江蘇財(cái)會(huì)職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部 夏 云

二重積分是多元微分學(xué)的重要組成部分，在工程數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而對二重積分進(jìn)行計(jì)算又是學(xué)習(xí)二重積分內(nèi)容的重中之重，要想正確計(jì)算二重積分，我們要有知識(shí)準(zhǔn)備。

一、將二重積分按兩種次序化成累次積分

直角坐標(biāo)系下，二重積分的積分區(qū)域有兩種類型：X-型和Y-型。如果積分區(qū)域D是X-型區(qū)域，則D可表示為D={（x,y）此時(shí)可將二重積分化成累次積分，即:。如果D是Y-型區(qū)域，則D可表示為此時(shí)可將二重積分化成累次積分，即

二、交換積分次序

如果給定的二重積分計(jì)算量較大、較難或無法用初等函數(shù)形式表示出來，這時(shí)可考慮交換積分次序重新計(jì)算。一般步驟是：（1）根據(jù)已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,并畫出草圖；（2）按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分。下面通過實(shí)例說明這一過程。

解：根據(jù)給定二重積分可以看出，其積分限是用Y-型積分區(qū)域表示，積分區(qū)域?yàn)?/p>

作出積分區(qū)域D的圖形（如圖1），觀察圖象可知，D也可以用X-型區(qū)域表示：

圖1

三、極坐標(biāo)系下的二重積分

如果積分區(qū)域是扇形、圓形或環(huán)形等，或者被積函數(shù)中含有“x2+y2”的形式時(shí)，通常選用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分更方便。由點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系x=rcosθ，y=rsinθ，可得被積函數(shù)f(x,y)用極坐標(biāo) (r,θ)表示為，故在極坐標(biāo)系下，二重積分可表示為其中，D′表示區(qū)域D的極坐標(biāo)表示。

四、二重積分的計(jì)算

有了上述知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)備，我們在計(jì)算二重積分的時(shí)候就能夠做到游刃有余了，下面通過實(shí)例加以說明。

解：由積分區(qū)域D的圖象（如圖2）可知，極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部，則D可以表示為作極坐標(biāo)交換

圖2

解：作出積分區(qū)域D的圖象（如圖3），觀察圖形可知D既是X-型區(qū)域，又是Y-型區(qū)域，故考慮用兩種類型分別加以計(jì)算。

圖3

綜上所述，化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分次序。這時(shí)，既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性，這就需要我們靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)計(jì)算二重積分。