劉寧元，汪新凡

（1.廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財貿(mào)學(xué)院，廣州 510000；2.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

0 引言

自Zadeh[1]提出模糊集以來,學(xué)者們對客觀世界中的研究由精確數(shù)拓展到了模糊數(shù)。在現(xiàn)實多屬性決策過程中，作為決策的主體，由于知識背景及思維差異，在各屬性下評價備選方案時，可能會出現(xiàn)猶豫不決的狀態(tài)，認為幾個評價值都有可能。為了解決這種問題,Torra[2]提出了猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets，HFS)的概念。它作為模糊集的一種拓展形式，隸屬度可以用幾個可能的值來表示，從而在多屬性決策過程中很好地解決了決策者猶豫不決，以及決策者們意見難以達成一致的問題。目前，針對猶豫模糊信息的多屬性決策問題的研究已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注[3-10]。Xia等[3]提出了猶豫模糊集的運算和聚合算子；Xu等[4]提出了猶豫模糊集的距離、相似度和關(guān)聯(lián)度的計算方法；zhang[5]提出了基于猶豫模糊幾何算子的多屬性決策方法;劉小弟等[6]提出了一種考慮可信度且對方案有偏好的猶豫模糊多屬性決策方法；Farhadinia[7]給出了一系列猶豫模糊集的得分函數(shù)及其排序方法；Zhang等[8，9]提出了猶豫模糊信息區(qū)間規(guī)劃模型的LINMAP決策方法以及猶豫模糊新型測量函數(shù)的TODIM決策方法；楊建輝等[10]提出了猶豫模糊元的灰色關(guān)聯(lián)多屬性決策方法等。

TOPSIS方法，是學(xué)者Hwang等[11]提出的一種逼近理想解的多屬性決策方法。經(jīng)典的TOPSIS方法一般用于將精確數(shù)作為屬性值的多屬性決策方法。自提出以后，許多學(xué)者對TOPSIS方法進行了研究。Chen[12]提出了基于最大貼近系數(shù)和最小偏差值兩個目標的區(qū)間值TOPSIS決策方法;Zhang等[13]提出了基于最大化一致性的區(qū)間值直覺模糊TOPSIS決策方法;Xu等[14]提出了基于權(quán)重信息不完全的猶豫模糊TOPSIS多屬性決策方法;Li等[15]提出了基于前景理論的梯形直覺模糊數(shù)群決策TOPSIS決策方法;趙巧姣等[16]提出了基于屬性關(guān)聯(lián)的直覺模糊TOPSIS決策方法。但對于屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模信息TOPSIS決策方法研究報道很少見到。為此，本文針對屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模糊信息多屬性決策問題進行了探討，利用經(jīng)典TOPSIS方法思想，提出一種基于屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模糊信息TOPSIS多屬性決策方法。

1 預(yù)備知識

1.1 猶豫模糊數(shù)定義

定義 1[3]：設(shè)非空集合X={x1，x2，…，xm} ，則從X到[0，1]的一個子集的函數(shù)為猶豫模糊集，記作：

其中hA(x)表示x∈X屬于猶豫模糊集合A的可能程度，其為區(qū)間[0，1]上幾個不同數(shù)構(gòu)成的集合。為了簡便，稱hA(x)為猶豫模糊數(shù)，記為h=hA(x)。猶豫模糊數(shù)h具體表示為h=H(γλ|λ=1，…，＃h)，其中猶豫模糊數(shù)h中元素個數(shù)記為＃h。

定義2[14]：設(shè)h1、h2、h為三個猶豫模糊數(shù)，則定義如下：

在決策過程中，決策者給出猶豫模糊數(shù)的元素個數(shù)不一定相等，且元素通常是無序的。文獻[3]作如下規(guī)定:將h(x) 中元素按 增序 排列 ，即hτ（k）(x)≤hτ（k+1）(x) ，其中hτ（k）(x)表示h(x)內(nèi)第k小的元素。設(shè)任意兩個猶豫模糊數(shù)hA(x)和hB(x)中元素個數(shù)分別為＃hA和＃hB，并在元素個數(shù)較少的猶豫模糊數(shù)內(nèi)添加元素，使其元素個數(shù)達到相等，即＃h=max{＃hA，＃hB}，添加的原則體現(xiàn)了決策者風(fēng)險偏好。

定義3[14]：設(shè)猶豫模糊數(shù)h(x)=H(γλ|λ=1，2，…，＃h)，設(shè)h(x)中的元素最大值和最小值分別為γ+和γ—，在猶豫模糊數(shù)h(x)中按照式（2）添加元素：

(1)若θ=1，添加猶豫模糊數(shù)h(x)內(nèi)最大值，說明決策者喜好風(fēng)險，對預(yù)期有樂觀估計；

(2)若θ=0，添加猶豫模糊數(shù)h(x)內(nèi)最小值，說明決策者厭惡風(fēng)險，對預(yù)期有悲觀估計;

(3)若θ=1 2，添加猶豫模糊數(shù)h(x)內(nèi)平均值，說明決策者風(fēng)險中立。

定義4[4]：設(shè)猶豫模糊數(shù)和分別是h1、h2中第λ小的值，且＃h=＃h1=＃h2，則猶豫模糊數(shù)歐幾里得(Euclidean)距離測度:

1.2 λ模糊測度

定義5[17]：設(shè)A為有限集，P(A)是A的冪集，gλ:P(A)→[0，1]滿足性質(zhì):(1)gλ(?)=0,gλ(A)=1;(2)若N?M?A，則gλ(N)≤gλ(M)≤gλ(A);(3)gλ(N∪M)=gλ(N)+gλ(M)+λgλ(N)gλ(M),其中λ∈(-1，∞),則稱gλ為P(A)上的λ模糊測度。

由定義 5可知,當(dāng)λ＞0 時,則gλ(M∪N)＞gλ(M)+gλ(N)，表示M與N間存在補充關(guān)系;當(dāng)-1＜λ＜0時，則gλ(M∪N)＜gλ(M)+gλ(N)，表示M與N間存在冗余關(guān)系;當(dāng)λ=0時，表示M與N間相互獨立。

設(shè)X={x1，x2，…，xn}為有限集，對任意的A∈P(X),且gλ模糊測度滿足[18]：

由P(X)=1，依據(jù)式（5）可以確定唯一參數(shù)λ：

2 屬性關(guān)聯(lián)TOPSIS方法

考慮猶豫模糊多屬性決策問題,設(shè)方案集為X={x1，x2，…，xm}，屬性集為A={a1，a2，…，an}，μ為定義在P(A)上的模糊測度。設(shè)D=[hij]m×n為猶豫模糊多屬性決策矩陣,其中hij是一個猶豫模糊數(shù),表示方案xi滿足屬性aj的程度，并且0≤hij≤1。屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模糊TOPSIS決策方法的步驟如下：

步驟1：構(gòu)造猶豫模糊決策矩陣D=[hij]m×n，對每一個猶豫模糊數(shù)hij，由式（2）對應(yīng)不同的θ（不同風(fēng)險態(tài)度）添加相對應(yīng)的元素,使其元素的個數(shù)為＃h=max{＃hij}(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），其中＃hij表示猶豫模糊數(shù)的元素的個數(shù)。

步驟2：為消除不同物理量綱對決策結(jié)果的影響，對決策矩陣D=[hij]m×n需要進行處理,得到規(guī)范化決策矩陣R=[rij]m×n,即：

G1和G2分別表示效益型和成本型屬性集。其中(hij)c表示hij的補。

定義6[14]：設(shè)R=[rij]m×n為猶豫模糊規(guī)范化決策矩陣,設(shè)x+為猶豫模糊理想解,x-為猶豫模糊負理想解，即：

步驟3：對屬性集的模糊測度進行專家評定，根據(jù)式（4）、式（5）確定各屬性子集的模糊測度。

步驟4：由式（7）、式（8）確定猶豫模糊規(guī)范化決策矩陣R=[rij]m×n的理想解x+和負理想解x-。

構(gòu)建矩陣P=[pij]m×n和Q=[qij]m×n,其中:

根據(jù)式（9）至式（12）得，方案xi(i=1，2，…，m)到理想解和負理想解的距離為：

其中p(ij)和q(ij)分別表示 (pi1，pi2，…，pin)和 (qi1，qi2，…，qin)的置換,使得 0≤p(i1)≤p(i2)≤…≤p(in)和 0≤q(i1)≤q(i2)≤…≤q(in),A(j)={a(j)，…，a(n)},A(n+1)=? 。

步驟5：由式（11）至式（14）計算各方案到理想解d(xi，x+)和負理想解的距離d(xi，x-)。通常，距離d(xi，x+)越小，方案xi∈X越優(yōu)；距離d(xi，x-)越大，方案xi∈X方案越優(yōu)。

步驟6：利用式（15）計算各方案到理想解的相對貼近度CI(xi)，并依據(jù)其大小對方案進行排序。方案xi∈X與理想解的相對貼近度，定義為：

顯然,0≤CI(xi)≤1(i=1，2，…，m)，相對貼近度CI(xi)越大，則方案xi∈X越優(yōu)。

性質(zhì)：如果在猶豫模糊信息多屬性決策中，決策屬性相互獨立，則屬性關(guān)聯(lián)的TOPSIS方法等價于經(jīng)典的TOPSIS方法。

根據(jù)猶豫模糊多屬性決策屬性關(guān)聯(lián)的TOPSIS方法相對貼近度：

將μ(aj)=wj代入相對貼近度CI(xi),則：

上式與經(jīng)典TOPSIS方法中的相對貼近度計算公式是一致的，即當(dāng)猶豫模糊屬性相互獨立時，屬性關(guān)聯(lián)的TOPSIS方法等價于經(jīng)典的TOPSIS方法。

3 算例與分析

3.1 算例

以文獻[19]的算例為例，某公司制定未來幾年的投資項目計劃。假如有4個備選投資項目Xi(i=1,2,3,4)可供選擇，決策專家利用平衡計分卡評價體系[20]確定了4項效益型屬性Aj(j=1,2,3,4)，來評價各投資項目的前景,評價結(jié)果見表1所示。已知決策專家評定各屬性的模糊測度分別為：gλ(A1)=gλ(A3)=0.15,gλ(A2)=gλ(A4)=0.2,試確定最優(yōu)投資項目。

表1 猶豫模糊評估值

為了確定最優(yōu)投資項目，下面利用本文方法對該算例進行求解，步驟如下：

步驟1：不失一般性，取θ=0，即添加猶豫模糊數(shù)內(nèi)的最小值，構(gòu)造猶豫模糊決策矩陣D=[hij]4×4，見表2。

表2 猶豫模糊決策矩陣D=[hij]4×4

步驟2：由于各屬性均為效益型，猶豫模糊決策矩陣就是規(guī)范化矩陣R=D=[hij]4×4,見表2。

步驟3：已知專家給定的各屬性模糊測度，利用式（4）、式（5），可得到λ=1.4以及所有屬性子集的模糊測度，如表3所示。

表3 屬性子集的模糊測度

步驟4：利用式（7）、式（8）確定猶豫模糊理想解X+與負理想解X-：

步驟5：計算各方案Xi(i=1，2，3，4)到理想解X+和負理想解X-的距離。

利用式（11）、式（12）得到?jīng)Q策矩陣D=[hij]4×4對應(yīng)的矩陣P=[pij]4×4和Q=[qij]4×4分別為：

利用式（13）、式（14）計算方案X1到理想解和負理想解的距離：

同理，可計算方案X2，X3，X4到理想解和負理想解的距離，見表4所示。

表4 各方案到理想解和負理想解的距離以及相對貼近度

步驟6利用式（15）計算各方案到理想解的相對貼近度,見表4所示。并依據(jù)其大小,對方案Xi(i=1,2,3,4)進行排序：

則最優(yōu)投資項目為X4,排序結(jié)果與文獻[19]相同。說明本文方法有效的。

3.2 參數(shù)的敏感性分析

由于基于關(guān)聯(lián)猶豫模糊信息的TOPSIS多屬性決策方法是帶有參數(shù)θ的決策方法，參數(shù)θ取值的不同，會引起猶豫模糊決策矩陣發(fā)生變化，從而導(dǎo)致決策結(jié)果發(fā)生改變。該參數(shù)敏感分析，主要通過參數(shù)值的改變，分析備選方案排序的變化情況，見表5所示。由表5可知，參數(shù)θ改變，方案的排序結(jié)果并沒有發(fā)生改變。即參數(shù)θ（決策者風(fēng)險偏好）的取值對方案排序結(jié)果不敏感。

表5 基于θ的不同取值下方案排序結(jié)果

4 結(jié)束語

本文針對屬性值是猶豫模糊信息，且已知屬性模糊測度的多屬性決策問題進行了研究，提出了一種TOPSIS決策方法。通過利用模糊測度對猶豫模糊信息的屬性權(quán)重進行建模，定義了方案到理想解與負理想解的距離，利用TOPSIS的思想，提出了屬性關(guān)聯(lián)的猶豫模糊信息TOPSIS決策方法。本文方法將屬性值為猶豫模糊信息的TOPSIS方法推廣到一般形式，為基于猶豫模糊信息的多屬性決策問題提供了一種新的決策方法。