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        一類隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性研究

        2018-10-09 03:31:50
        大學(xué)教育 2018年9期
        關(guān)鍵詞:定義

        (南京郵電大學(xué)通達(dá)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225127)

        近年來(lái),隨機(jī)微分方程(SDEs)和隨機(jī)偏微分方程(SPDEs)因其在自然科學(xué)、工程控制、生物等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而受到越來(lái)越多的重視和研究.人們主要關(guān)心方程解的存在唯一性及穩(wěn)定性.目前已有一些好的研究方法,如Lyapunov函數(shù)方法、逐次逼近法、大偏差理論、不動(dòng)點(diǎn)原理等.其中,不動(dòng)點(diǎn)原理因其在解的穩(wěn)定性研究方面簡(jiǎn)單有效而受到廣泛使用,尤其是那些帶Markov鏈和Possion跳的問題.但是,目前已出版的文獻(xiàn)大多是討論隨機(jī)微分方程或者隨機(jī)熱方程(二階拋物),而很少有隨機(jī)四階拋物型偏微分方程的解的穩(wěn)定性結(jié)果.如文獻(xiàn)[1]討論了線性隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性.

        到目前為止,尚沒有非線性隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性結(jié)果.

        本文考慮一類帶Markov鏈的非線性隨機(jī)四階拋物型方程的解的穩(wěn)定性問題.利用不動(dòng)點(diǎn)原理,我們不但得到了解的存在唯一性,還得到了溫和解的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性.

        一、記號(hào)、模型及定義

        常用記號(hào):本文用到的記號(hào)簡(jiǎn)介如下:

        (N5)拉普拉斯算子:,散度:

        模型:本文主要考慮如下非線性隨機(jī)四階拋物型偏微分方程:

        其中α,β:S→R,記αi=α(i),βi=β(i),Φ:[0,T]×L2(Θ)×S→L2(Θ)為Ft可測(cè)的,初值u0為F0可測(cè)隨機(jī)變量,與r(?)和B(?)相互獨(dú)立,且?p> 0,Ε‖u0‖p<∞.

        定義1:取值于L2(Θ)的隨機(jī)過(guò)程u:={u(t,?)}t∈[0,T]稱為方程(1)的溫和解,若其滿足:

        (i)u∈C([ 0 ,T] ;L2(Θ)),?t∈ [ 0 ,T],且u(t)是Ft適應(yīng)的,滿足:

        (ii)u滿足隨機(jī)微分方程

        定義2:方程(1)稱為是p階矩指數(shù)穩(wěn)定性的,若存在常數(shù)δ>0,C>0使得

        最后,我們給出定理證明的一些必要假設(shè).

        假設(shè):(A1)‖etΔ‖ ≤ Me-γ t,M為常數(shù),γ> 0;

        (A2)Φ 是滿足以下條件的算子:?u,v∈L2(Θ),p≥ 2,存在正常數(shù)LΦi(i∈S)使得:Φ(t,0,i)=0,‖Φ(t,u(t,x),i)-Φ(t,v(t,x),i)‖ ≤LΦi‖u(t,x)-v(t,x)‖;

        (A3) sup1≤i≤N|αi|LΦi<∞,sup1≤i≤N|βi|<∞.

        二、主要定理

        本節(jié)我們將用不動(dòng)點(diǎn)原理討論方程(1)的溫和解的存在唯一性及p階矩指數(shù)穩(wěn)定性.

        引理1[4]:設(shè)G(t,x)是ut=Δu-Δ2u的基本解,則

        其中,G1(t,x)為ut-Δu=0 的基本解,滿足;G2(t,x)為ut+Δ2u=0 的基本解,滿足;“*”指卷積,“”指v的 Fourier變換.記eΔt:=G1(t,x),e-Δ2t:=G2(t,x),e(Δ-Δ2)t:=G(t,x).

        引理2[3]:設(shè)G1(t,x),G2(t,x),G(t,x)如上,則:

        引理3:若etΔ滿足假設(shè)(A1) , 則

        證明:由卷積的Young不等式,引理1及引理2得:

        其中>0為常數(shù),如不特別說(shuō)明,我們將不再加以區(qū)分.

        特別地,若k=0,則

        當(dāng)p≥2時(shí)有s>0.故由Γ-函數(shù)的特點(diǎn)知此時(shí)積分收斂.又

        證明:設(shè)H是所有Ft適應(yīng)的連續(xù)過(guò)程的Banach空間,u(t,x)∈H,滿足Ε‖u(t,x)‖p≤M*Ε‖u0‖pe-ηt,t≥ 0,M*>0,0<η<γ.H中的范數(shù)定義為

        我們定義算子φ :H→H:

        由Cp不等式[2]得:

        顯然φ在[0,+∞)上是p階矩連續(xù)的.以下我們分兩步證明.

        步驟1:φ(H)?H.由引理3得:

        由假設(shè)(A1-A3),引理3,引理4及Ho?lder不等式得:

        由引理3和BDG不等式[5]得:

        由此φ(H)?H得證.

        步驟2:φ是壓縮映射.?u,v∈H,u(0,x)=u0(x)=v(0,x),考慮下式:

        由條件(11)∈(0,1)得:φ是壓縮映射.

        由不動(dòng)點(diǎn)定理可知φ在H中有唯一不動(dòng)點(diǎn)u(t,x),且由以上證明可知u(t,x)是p階矩指數(shù)穩(wěn)定的.由此定理1證畢.

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