周江 劉樹成

摘要：本文將平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的密度矩陣和量子力學(xué)傳播子類比， 從路徑積分形式計(jì)算了自由粒子的統(tǒng)計(jì)密度矩陣.從路徑積分表達(dá)中，我們看到了經(jīng)典分析力學(xué)到量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)的深刻關(guān)聯(lián).

關(guān)鍵詞：路徑積分統(tǒng)計(jì)力學(xué)密度矩陣

量子理論的路徑積分形式以特殊的數(shù)學(xué)形式體現(xiàn)了微觀體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 在費(fèi)曼提出量子力學(xué)路徑積分表述前， 這種數(shù)學(xué)體系已被廣泛運(yùn)用于布朗運(yùn)動(dòng)和擴(kuò)散問題的研究中. 在現(xiàn)代量子場論中， 只要將相對(duì)論量子場中的時(shí)間看成虛時(shí)， 并將虛時(shí)表達(dá)為溫度場的倒數(shù)， 則統(tǒng)計(jì)力學(xué)和相對(duì)論量子場論具有完全相同的數(shù)學(xué)形式. 本文詳細(xì)計(jì)算討論了量子力學(xué)傳播子到統(tǒng)計(jì)力學(xué)密度矩陣的過渡， 這些類比也將加深對(duì)經(jīng)典分析力學(xué)到量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)過渡的理解.

一、量子力學(xué)的路徑積分形式

考慮一個(gè)微觀粒子從 運(yùn)動(dòng)到 ，事件對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 和 . 經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為粒子走兩點(diǎn)間的最短路徑，量子力學(xué)路徑積分認(rèn)為粒子可以走連接兩點(diǎn)的任意路徑且每條路徑對(duì)應(yīng)的振幅是相同的，但是每條路徑對(duì)應(yīng)的相位不同.總的來講，從 運(yùn)動(dòng)到 的概率為幾率幅的模方： ，這個(gè)幾率幅為所有路徑的總貢獻(xiàn)

這里求和表示對(duì)所有路徑求和. 其中每條路徑的貢獻(xiàn)為 ，這里 為沿著路徑 的經(jīng)典作用量

這就是量子力學(xué)路徑積分的主要思想. 若我們知道了從過去到達(dá) 的幾率幅，這個(gè)幾率幅叫做波函數(shù)，則根據(jù)路徑的可疊加性，粒子出現(xiàn)在 的幾率幅構(gòu)造為

這里定義了函數(shù) ，稱為傳播函數(shù)或傳播子.這個(gè)等式告訴我們 處的幾率幅是粒子傳播到 處再傳播到 的結(jié)果，因?yàn)?是任意的，所以必須對(duì)該空間點(diǎn)積分.從這個(gè)定義我們還可以得到傳播子滿足鏈?zhǔn)揭?guī)則

這里 代表一個(gè)空間點(diǎn)。在量子力學(xué)中， 表示空間 處的幾率.將（3）乘以自身的復(fù)共軛，由量子幾率守恒得到傳播函數(shù)滿足關(guān)系式

將 看成 的函數(shù)，可以證明它滿足薛定諤方程

這里 表示粒子的質(zhì)量， 表示以 為中心的勢場.必須指出，只有當(dāng)時(shí)間 時(shí)，傳播子 才有定義；當(dāng) 時(shí)，

一般地，對(duì)于一個(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)，哈密頓量為 在兩個(gè)時(shí)空點(diǎn) 和 間的傳播子可以表示為

其中 稱為時(shí)間演化算符.為了得出統(tǒng)計(jì)力學(xué)的路徑積分形式，我們先求量子力學(xué)薛定諤方程的路徑積分表示.對(duì)于薛定諤方程 ，其形式解為 . 對(duì)應(yīng)的傳播函數(shù)可以表達(dá)為 ，為了計(jì)算這個(gè)傳播子，將 無限分割成 等份： . 在 間任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)，當(dāng) 時(shí)，對(duì)這些坐標(biāo)積分便可以得到所有路徑的貢獻(xiàn)。這相當(dāng)于引入了一個(gè)任意 時(shí)，坐標(biāo)為 . 利用完備性關(guān)系 有

當(dāng) 成立時(shí)，只取一階項(xiàng)。

運(yùn)用動(dòng)量空間的平面波波函數(shù)和高斯積分得

將這些每個(gè) 連起來，則定義了一條路徑 ，路徑 上的點(diǎn)滿足 ， .當(dāng)取 的極限時(shí)，有

式中的指數(shù)部分的積分表達(dá)式為路徑對(duì)應(yīng)的經(jīng)典作用量

傳播子就是對(duì)這些所有路徑的積分： 這是一個(gè) 維積分，積分是路徑的泛函，泛函積分測度定義為

對(duì)于定態(tài)的情況，考慮一個(gè)具有能量本征值和本征函數(shù) 的系統(tǒng). 處的幾率幅可以用能量本征函數(shù)展開： 利用正交性關(guān)系 可以得到從 到 的傳播子為

這里 這一表達(dá)式的優(yōu)勢在于用能量本征態(tài)完全表示體系的傳播子，將會(huì)看到，這個(gè)表達(dá)式和統(tǒng)計(jì)力學(xué)密度矩陣有著密切的關(guān)系。

二、統(tǒng)計(jì)力學(xué)路徑積分類比

對(duì)于一個(gè)量子系統(tǒng)，體系處于某一狀態(tài)的幾率為 這里 ，根據(jù)概率的歸一性得到 ，這稱為配分函數(shù).考慮系統(tǒng)具有一系列的量子態(tài)組態(tài)，若體系由量子態(tài) 描述，則系統(tǒng)處于 的幾率為 現(xiàn)在來計(jì)算物理量 的期待值，這樣的系統(tǒng)稱為混合系統(tǒng)，則整個(gè)系統(tǒng)平均處于 的幾率為

借助這個(gè)式子，定義密度矩陣函數(shù)

（13）中的幾率函數(shù)只是這個(gè)函數(shù)的對(duì)角元，則 稱為歸一化的密度矩陣，配分函數(shù) .求一個(gè)物理量的平均值過程等價(jià)于物理量對(duì)應(yīng)的算符和密度矩陣算符做乘積后求跡的過程. 因?yàn)閹茁适菤w一化的，顯然有 成立.令時(shí)間差 ，則（11）和密度函數(shù)具有完全等價(jià)的形式. 在（6）中我們?cè)C明了量子力學(xué)的傳播子 滿足薛定諤方程，在方程中令 將實(shí)時(shí)變?yōu)樘摃r(shí)，則

可以證明， 也滿足相同的方程，即 作變換 則統(tǒng)計(jì)力學(xué)的密度矩陣可以按照前面的方法得到，

密度矩陣 為

其中積分測度 的定義和前面類似，這就是統(tǒng)計(jì)力學(xué)密度矩陣的路徑積分形式，它表示連接兩點(diǎn)間所有路徑對(duì)密度矩陣的貢獻(xiàn).路徑積分以數(shù)學(xué)的形式體現(xiàn)了時(shí)空路徑對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的貢獻(xiàn).顯然，密度矩陣也滿足上面的鏈?zhǔn)椒▌t，這一點(diǎn)的在密度矩陣的狄拉克符號(hào)形式中體現(xiàn)更明顯.所以，完備性關(guān)系其實(shí)體現(xiàn)的是做路徑積分的意義. 在 趨近于零的附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，即溫度不太低時(shí)，對(duì)于滿足條件且相距較遠(yuǎn)的那些路徑，粒子運(yùn)動(dòng)的能很大，這些路徑對(duì)路徑積分的貢獻(xiàn)很小. 積分中 很大的那些路徑的貢獻(xiàn)很小也可以忽略. 勢函數(shù)的不同形式對(duì)應(yīng)了量子力學(xué)的不同系統(tǒng)；勢函數(shù)的各種處理方案，就對(duì)應(yīng)了統(tǒng)計(jì)力學(xué)各種近似方法.

現(xiàn)在我們考慮質(zhì)量為 的自由粒子密度矩陣， 結(jié)果可以表示為 維的積分

依次做 完成 維積分得到

配分函數(shù)為 ，所以自由粒子坐標(biāo)空間中歸一化的密度矩陣為 這個(gè)結(jié)果和教材中給出的密度矩陣的結(jié)果完全一致. 對(duì)于有相互作用的情形，若勢函數(shù)與路徑無關(guān)，則密度矩陣（未歸一化）為 （20）

利用這個(gè)式子可以很方便的求出系統(tǒng)的配分函數(shù)，也很容易推廣到高維的情形.當(dāng)勢函數(shù)與路徑有關(guān)時(shí)，我們必須考慮路徑對(duì)勢函數(shù)的影響， 這時(shí)經(jīng)典最小路徑不一定比其他路徑的貢獻(xiàn)大.

三、總結(jié)與討論

本文我們將統(tǒng)計(jì)力學(xué)與量子力學(xué)路徑積分形式進(jìn)行了類比，我們看到路徑積分中的傳播子和統(tǒng)計(jì)力學(xué)的密度矩陣有完全等價(jià)的數(shù)學(xué)形式，從路徑積分計(jì)算同樣得到了密度矩陣的表達(dá)式.在路徑積分體系中，多體系統(tǒng)的性質(zhì)完全由密度矩陣的路徑積分形式來刻畫. 從路徑積分的角度，我們也可以進(jìn)一步深刻理解統(tǒng)計(jì)力學(xué)的內(nèi)涵. 在對(duì)相互作用體系的處理中，經(jīng)常用到各種的近似方法.多粒子體系經(jīng)常用到有效勢的概念，從路徑積分的角度處理有效勢是非常有效的，這是路徑積分方法的優(yōu)勢之處. 此外，路徑積分把時(shí)間和空間等同處理， 在研究和推廣具有某種對(duì)稱性的多體系統(tǒng)也很有吸引力.

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[4]Feynman，PPHibbsAR著，張邦固，韋秀清 譯 量子力學(xué)與路徑積分[M].北京：高等教育出版社，2015.

作者簡介：

周江（1986-）男，博士研究生，貴州大學(xué)物理學(xué)院講師，研究方向：凝聚態(tài)物理。

劉樹成（1986-）男，碩士研究生，貴州大學(xué)物理學(xué)院助教，研究方向：凝聚態(tài)物理。

基金項(xiàng)目：貴州大學(xué)引進(jìn)人才科研項(xiàng)目，基金號(hào)：201538。