構(gòu)架, 能更方便地進(jìn)行信息描述和數(shù)據(jù)處理. Maji等[6-7]對(duì)模糊集和直覺(jué)模糊集進(jìn)行參數(shù)化拓展, 提出了模糊軟集和直覺(jué)模糊軟集的概念, 文獻(xiàn)[8-10]進(jìn)一步探討了直覺(jué)模糊集和直覺(jué)模糊軟集在決策應(yīng)用中的作用.

在直覺(jué)模糊決策問(wèn)題中, 直覺(jué)模糊數(shù)的排序方法具有重要作用. Chen等[11]提出了直覺(jué)模糊數(shù)得分函數(shù)的概念; Hong等[12]進(jìn)一步定義了直覺(jué)模糊數(shù)的精確函數(shù). Xu[3]基于上述兩種函數(shù)提出一種排序方法. 此外, 劉華文[13]考慮猶豫度的影響提出了一種新的得分函數(shù). 為了衡量這些排序方法的優(yōu)劣, 單玉瑩等[14]提出了直覺(jué)模糊數(shù)排序方法應(yīng)滿足的一些基本性質(zhì), 并對(duì)已有排序方法的合理性進(jìn)行了檢驗(yàn).

本文基于直覺(jué)模糊隸屬度期望值, 通過(guò)改進(jìn)直覺(jué)模糊數(shù)的經(jīng)典得分函數(shù), 討論其基本性質(zhì), 進(jìn)而定義兩種直覺(jué)模糊數(shù)排序方法, 并分析排序方法的合理性. 此外, 對(duì)直覺(jué)模糊軟集的補(bǔ)運(yùn)算進(jìn)行推廣, 并結(jié)合直覺(jué)模糊加權(quán)平均算子給出一種直覺(jué)模糊軟決策方法. 實(shí)例分析驗(yàn)證了該方法的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 直覺(jué)模糊集

假設(shè)論域U是任意取定的一個(gè)非空集合.

定義1[1]映射μ:U→[0,1]稱為論域U上的一個(gè)模糊集.

對(duì)于任意的u∈U, 稱μ(u)為u對(duì)于模糊集μ的隸屬度, 它給出了u屬于μ的程度.

定義2[2]設(shè)U是論域, 稱I={(u,tI(u),fI(u))|u∈U}為U上的一個(gè)直覺(jué)模糊集, 其中tI:U→[0,1]和fI:U→[0,1]分別指定了u∈U相對(duì)于直覺(jué)模糊集I的隸屬度和非隸屬度, 并且滿足0≤tI(u)+fI(u)≤1.

此外,πI(u)=1-tI(u)-fI(u)表示U中對(duì)象u屬于I的猶豫度. 特別地, 若對(duì)于任意的u∈U, 有πI(u)=0成立, 則相應(yīng)的直覺(jué)模糊集I退化為經(jīng)典的Zadeh模糊集.

隸屬度和非隸屬度構(gòu)成的序?qū)ΨQ為直覺(jué)模糊數(shù)[3]. 全體直覺(jué)模糊數(shù)之集記為Θ, 即

Θ={α=(tα,fα)∈[0,1]2|tα+fα≤1}.

則直覺(jué)模糊集I也可以等價(jià)地表示為映射I:U→Θ, 其中?u∈U,I(u)=(tI(u),fI(u)). 直覺(jué)模糊數(shù)在評(píng)價(jià)和決策應(yīng)用中具有簡(jiǎn)單而直觀的實(shí)際意義. 例如, 直覺(jué)模糊數(shù)(0.7,0.1)的含義借助投票模型可解釋為： 若有10位專家對(duì)某個(gè)候選方案進(jìn)行投票, 則其中7人贊成, 1人反對(duì), 2人棄權(quán)或猶豫不決.

定義3[3-4]設(shè)λ>0,A=(tA,fA)和B=(tB,fB)為兩個(gè)直覺(jué)模糊數(shù), 則它們的和、 數(shù)乘及補(bǔ)分別定義為：

1)A⊕B=(tA+tB-tA·tB,fA·fB)；

3)Ac=(fA,tA).

定義4[3]設(shè)αj∈Θ(j=1,2,…,n), 則定義直覺(jué)模糊加權(quán)平均算子Ξw:Θn→Θ為

Ξw(α1,α2,…,αn)=w1α1⊕w2α2⊕…⊕wnαn,

文獻(xiàn)[3]利用數(shù)學(xué)歸納法證明了：

(1)

式(1)簡(jiǎn)化了直覺(jué)模糊加權(quán)平均算子的相關(guān)計(jì)算.

1.2 直覺(jué)模糊軟集

設(shè)U是論域, EU是與U中對(duì)象相關(guān)的所有參數(shù)集, 稱為參數(shù)空間, 簡(jiǎn)記為E. 通常情況下, 參數(shù)是指對(duì)象的屬性、 特征或性質(zhì)等. 論域U所有子集構(gòu)成的類稱為U的冪集, 記為P(U).

定義5[5]二元組S=(F,U)稱為論域U上的一個(gè)軟集, 其中A?E稱為軟集S的參數(shù)集, F: A→P(U)是一個(gè)集值映射, 稱為軟集S的近似函數(shù).

定義6[6]二元組Ω=(ω,A)稱為U上的一個(gè)模糊軟集, 其中A?E稱為模糊軟集Ω的參數(shù)集, 映射ω: A→F(U)稱為Ω的近似函數(shù).

論域U上所有直覺(jué)模糊集構(gòu)成的類記為IF(U), 則U上的直覺(jué)模糊軟集定義如下.

2 直覺(jué)模糊數(shù)上的偏序關(guān)系

2.1 經(jīng)典得分函數(shù)及排序方法

定義10[11-12]設(shè)α=(tα,fα)∈Θ, 映射s: Θ→[-1,1]定義為

s(α)=sα=tα-fα;

(2)

映射h: Θ→[0,1]定義為

h(α)=hα=tα+fα.

(3)

s(α)和h(α)分別稱為得分函數(shù)和精確函數(shù).

得分函數(shù)給出了衡量直覺(jué)模糊數(shù)取值優(yōu)劣的判斷準(zhǔn)則, 精確函數(shù)則描述了直覺(jué)模糊數(shù)的精確程度, 精確度越高, 猶豫程度越低.

定義11[3]設(shè)A,B∈Θ, 若sAhB, 則稱A比B大, 記為A>B.

定義11的排序方法可等價(jià)地刻畫為如下二元關(guān)系：

A≤1B?(sA

可以證明≤1是Θ上的一個(gè)偏序關(guān)系.

2.2 期望得分函數(shù)及其誘導(dǎo)的兩種偏序

定義12設(shè)α=(tα,fα)∈Θ, 定義映射δ: Θ→[0,1]為

δ(α)=δα=(tα-fα+1)/2,

(4)

δ(α)稱為期望得分函數(shù).

易證期望得分函數(shù)具有如下性質(zhì)：

命題1(最值性質(zhì)) 期望得分函數(shù)δ(α)滿足如下性質(zhì)： 1) δ(1,0)=1； 2) δ(0,1)=0.

命題2(單調(diào)性) 直覺(jué)模糊數(shù)α=(tα,fα)的期望得分函數(shù)δ(α)關(guān)于tα是嚴(yán)格單調(diào)遞增的, 關(guān)于fα是嚴(yán)格單調(diào)遞減的.

基于期望得分函數(shù), 可引入如下兩種比較直覺(jué)模糊數(shù)優(yōu)劣的方法.

定義13設(shè)A,B∈Θ, 定義Θ上的二元關(guān)系≤2為： A≤2B?(tA

基于決策理論中的投票模型, ≤2的含義為： 取值為A的方案uA劣于取值為B的方案uB當(dāng)且僅當(dāng)uA的支持率tA嚴(yán)格低于uB的支持率tB, 或者當(dāng)支持率相等時(shí), uA的期望支持率δA不超過(guò)uB的期望支持率δB.

定義14設(shè)A,B∈Θ, 定義Θ上的二元關(guān)系≤3為： A≤3B?(δA<δB)∨(δA=δB∧tA≤tB).

基于投票模型, 可以方便地給出二元關(guān)系≤3的直觀含義.

定理1二元關(guān)系≤2是Θ上的一個(gè)偏序關(guān)系.

證明： 只需證≤2滿足自反性、 反對(duì)稱性和傳遞性. 首先, ?A∈Θ, 有tA=tA和δA=δA, 根據(jù)≤2的定義, 可得A≤2A, 即≤2滿足自反性.

其次, ?A,B∈Θ, 若A≤2B, B≤2A, 則

于是, 由期望得分函數(shù)的定義可得fA=tA+1-2δA=tB+1-2δB=fB, 則A=B, 即≤2滿足反對(duì)稱性.

最后, ?A,B,C∈Θ, 若A≤2B∧B≤2C, 則

下面分4種情形分別討論, 當(dāng)tA

類似可證:

定理2二元關(guān)系≤3是Θ上的偏序關(guān)系.

下面證明直覺(jué)模糊數(shù)的和運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算關(guān)于偏序關(guān)系≤2是保序的.

命題3設(shè)A,B,C∈Θ且B≤2C, 則A⊕B≤2A⊕C.

證明： 由定義,

A⊕B=(tA+tB-tA·tB,fA·fB),A⊕C=(tA+tC-tA·tC,fA·fC).

設(shè)B≤2C, 下面分兩種情形討論：

1) 當(dāng)tB

(tA+tB-tA·tB)-(tA+tC-tA·tC)=(tB-tC)(1-tA)<0,

故

tA⊕B=tA+tB-tA·tB

于是有A⊕B≤2A⊕C.

2) 當(dāng)tB=tC∧δB≤δC時(shí), 易見(jiàn)

tA⊕B=tA+tB-tA·tB=tA+tC-tA·tC=tA⊕C.

又由

fB=tB+1-2δB≥tC+1-2δC=fC,

可得fA·fB≥fA·fC, 即fA⊕B≥fA⊕C. 再由期望得分函數(shù)的定義可得

故A⊕B≤2A⊕C. 證畢.

命題4設(shè)A,B∈Θ, λ為任意的正實(shí)數(shù). 若A≤2B, 則λA≤2λB.

1) 當(dāng)tA1-tB≥0且λ>0, 可得(1-tA)λ>(1-tB)λ. 于是有

tλA=1-(1-tA)λ<1-(1-tB)λ=tλB,

故λA≤2λB.

2) 當(dāng)tA=tB且δA≤δB時(shí), 易見(jiàn)

tλA=1-(1-tA)λ=1-(1-tB)λ=tλB.

再由λ>0且

fA=tA+1-2δA≥tB+1-2δB=fB≥0,

故λA≤2λB. 證畢.

命題5設(shè)A∈Θ, λ1和λ2為任意的正實(shí)數(shù). 若λ1≤λ2, 則λ1A≤2λ2A.

下面假設(shè)λ1<λ2, 可分如下3種情形討論：

1) 當(dāng)0<1-tA<1時(shí), 由(1-tA)λ1>(1-tA)λ2, 可得

tλ1A=1-(1-tA)λ1<1-(1-tA)λ2=tλ2A,

故λ1A≤2λ2A.

2) 當(dāng)1-tA=0時(shí), 有tA=1和fA=0, 則λ1A=λ2A=(1,0), 故λ1A≤2λ2A.

3) 當(dāng)1-tA=1時(shí), 有tA=0和fA=1, 則λ1A=λ2A=(0,1), 故λ1A≤2λ2A.

證畢.

命題3～命題5表明, 直覺(jué)模糊數(shù)的和及數(shù)乘運(yùn)算與偏序關(guān)系≤2是相容的. 因此, 在使用直覺(jué)模糊加權(quán)平均算子進(jìn)行信息集結(jié)和決策時(shí), 利用偏序≤2給出候選方案的最終偏好排序是合理的.

下面的反例表明, 直覺(jué)模糊數(shù)的和運(yùn)算關(guān)于偏序關(guān)系≤3不滿足保序性.

例1設(shè)A=(0.4,0.1), B=(0.5,0.3)和C=(0.1,0.2)是3個(gè)直覺(jué)模糊數(shù). 易見(jiàn)δ(A)=0.65， δ(B)=0.6, 則由偏序≤3的定義知B≤3A.

另一方面, 根據(jù)定義計(jì)算可得A⊕C=(0.46,0.02)和B⊕C=(0.55,0.06), 于是有δ(A⊕C)=0.72, δ(B⊕C)=0.745, 而由偏序≤3的定義知A⊕C≤3B⊕C, 表明和運(yùn)算⊕與偏序≤3不是相容的.

3 一種新的直覺(jué)模糊軟決策方法

基于直覺(jué)模糊數(shù)的期望得分函數(shù)及偏序關(guān)系≤2, 直覺(jué)模糊軟決策算法步驟如下:

3) 利用層次分析法確定屬性權(quán)重w=(w1,w2,…,wn);

4) 計(jì)算方案ui(i=1,2,…,m)的屬性集結(jié)值

及其期望得分函數(shù)值δ(αi);

5) 按偏序≤2對(duì)屬性集結(jié)值進(jìn)行比較, 進(jìn)而給出方案的偏好排序.

4 實(shí)例分析

下面結(jié)合網(wǎng)絡(luò)安全評(píng)估問(wèn)題說(shuō)明上述直覺(jué)模糊軟決策方法的有效性. 考慮以下4種網(wǎng)絡(luò)： 金融網(wǎng)絡(luò)u1, 軍用網(wǎng)絡(luò)u2, 企業(yè)網(wǎng)絡(luò)u3, 民用網(wǎng)絡(luò)u4. 將網(wǎng)絡(luò)安全評(píng)估中5個(gè)主要指標(biāo)作為決策屬性, 分別為： e1表示管理安全性高, e2表示硬件安全性高, e3表示軟件安全性高, e4表示維護(hù)成本高, e5表示數(shù)據(jù)安全性高.

根據(jù)本文算法, 可按照如下步驟求解此問(wèn)題：

表1 直覺(jué)模糊軟集

3) 利用層次分析法得到屬性權(quán)重向量為

w=(w1,w2,…,w5)=(0.1,0.25,0.2,0.2,0.25).

4) 計(jì)算方案ui(i=1,2,3,4)的屬性集結(jié)值αi. 由式(1)可得

類似可得：α2=(0.737 5,0.176 2),α3=(0.643 0,0.168 2),α4=(0.622 4,0.156 5).

由期望得分函數(shù)的定義, 可得屬性集結(jié)值α1的期望得分值為

類似可得：δ(α2)=0.780 6,δ(α3)=0.737 4,δ(α4)=0.732 9.

5) 由上述計(jì)算結(jié)果易見(jiàn)tα2>tα1=tα3>tα4且δ(α1)>δ(α3), 由偏序關(guān)系≤2的定義可得α4≤2α3≤2α1≤2α2. 因此, 4種網(wǎng)絡(luò)的最終排序?yàn)閡2?u1?u3?u4, 即軍用網(wǎng)絡(luò)的安全性優(yōu)于金融網(wǎng)絡(luò)的安全性, 企業(yè)網(wǎng)絡(luò)的安全性次之, 而民用網(wǎng)絡(luò)的安全性最低. 作為對(duì)比, 采用文獻(xiàn)[13,16-18]中已有的幾種決策方法對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算, 所得決策結(jié)果列于表2.

表2 幾種決策方法下的排序結(jié)果

由表2可見(jiàn), 不同方法的側(cè)重點(diǎn)略有差異, 但所得到的排序結(jié)果均認(rèn)為u2是最優(yōu)方案,u4為最劣方案, 即軍用網(wǎng)絡(luò)的安全性最高, 而民用網(wǎng)絡(luò)安全性最低. 但文獻(xiàn)[18]中關(guān)于u1和u3的排序與其他方法給出的結(jié)果相反, 這是由于文獻(xiàn)[18]中的方法在支持率不變時(shí), 得分函數(shù)值SJ(α)隨反對(duì)率增大而單調(diào)遞增, 與得分函數(shù)的直觀含義不符, 在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.

綜上, 本文對(duì)直覺(jué)模糊數(shù)的得分函數(shù)及排序方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹, 從直覺(jué)模糊隸屬度期望值的角度出發(fā), 定義了期望得分函數(shù)及其誘導(dǎo)的兩種偏序關(guān)系≤2和≤3, 并對(duì)一些相關(guān)的基本性質(zhì)進(jìn)行了討論, 證明了偏序≤2與直覺(jué)模糊數(shù)之和及數(shù)乘運(yùn)算是相容的. 此外, 綜合運(yùn)用直覺(jué)模糊加權(quán)平均算子、 直覺(jué)模糊軟集的廣義補(bǔ)運(yùn)算和偏序≤2, 給出了一種新的直覺(jué)模糊軟決策方法, 并通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的有效性.