吳 磊， 杜群貴， 肖龍帆

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

瓦楞機(jī)械是一個競爭激烈的行業(yè)，由于國內(nèi)包裝機(jī)械起步較晚，所以瓦楞生產(chǎn)線還不是很成熟，瓦楞機(jī)作為瓦楞紙板生產(chǎn)線的關(guān)鍵機(jī)器，被越來越多的學(xué)者所研究，而光輥作為瓦楞機(jī)上的關(guān)鍵一環(huán)，對瓦楞原紙和瓦楞芯紙的粘合起到關(guān)鍵的作用，隨著瓦楞機(jī)械向著低克重、高強(qiáng)度[1]、高速化發(fā)展，振動噪聲大，瓦楞原紙和芯紙不能很好的粘合等問題開始頻頻出現(xiàn)，振動不僅影響瓦楞紙板的成型質(zhì)量，也降低了瓦楞機(jī)的使用壽命[2]。

隨著對光輥機(jī)構(gòu)的要求越來高，很多學(xué)者開始了對光輥機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)和動力學(xué)研究，從研究光輥和上瓦楞輥的中心距變動[3]到研究光輥機(jī)構(gòu)的振動特性[4]，再到對光輥機(jī)構(gòu)動力學(xué)[5]不同方法的研究，為光輥機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供理論依據(jù)。本文主要研究某特定型號的單面瓦楞機(jī)光輥機(jī)構(gòu)振動特性，該光輥機(jī)構(gòu)提供了一種新的思想，不僅由皮囊氣缸為光輥提供力的作用，而且增加了一個杠桿機(jī)構(gòu)，由電動推桿通過杠桿機(jī)構(gòu)對光輥進(jìn)行微調(diào)，合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計再加上合理的剛度，很大程度上減小了光輥的振動。

1 新型光輥機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析

1.1 光輥機(jī)構(gòu)運(yùn)動模型

光輥是瓦楞機(jī)中最重要的機(jī)構(gòu)之一，主要作用是為成型的瓦楞芯紙和面紙粘合提供力的作用，然而，如果光輥和上瓦楞輥不能很好的接觸，或者光輥振動過大，都會對瓦楞芯紙和面紙的粘合造成一定的影響，因此，需要對光輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動分析。瓦楞機(jī)工作原理圖,如圖1所示。

由圖1中構(gòu)件1～4組成光輥機(jī)構(gòu)完整模型，光輥由光輥支架鉸接，可以看做簡支梁，支架兩端的皮囊氣缸為光輥提供力的作用，可以將皮囊氣缸看做一個彈簧阻尼系統(tǒng)，其剛度可以等效為K1，而電動推桿通過頂桿對光輥進(jìn)行微調(diào)，頂桿與偏心銷的接觸可以看做彈簧阻尼系統(tǒng)，其剛度可以等效為K2，電動推桿也可以看做一個彈簧阻尼系統(tǒng)，其剛度可以等效為K3，如圖2所示。上瓦楞輥轉(zhuǎn)動，在光輥的壓力下，瓦楞原紙和芯紙嚙合在一起，而上瓦楞輥的轉(zhuǎn)動使光輥上下跳動，光輥和上瓦楞輥的接觸可以看做彈簧阻尼系統(tǒng)，其剛度可以等效為K4。

1-電動推桿;2-頂桿和銷;3-光輥;4-皮囊氣缸;5-油缸;6-上瓦楞輥;7-皮囊氣缸;8-下瓦楞輥

圖1 瓦楞機(jī)原理圖

Fig.1 The theory graph of corrugating machine

圖2 擺桿機(jī)構(gòu)簡化模型Fig.2 The simplified model of the swing-rod mechanism

本文主要是研究光輥機(jī)構(gòu)的振動特性，因此將光輥機(jī)構(gòu)單獨(dú)拿出并進(jìn)行簡化得到圖3光輥機(jī)構(gòu)簡化模型，即將頂桿、銷、擺桿和電動推桿等效為一個彈簧-阻尼系統(tǒng)，K*為電動推桿、頂桿和擺桿的等效剛度，根據(jù)能量守恒定律，即可得到等效的彈簧-阻尼系統(tǒng)的等效剛度。因為光輥機(jī)構(gòu)兩端支架是相互獨(dú)立的，所以建立的模型具有兩個自由度，分別是兩個光輥支架的轉(zhuǎn)角θ1和θ2，實際工程中，光輥機(jī)構(gòu)運(yùn)動時，兩邊的支架并不是同步的，如果光輥機(jī)構(gòu)振動過大，或者運(yùn)動不均勻，都會造成瓦楞紙不能順利成型，因此，研究光輥機(jī)構(gòu)振動特性是非常有必要的，由圖3光輥機(jī)構(gòu)簡化模型建立數(shù)學(xué)模型。然而頂桿和偏心軸并不是一直接觸，上瓦楞輥和光輥也并不是一直接觸，因此剛度K2和K4是非線性變化的，光輥機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的求解變?yōu)榉蔷€性問題。

由圖3所示，光輥擺桿機(jī)構(gòu)上的力對其固定支點的合力矩為零可得

K1L1x1=K2L3x2-FL2

(1)

1-光輥;2、5-皮囊氣缸;3、6-支架;4、7-頂桿、偏心銷和電動推桿等效結(jié)構(gòu);8-光輥和上瓦楞輥的嚙合

圖3 光輥機(jī)構(gòu)簡化模型

Fig.3 The simplified model of pressure roller mechanism

由電動推桿、擺桿和頂桿組成的擺桿機(jī)構(gòu)上的力對其固定支點的合力矩為零可得

K2L4x2=K3L5x3

(2)

根據(jù)系統(tǒng)能量守恒定律有

(3)

又因為等效光輥擺桿機(jī)構(gòu)到固定支點的力矩為零，即

(4)

由式(1)～(4)可知電動推桿、頂桿和擺桿的等效剛度為

(5)

1.2 光輥機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型

對簡化的模型運(yùn)用拉格朗日函數(shù)方程求解，拉格朗日方程[6]的一般形式如下

(6)

式中:L=T-V，T為系統(tǒng)總動能，V為系統(tǒng)總勢能，qi為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，Qi為與廣義坐標(biāo)qi相對應(yīng)的非保守力。

光輥動能為

其中，M1為光輥質(zhì)量，J1為光輥轉(zhuǎn)動慣量，

支架3的動能和勢能為

其中，J2為支架3的轉(zhuǎn)動慣量

支架6的動能和勢能為

其中，J3為支架6的轉(zhuǎn)動慣量

光輥和上瓦楞輥接觸等效彈簧7的勢能為

將以上計算得到的動能T和勢能V代入式L=T-V中可得

(7)

將式(7)代入到拉格朗日方程一般形式(6)中，并將等效剛度式(5)代入其中，方程寫成矩陣形式如下

化為標(biāo)準(zhǔn)形式可得

(8)

其中，M(t)為上瓦楞輥對光輥產(chǎn)生的激振力，而

2 光輥機(jī)構(gòu)的振動特性

2.1 光輥機(jī)構(gòu)的固有頻率

固有頻率，反應(yīng)了機(jī)構(gòu)的固有特性，當(dāng)激振頻率等于固有頻率時，就會發(fā)生共振，因此研究機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性，首先就要研究其固有頻率，避免共振情況的發(fā)生。對于某型號的單面瓦楞機(jī)，在計算光輥機(jī)構(gòu)固有頻率時，非保守力Qi為0，式(8)變?yōu)?/p>

求解上述方程式可得光輥機(jī)構(gòu)固有頻率為

(9)

根據(jù)圖3將光輥機(jī)構(gòu)具體參數(shù)列表,如表1所示。

將光輥機(jī)構(gòu)具體參數(shù)代入固有頻率計算式(9)中可得

即

將光輥機(jī)構(gòu)固有頻率代入振動標(biāo)準(zhǔn)方程計算得到主振型為

由主振型可以得知，當(dāng)系統(tǒng)做第一階主振動時，光輥兩端的支架做同向運(yùn)動，此時光輥上下平動，而當(dāng)系統(tǒng)做第二階主振動時，光輥兩端的支架做異向運(yùn)動，此時光輥做轉(zhuǎn)動運(yùn)動。

表1 光輥機(jī)構(gòu)實際參數(shù)Tab.1 The actual parameters of the pressure roller mechanism

2.2 非線性模型的求解

光棍機(jī)構(gòu)在運(yùn)動的過程中存在非線性振動，非線性模型的求解[7-9]過程比較復(fù)雜，一般來說有以下幾種方法：正規(guī)攝動法、多尺度法和線性平均法等。結(jié)合本文光棍機(jī)構(gòu)的模型，第三種線性平均法是最簡單的方法，模型中非線性的因素是K2和K4，所以在計算非線性模型時，只需要將剛度矩陣線性化，質(zhì)量矩陣不變。在不考慮材料非線性的情況下，剛度矩陣中的K2和K4不等于零，由于角位移而導(dǎo)致的剛度非線性如下所示

其中xe為頂桿的預(yù)壓縮量，xf為光輥和上瓦楞輥接觸時變動最大值，為便于后續(xù)對剛度進(jìn)行線性化計算，令振動角位移x=Acos(φ)，其中A為幅值，剛度K2和K4可表示為

由線性平均法可知，剛度K2和K4的等效剛度為

即

3 實 驗

上文中已經(jīng)對光輥機(jī)構(gòu)的模型做了理論分析，現(xiàn)對工程實際中具體型號瓦楞機(jī)中的光輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行振動測試實驗，使用X測試儀和相關(guān)匹配振動加速度傳感器，對光輥機(jī)構(gòu)做振動測試實驗時，加速度傳感器安裝在光輥的支架上靠近光輥的位置，通過調(diào)節(jié)瓦楞機(jī)的線速度，使光輥和上瓦楞輥的嚙合頻率呈現(xiàn)均勻增加，在每個頻率點采樣2 s，采樣頻率51 200 Hz，將采樣的數(shù)據(jù)傳遞到電腦中，在labVIEW[10]中顯現(xiàn)出來，采樣頻率稍微高可以使測得的實驗數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，利用測得的實驗數(shù)據(jù)與建立的數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，驗證建立的數(shù)學(xué)模型的正確性，因為受實驗條件的限制，沒能在低速的情況下對光輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行振動測試，而且低速情況下，因為速度比較低，光輥機(jī)構(gòu)的運(yùn)動并不會受太大影響，瓦楞芯紙和面紙也能夠較好的粘合，而瓦楞機(jī)高速運(yùn)動情況下，光輥和上瓦楞輥的接觸因受到光輥振動的影響使瓦楞芯紙和面紙不能很好的粘合，因此，本文主要對較高速情況下光輥機(jī)構(gòu)振動進(jìn)行分析。在瓦楞機(jī)正常運(yùn)行速度范圍內(nèi)對光輥機(jī)構(gòu)做振動測試實驗，得到一系列瓦楞機(jī)不同運(yùn)行速度下光輥機(jī)構(gòu)振動峰值，根據(jù)文獻(xiàn)[3]可知，光輥機(jī)構(gòu)在瓦楞機(jī)不同運(yùn)行速度下的激振頻率為wj=wz/120πR，其中w為瓦楞機(jī)線速度，z為上瓦楞輥齒數(shù)，R為上瓦楞輥半徑。

依據(jù)振動測試數(shù)據(jù)作圖4，其中橫坐標(biāo)為光輥機(jī)構(gòu)的激振頻率，縱坐標(biāo)為光輥機(jī)構(gòu)加速度的峰值。

圖4 振動測試加速度峰值Fig.4 The graph of the peak value of the vibration testing acceleration

由圖4可知，在測試的瓦楞機(jī)運(yùn)行速度范圍內(nèi)，光輥機(jī)構(gòu)的振動加速度幅值隨著激振頻率呈先減小后增大再減小的趨勢，在此范圍內(nèi)，加速度第一次出現(xiàn)峰值是在測試的最小激振頻率之前，而出現(xiàn)振動峰值的原因很有可能是因為共振，即光輥機(jī)構(gòu)的一階固有頻率和激振頻率接近造成的，由于實驗條件的限制未能測得低速下光輥機(jī)構(gòu)的振動，因為低速下光輥機(jī)構(gòu)的振動不會對瓦楞紙的成型造成影響。當(dāng)瓦楞機(jī)線速度在110～210 m/min區(qū)域時，光輥機(jī)構(gòu)的振動加速度幅值隨著瓦楞機(jī)線速度呈先增大后減小的趨勢，此時加速度第二次出現(xiàn)峰值，并在160 m/min時，即激振頻率為331 Hz時，呈現(xiàn)最大值，振動最激烈，而建立的光棍機(jī)構(gòu)非線性數(shù)學(xué)模型得到的二階固有頻率326.06Hz與此時的激振頻率非常接近，可以斷定，瓦楞機(jī)線速度在160 m/min時，激振頻率為331 Hz時，出現(xiàn)共振，幅度較大。因此，著重研究光輥機(jī)構(gòu)振動加速度第二次出現(xiàn)峰值的情形，在此線速度下，對采集的加速度信號進(jìn)行傅里葉變換(FFT)、細(xì)化分析[11]，如圖5所示。

(a) FFT變換

(b) 細(xì)化圖形圖5 加速度信號頻譜分析Fig.5 The spectral analysis of the acceleration signal

如圖5所示的FFT變換分析采樣點數(shù)為51 200個，細(xì)化的中心頻率為329.9 Hz，經(jīng)傅里葉變換和細(xì)化分析，由圖5可知，當(dāng)頻率為329.9 Hz時，光輥機(jī)構(gòu)振動最大，此時的頻率和激振頻率、光棍機(jī)構(gòu)二階固有頻率基本一致，可以預(yù)斷，在此線速度下發(fā)生了共振。

4 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

為了避免出現(xiàn)共振，對光輥機(jī)構(gòu)提出改進(jìn)方案，由式(9)可知，增大頂桿和銷的剛度K2以及電動推桿的剛度K3，增加頂桿到固定支點的長度L3和電動推桿到固定支點的長度L5，以及減小長度L4，可以增大光輥機(jī)構(gòu)的固有頻率，達(dá)到避免共振的效果，根據(jù)實際工程要求，長度L4和L5只能在有限的范圍內(nèi)變動，而頂桿到固定支點的距離L4受到偏心銷的限制，為了保證剛度需求，長度L4大于等于18 mm，電動推桿的剛度K3受到選型的限制，為了節(jié)約成本，又能達(dá)到工程要求，選型電動推桿最大為3噸推力電動缸，而增大偏心銷和頂桿的直徑就可以容易的調(diào)節(jié)剛度K2，在MATLAB中作出光輥機(jī)構(gòu)非線性求解的固有頻率隨著K2變化而變化的圖，如圖6所示。

圖6 光輥機(jī)構(gòu)固有頻率隨著K2變化圖

Fig.6 The natural frequencies of the pressure roller mechanism vary with the value ofK2

由圖6可以看出，隨著剛度K2的增大，光輥機(jī)構(gòu)一階和二階固有頻率不斷增大。某機(jī)型瓦楞機(jī)在正常工作情況下運(yùn)行速度不會超過300 m/min，其對應(yīng)的激振頻率為607.97 Hz，綜合多因素分析，運(yùn)用MATLAB優(yōu)化算法，增大剛度K2至6.23×109N/m，增大剛度K3至1.47×109N/m，增大長度L3至910 mm，減小長度L4至18 mm，光輥機(jī)構(gòu)二階固有頻率可以增大到612.65 Hz，光輥機(jī)構(gòu)自身的固有頻率大于瓦楞機(jī)正常工作情況下對光輥機(jī)構(gòu)的激振頻率，可以避免共振。

5 結(jié) 論

本文建立了單面瓦楞機(jī)新型光輥機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型，瓦楞機(jī)在運(yùn)行過程中，頂桿和偏心銷、光輥和上瓦楞輥接觸存在非線性的情況，因此，分別對線性和非線性的情況進(jìn)行分析，通過數(shù)學(xué)方程的計算得到光輥機(jī)構(gòu)的固有頻率，為光輥機(jī)構(gòu)振動特性的研究提供理論依據(jù)。

上瓦楞輥在轉(zhuǎn)動的過程中對光輥產(chǎn)生力的作用，使光輥機(jī)構(gòu)上下振動，當(dāng)激振頻率接近光輥機(jī)構(gòu)固有頻率時就會產(chǎn)生共振，此時振動達(dá)到最大，本文著重對較高速情況下瓦楞機(jī)的振動進(jìn)行分析，通過理論分析發(fā)現(xiàn)瓦楞機(jī)運(yùn)行速度達(dá)到160 m/min時，激振頻率與光輥機(jī)構(gòu)二階固有頻率非常接近，此時發(fā)生共振，通過振動測試實驗驗證了這一說法的正確性，進(jìn)而驗證了建立的數(shù)學(xué)模型的正確性，為光輥機(jī)構(gòu)的改進(jìn)提供理論依據(jù)，最后通過綜合考慮，改變影響光輥機(jī)構(gòu)固有頻率的因素，提高光輥機(jī)構(gòu)的固有頻率，以避免共振情況的發(fā)生。