圖形與幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換的知識(shí)體系[1]。在圖形與幾何知識(shí)的教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察與操作、想象與表達(dá)等活動(dòng)理解幾何概念、發(fā)展學(xué)生空間觀念。由于小學(xué)生的思維模式處于形象思維階段，對(duì)抽象的幾何概念理解困難，因而對(duì)圖形與幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)感覺復(fù)雜、枯燥，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣不高，這些問題也是整個(gè)小學(xué)階段圖形與幾何知識(shí)教學(xué)中的常見問題。

幾何畫板是信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)整合的典范，被譽(yù)為“21世紀(jì)動(dòng)態(tài)幾何”[2]。幾何畫板是一個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)教學(xué)輔助工具，它主要以點(diǎn)、線、圓為基本元素構(gòu)造出所需幾何圖形，能實(shí)時(shí)度量并顯示角度、長(zhǎng)度，能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、運(yùn)行變化規(guī)律[3]，能在面板中嵌入計(jì)算公式展示計(jì)算結(jié)果，方便學(xué)生觀察對(duì)比。有人說，幾何畫板是“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，借助幾何畫板開展畫圖演示、動(dòng)態(tài)模擬、操作驗(yàn)證等活動(dòng)，能較好地把學(xué)生引入思考、探索、創(chuàng)新的情景之中，讓學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何，幫助學(xué)生建立良好的空間觀念，取得良好的教學(xué)效果。

一、畫幾何圖形 感受直觀幾何

小學(xué)生由于年齡偏小，理解能力有限，生活經(jīng)驗(yàn)不足等諸多因素，對(duì)于圖形與幾何的有關(guān)概念理解不透，容易產(chǎn)生模糊認(rèn)知或認(rèn)識(shí)誤區(qū)。幾何概念是幾何圖形區(qū)別于其他幾何圖形內(nèi)涵、特征的本質(zhì)屬性，對(duì)幾何概念的教學(xué)需要借助幾何圖形進(jìn)行直觀描述，讓學(xué)生通過觀察、分析、探究、總結(jié)過程，得出相關(guān)幾何概念的內(nèi)涵和特征，有效地幫助學(xué) 生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。幾何畫板具有強(qiáng)大的作圖功能，能快捷地繪制教學(xué)所需的任何幾何圖形，幾何畫板實(shí)際上就是計(jì)算機(jī)上的直尺和圓規(guī)工具。

例如，在教學(xué)平面幾何中《平移與平行》一課時(shí)，如果離開了具體的直觀圖形的作用，學(xué)生就無法準(zhǔn)確揭示“平移與平行”的本質(zhì)含義。在以往的數(shù)學(xué)課堂上，教師或借助直尺、三角板工具在黑板上畫平行線，或利用PPT課件出示幾組平行線，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“平移與平行”概念。無論是在黑板上畫出來的平行線，還是PPT課件出示的平行線，它們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)—靜態(tài)圖，不能深層次地揭示概念的本質(zhì)意義。利用幾何畫板畫出來的幾何圖形是“活”的，借助幾何畫板教學(xué)平移與平行，不但能任意拖動(dòng)實(shí)現(xiàn)平移、準(zhǔn)確地畫出已知直線的平行線，還能演示移動(dòng)其中的一條直線或直線外的點(diǎn)，但兩條線的位置關(guān)系不會(huì)改變。幾何畫板作圖方便、快捷，教師還能指導(dǎo)畫平行線，讓學(xué)生通過畫圖、識(shí)圖、說圖，借助直觀圖形理解抽象的幾何概念。

小學(xué)生剛開始接觸立體幾何，在學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)時(shí)，因缺乏空間想象能力，導(dǎo)致學(xué)習(xí)這一知識(shí)比較困難，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)更需要借助圖形理解。幾何畫板神奇的繪圖功能可以使學(xué)生準(zhǔn)確分辨立體圖形中點(diǎn)、線、面的數(shù)量、大小和位置關(guān)系， 進(jìn)而達(dá)到理解幾何概念的目的。例如： 在《長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)》一課教學(xué)中，利用幾何畫板就能輕松地畫出各種長(zhǎng)方體、正方體等立體圖形，幫助學(xué)生理解圖形的特征，探索露在外面的面面積計(jì)算方法，總結(jié)歸納露在外面的面不同的擺放方式規(guī)律，還能演示把一個(gè)大長(zhǎng)方體平均分割成幾個(gè)小長(zhǎng)方體，或幾個(gè)正方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體后表面積的變化情況，這些都是傳統(tǒng)的課堂教學(xué)手段很難解決的問題。借助幾何畫板教學(xué)立體幾何知識(shí)， 能讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)各種立體圖形的概念、特征，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

圖形與幾何的教學(xué)離不開幾何圖形，幾何畫板不僅具備強(qiáng)大的作圖功能，還可以讓幾何圖形轉(zhuǎn)動(dòng)起來產(chǎn)生直觀的三維效果圖，展示正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，進(jìn)行水平旋轉(zhuǎn)、垂直旋轉(zhuǎn)等，為學(xué)生提供多角度的觀察方法[4]，化抽象為直觀，形象地展示幾何概念的內(nèi)涵與外延，更好地詮釋抽象的幾何概念，讓學(xué)生感受直觀幾何。

二、觀動(dòng)畫模擬 體驗(yàn)動(dòng)態(tài)幾何

幾何畫板除強(qiáng)大的作圖功能外，另一大特點(diǎn)是動(dòng)態(tài)模擬功能。幾何畫板動(dòng)畫制作方便、快捷，可以根據(jù)教學(xué)要求制作各類動(dòng)畫課件。 幾何畫板中“運(yùn)動(dòng)”按鈕可以添加“動(dòng)畫”和“移動(dòng)”2種動(dòng)畫方式，還可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)圖形上的任一元素，而事先給定的所有幾何關(guān)系都保持不變[5]。把這些動(dòng)態(tài)模擬方式經(jīng)過巧妙組合后，所制作的點(diǎn)、線、面、體都可以在各自的路徑上以不同的速度和方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生良好的、強(qiáng)大的動(dòng)畫效果，并且每個(gè)元素的值都可以隨著運(yùn)動(dòng)而變化，在運(yùn)動(dòng)中把握不變，探究幾何規(guī)律，起到良好的教學(xué)效果。

例如，在教學(xué)《展開與折疊》這一內(nèi)容時(shí)，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體與正方體的展開圖、并判斷哪些圖形能還原為長(zhǎng)方體或正方體，是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)。以往這一知識(shí)的教學(xué)教師都深感頭疼，課件無法演示展開、折疊的過程，唯一的方法就是讓學(xué)生帶長(zhǎng)方體、正方體盒子進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)。但是，展開的方法很多，學(xué)生哪能帶那么多紙盒？最后教師只好把長(zhǎng)方體、正方體的展開圖畫在黑板上讓學(xué)生死記硬背。利用幾何畫板制作的課件就能很好地演示長(zhǎng)方體、正方體展開與折疊的過程(如圖1～3所示），輕松地突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體表面積等知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

圖1

圖2

圖3

三、做幾何實(shí)驗(yàn) 嘗試驗(yàn)證幾何

畫圖、動(dòng)態(tài)演示功能只是幾何畫板帶給學(xué)生的視覺感受，啟迪學(xué)生視覺思維。幾何畫板最大的亮點(diǎn)是驗(yàn)證幾何，是學(xué)生研究幾何關(guān)系，猜測(cè)、發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證幾何方法，探索幾何規(guī)律的一個(gè)電子“實(shí)驗(yàn)室”[6]。在這個(gè)“實(shí)驗(yàn)室”中，學(xué)生借助幾何畫板畫出所需幾何圖形，對(duì)所繪制的圖形各元素進(jìn)行度量，動(dòng)態(tài)顯示度量結(jié)果并計(jì)算；通過拖動(dòng)改變圖形的形狀，顯示它們大小的值也隨之改變，使學(xué)生在動(dòng)態(tài)中觀察、探索和發(fā)現(xiàn)對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系與位置結(jié)構(gòu)關(guān)系，開展定性或定量研究，驗(yàn)證有關(guān)的幾何性質(zhì)，探討、理解相關(guān)的幾何知識(shí)。

例如，在教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》時(shí)，傳統(tǒng)的教法是讓學(xué)生經(jīng)歷“撕拼”“折疊”“度量”的探究過程，得出“三角形的內(nèi)角和等于 180 度”這一結(jié)論。但是，想要驗(yàn)證這一結(jié)論，需要一定數(shù)量的、不同形狀的三角形，這是傳統(tǒng)教學(xué)無法實(shí)現(xiàn)的，利用幾何畫板制作課件教學(xué)這一內(nèi)容快捷、方便又高效。課件制作步驟如下。(1)構(gòu)造一個(gè)三角形ABC；(2)點(diǎn)工具箱中的“選擇”工具，依次單擊點(diǎn)A，B，C，選中了∠ABC，依次單擊菜單“度量”→“角度”按鈕，量出∠ABC 的度數(shù)，用同樣的方法量出∠BCA，∠CAB的度數(shù)；(3)利用計(jì)算器計(jì)算內(nèi)角和：依次單擊菜單“數(shù)據(jù)”→“計(jì)算”按鈕，調(diào)出計(jì)算器，依次點(diǎn)擊“m∠ABC=…”“計(jì)算器的+號(hào)”“m∠BCA=…”“+”“m∠CAB=…”，最后單擊“確定”。如圖4至圖6所示，用鼠標(biāo)拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)，任意改變?nèi)切?個(gè)內(nèi)角的大小，3個(gè)內(nèi)角和的值不變，這樣就能動(dòng)態(tài)驗(yàn)證三角形3個(gè)內(nèi)角的和始終為180°。

圖4

圖5

圖6

利用幾何畫板制作課件，可以讓學(xué)生參與到驗(yàn)證三角形內(nèi)角和始終是180°的實(shí)驗(yàn)中。學(xué)生根據(jù)自己的想法，任意拖動(dòng)三角形頂點(diǎn)改變?nèi)切蔚男螤?，不管拖出的是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，所顯示的3個(gè)內(nèi)角和的值都是180°，操作過程比傳統(tǒng)探究方法簡(jiǎn)單、省時(shí)，將傳統(tǒng)的“教師講─學(xué)生聽─反復(fù)練”的數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)變?yōu)椤皢栴}─觀察─猜測(cè)─實(shí)驗(yàn)─結(jié)論─驗(yàn)證─練習(xí)”的新模式，讓學(xué)生掌握幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)方法。

幾何畫板還可以驗(yàn)證定值問題、探求軌跡問題。利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)幾何對(duì)象的位置關(guān)系、變化規(guī)律以及對(duì)幾何直觀的構(gòu)建作用等都是其他軟件工具無法比擬的[7]。在幾何與圖形知識(shí)的教學(xué)中，合理有效地使用幾何畫板，讓學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何，極大地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何與圖形知識(shí)的興趣，能很好地幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念，有效提升學(xué)生解決實(shí)際生活中幾何問題的能力。