郭凱強(qiáng)， 賈艷敏， 于廣龍， 王佳偉, 張冠華

(1.東北林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150040；2.遼寧省交通規(guī)劃設(shè)計院有限責(zé)任公司公路養(yǎng)護(hù)技術(shù)研究中心，沈陽 110101)

預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁橋是我國橋梁工程中應(yīng)用最廣泛的結(jié)構(gòu)形式之一，因此，對其自振頻率的準(zhǔn)確計算顯得尤為重要。近年來國內(nèi)外對簡支梁橋的振動特性進(jìn)行了大量研究[1-4]，Saiidi等[5]通過室內(nèi)和現(xiàn)場試驗，得出了預(yù)應(yīng)力與混凝土梁自振頻率的關(guān)系，預(yù)應(yīng)力越大自振頻率越大。Miyamoto等[6]采用初等梁理論，推導(dǎo)了預(yù)應(yīng)力鋼混組合梁的自振頻率計算公式，并分析了體外筋及偏心距對自振頻率的影響。熊學(xué)玉等[7]對Miyamoto提出的公式進(jìn)行了修正和擴(kuò)充，分析了體外預(yù)應(yīng)力混凝土梁的振動特性，分別推導(dǎo)了體外預(yù)應(yīng)力筋不同布置方式下的自振頻率計算公式，并對其影響因素進(jìn)行了探討。肖靜霆等[8]認(rèn)為預(yù)應(yīng)力鋼筋的拉力與梁所受的壓力均屬于結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，預(yù)應(yīng)力的大小不影響其動力特性。張家瑋等[9]研究了考慮初始荷載影響下梁動力特性的有限元分析，通過建立有限元方程討論了各因素對梁自振頻率的影響。黃萍[10]通過室內(nèi)試驗研究分析了預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁頻率的變化及動剛度隨荷載增加而退化的規(guī)律。張書冰等[11]通過4根簡支鋼-混組合梁的模態(tài)試驗證明了修正剛度折減法在組合梁自振頻率計算中的使用范圍更廣。譚國金等[12]研究了無黏結(jié)偏心直線預(yù)應(yīng)力筋簡支梁的自振頻率計算，得出了自振頻率與偏心距和預(yù)加力之間的關(guān)系。楊殊珍等[13]研究了環(huán)境溫度和邊界條件對混凝土梁式橋自振頻率的影響，得出了在不同結(jié)構(gòu)形式下二者對梁式橋自振頻率的影響權(quán)重不同。

綜上所述，現(xiàn)有對橋梁固有頻率的研究有三類方法，即理論推導(dǎo)、有限元模擬和室內(nèi)試驗，缺乏實橋驗證，并且對偏心直線不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁自振頻率的研究相對較少。本文基于既有理論研究成果，提出了不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁自振頻率的計算公式，并與現(xiàn)場試驗值以及有限元分析值進(jìn)行對比分析，驗證了公式的合理性和準(zhǔn)確性，實現(xiàn)了對實際工程中此類梁自振頻率的求解。

1 自振頻率理論分析

1.1 基本假定

本文在推導(dǎo)不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁自振頻率計算公式時做出如下假定：①服從Euler-Bernolli梁理論，即忽略梁的剪切變形；②不考慮預(yù)應(yīng)力筋與混凝土粘結(jié)滑移的影響，二者變形協(xié)調(diào)一致；③不考慮預(yù)應(yīng)力引起的反拱，即初始狀態(tài)下梁軸線保持平直；④不考慮阻尼的影響，即梁的振動為自由振動。

1.2 理論計算公式

圖1為直線配筋有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁，其中預(yù)應(yīng)力筋有效長度均不相同。在鋼筋的兩端點作用一對預(yù)加力，偏心距為e，由于是偏心受壓，那么除了在梁縱向產(chǎn)生一個合力為p0的軸向壓力外，還會產(chǎn)生一個附加力偶，其合力偶值為：M0=p0e。

1234554321

預(yù)應(yīng)力筋有效長度表

圖1 直線型布筋簡支梁模型圖

Fig.1 Model of unequal prestressed reinforcement simple supported beam

由于梁在振動過程中，梁兩端的預(yù)應(yīng)力是不斷變化的，因此，可設(shè)：

(1)

Δp是預(yù)應(yīng)力的改變量，隨振動位移的變化而變化。設(shè)簡支梁有λ種不同長度的預(yù)應(yīng)力筋，預(yù)應(yīng)力筋總截面積為A，任意長度的預(yù)應(yīng)力筋與梁的力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 任意長度預(yù)應(yīng)力筋與梁的受力圖

Fig.2 Force diagram of prestressed reinforcement of any length and beam

梁在預(yù)應(yīng)力作用下的彎曲振動微分方程可由梁的自由振動方程可得出

(2)

式中：E為梁的彈性模量；I為梁截面慣性矩；y為振動位移；m為梁單位長度質(zhì)量。

將式(1)代入式(2)可得

(3)

考慮y遠(yuǎn)小于e，所以Δpy可忽略不計，又因為p0是初始時所施加的預(yù)應(yīng)力，為一恒定的常數(shù)，所以有

(4)

整理式(3)得

(5)

(6)

SMi為圖3中Mi圖的面積，而在鋼筋端點作用單位力引起的該端點的水平位移可由下式計算

(7)

圖3 梁的內(nèi)力

Fig.3 Internal force diagram of beam

(8)

由式(8)可得由F引起所有鋼筋錨固力的變化為

(9)

而在力F作用下梁跨中的位移為

(10)

將式(9)代入式(10)可得

(11)

由位移互等定理可知，Δp在梁跨中產(chǎn)生的向上位移yΔp為

(12)

(13)

(14)

這樣，根據(jù)關(guān)系式y(tǒng)=yF-yΔp與式(11)、(14)，可得

(15)

則

(16)

其中

(17)

即

(18)

將式(18)代入式(5)可得

(19)

式(19)即為不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁的自由振動方程，對于式(19)，根據(jù)振動的基本理論，可采用分離變量法求解?？稍O(shè)

y=Y(x)·(cosωnt+jsinωnt)

(20)

式中：ωn為其固有圓頻率；n為自然數(shù)；j為虛數(shù)單位。

將式(20)代入式(19)，并整理可得

(21)

對于所分析的簡支梁，根據(jù)文獻(xiàn)[7]可設(shè)Y(x)的表達(dá)式為

(22)

式中：ψ為常數(shù)。

將式(22)代入式(21)可得

(23)

解式(22)可得

(24)

式(24)即為所求的梁的自振圓頻率，其中

(25)

由梁的自振圓頻率可求得其自振頻率為

(26)

2 方法對比分析

2.1 試驗梁模態(tài)試驗

試驗梁所屬橋梁位于沈四(沈陽至四平)高速鐵嶺地段。上部構(gòu)造為16 m先張法PC空心板梁，采用C40混凝土，預(yù)應(yīng)力筋為Φj15.24(7Φ5)鋼絞線，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度1 860 MPa，張拉控制應(yīng)力為1 395 MPa。如圖4為試驗梁橫截面圖和鋼筋布置圖，圖5為現(xiàn)場試驗照片。

預(yù)應(yīng)力筋有效長度表

編號123456長度1 5961 4601 1901 060930690

(a) 橫截面布置圖

(b) 鋼筋布置圖圖4 試驗梁的橫截面及預(yù)應(yīng)力束布置示意(cm)Fig.4 Test beam cross section and prestressed tendon layout(cm)

圖5 現(xiàn)場試驗照片F(xiàn)ig.5 Field experiment photo

本次動測試驗采用江蘇東華測試技術(shù)有限公司研發(fā)的東華橋梁模態(tài)測試系統(tǒng)，主要試驗儀器包括傳感器、路由器、筆記本電腦以及DHDAS信號測試分析軟件等，測點布置分別在支點、1/4跨、跨中及3/4跨位置處，采用自然脈動激勵的方法對該試驗梁進(jìn)行激振，采樣頻率為100 Hz，分析頻率為39.06 Hz，采用連續(xù)采樣的采樣方式，試驗過程中采用GPS同步衛(wèi)星測試模式，增強(qiáng)各傳感器之間的同步性，圖6為試驗梁測點布置圖。

圖6 試驗梁測點布置圖Fig.6 Test beam measuring point layout

2.2 有限元模型的建立

采用有限元分析軟件ANSYS建立預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁有限元模型。根據(jù)試驗梁的特點，混凝土用實體單元Solid-65模擬，預(yù)應(yīng)力筋與普通鋼筋都以桿單元 Link-8來模擬[12]。按照原設(shè)計資料，分別建立預(yù)應(yīng)力筋與普通鋼筋模型，見圖7。建模過程中采用約束方程法模擬混凝土與鋼筋之間的作用，即鋼筋單元的一個節(jié)點與混凝土單元的多個節(jié)點建立約束方程，通過多組約束方程，將鋼筋與混凝土的單元連接成一個整體；預(yù)應(yīng)力施加采取常用的降溫法，并依照規(guī)范求解預(yù)應(yīng)力損失。圖8為有限元分析得到的前兩階豎向振型。

(a) 鋼筋單元圖

(b) 混凝土單元圖圖7 預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁有限元模型Fig.7 Finite element model of prestressed concrete hollow slab beam

2.3 數(shù)據(jù)對比分析

應(yīng)用式(26)對試驗梁進(jìn)行一階和二階頻率計算，并對試驗梁有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析。前兩階頻率理論計算結(jié)果、現(xiàn)場試驗結(jié)果和有限元計算結(jié)果見表1。

由表1可以看出，試驗梁一階和二階自振頻率的理論計算結(jié)果、有限元分析計算結(jié)果以及實測結(jié)果均非常接近，誤差基本在5%以內(nèi)，說明本文推導(dǎo)的理論計算公式和建立的有限元模型在計算前兩階頻率上是較為準(zhǔn)確的。

表1頻率試驗值、理論值和有限元值

Tab.1Frequenciesresultofmodelexperiment,theoryandfiniteelement

頻率理論值/Hz實測值/Hz有限元值/Hz誤差a/%誤差b/%誤差c/%一階5.81 5.86 5.96 0.91 2.60 1.73 二階23.60 23.03 22.35 2.44 5.58 2.97 注:誤差a為(f理論值-f實測值)/f實測值×100%;誤差b為(f理論值-f有限元值)/f有限元值×100%;誤差c為(f有限元值-f實測值)/f實測值×100%

(a) 一階豎向振型

(b) 二階豎向振型圖8 試驗梁前兩階豎向振型圖Fig.8 The first two vertical modes vibration modes of the test beam

3 自振頻率影響因素分析

為了探討預(yù)應(yīng)力值和偏心距對不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁自振頻率的影響，采用本文計算公式和有限元法分別計算了同一偏心距情況下多組預(yù)應(yīng)力值對應(yīng)的簡支梁第一階自振頻率，以及同一預(yù)應(yīng)力值情況下多組偏心距對應(yīng)的簡支梁第一階頻率。

3.1 預(yù)應(yīng)力的影響

偏心距取0.325 m，施加不同預(yù)應(yīng)力的簡支梁第一階頻率有限元計算和理論計算結(jié)果見表2。

由表2可知，偏心直線不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁一階頻率隨著鋼筋預(yù)應(yīng)力的增大而略有降低，而有限元計算結(jié)果變化很小。總體而言，鋼筋預(yù)應(yīng)力的大小對簡支梁的一階頻率影響很小。故實際橋梁隨著運營時間的增長，預(yù)應(yīng)力損失情況對橋梁一階頻率影響很小。

3.2 偏心距的影響

鋼筋預(yù)應(yīng)力取1 100 MPa，不同偏心距情況下試驗梁一階頻率的理論計算和有限元計算結(jié)果見表3。

表2預(yù)應(yīng)力對簡支梁第一階頻率的影響

Tab.2Theinfluenceofprestressvalueonnaturalfrequencyofsimplysupportedbeam

鋼筋預(yù)應(yīng)力/MPa1 0001 0501 1001 1501 2001 250理論值/Hz5.847 5.829 5.811 5.793 5.775 5.757 有限元值/Hz5.950 5.956 5.962 5.967 5.973 5.978 誤差/%1.73 2.13 2.52 2.91 3.31 3.70

表3偏心距對簡支梁第一階頻率的影響

Tab.3Theinfluenceofeccentricityonnaturalfrequencyofsimplysupportedbeam

偏心距/m0.2950.3050.3150.3250.335理論值/Hz5.757 5.772 5.789 5.805 5.823 有限元值/Hz5.940 5.947 5.954 5.962 5.969 誤差/%3.09 2.94 2.78 2.62 2.45

表3中只列出了偏心距在0.295～0.335 m之間的一階自振頻率計算結(jié)果，同理可計算出其它偏心距下的預(yù)應(yīng)力簡支梁自振頻率，計算結(jié)果見圖9。由表3和圖9可知，一階自振頻率隨偏心距的增大而增大，二者呈非線性關(guān)系。實際工程中由于要考慮鋼筋保護(hù)層厚度、截面形狀及整體受力等因素，偏心距改變范圍比較小，而在這一范圍內(nèi)一階頻率與偏心距的關(guān)系則是呈線性變化的。

圖9 不同偏心距對自振頻率的影響Fig.9 The influence of different eccentricity on natural frequency

4 結(jié) 論

(1)采用本文提出的公式計算偏心直線不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁的頻率是合理、準(zhǔn)確的，一階和二階頻率計算值與試驗值和有限元分析值吻合良好，對實際工程應(yīng)用性強(qiáng)。

(2)當(dāng)偏心距一定時，偏心直線不等長預(yù)應(yīng)力筋簡支梁自振頻率隨著鋼筋預(yù)應(yīng)力的增大而略有降低，鋼筋預(yù)應(yīng)力的大小對簡支梁的自振頻率影響較小。故實際工程中橋梁的預(yù)應(yīng)力損失情況對其一階頻率影響很小。

(3)當(dāng)預(yù)應(yīng)力值一定時，自振頻率隨著偏心距的增加而增加，二者呈非線性關(guān)系；而實際工程中偏心距變化范圍較小，二者呈線性關(guān)系。