劉常青

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10.16638/j.cnki.1671-7988.2018.18.036

基于穩(wěn)健回歸理論的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型研究

劉常青

（陜西重型汽車有限公司，陜西 西安 710200）

文章引入穩(wěn)健回歸理論建立發(fā)動(dòng)機(jī)外特性數(shù)學(xué)模型，并對(duì)比分析了最小二乘法建立的發(fā)動(dòng)機(jī)模型，穩(wěn)健回歸相對(duì)最小二乘法可以提高發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的精度，同時(shí)有效降低試驗(yàn)數(shù)據(jù)中誤差點(diǎn)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的影響，為建立整車模型打下良好基礎(chǔ)。

發(fā)動(dòng)機(jī)；數(shù)學(xué)模型；穩(wěn)健回歸

前言

發(fā)動(dòng)機(jī)是車輛的心臟，準(zhǔn)確的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型是整車性能仿真模型建立的基礎(chǔ)。發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型一般通過(guò)插值法或擬合法建立。插值法的優(yōu)點(diǎn)是精度高，缺點(diǎn)是需求試驗(yàn)數(shù)量樣本量大、精度高，計(jì)算速度較低；擬合法一般采用最小二乘法擬合，優(yōu)點(diǎn)是模型處理、應(yīng)用方便，對(duì)數(shù)據(jù)樣本量及精度要求低，缺點(diǎn)是精度較低，尤其是試驗(yàn)數(shù)據(jù)不很規(guī)則時(shí)誤差很大。

最小二乘法擬合在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)用最廣，本文針對(duì)其擬合的不足之處，引入穩(wěn)健回歸理論建立發(fā)動(dòng)機(jī)外特性和萬(wàn)有特性數(shù)學(xué)模型，在保留模型處理、應(yīng)用方便，對(duì)數(shù)據(jù)樣本量及精度要求低的優(yōu)點(diǎn)基礎(chǔ)上，同時(shí)可以有效降低試驗(yàn)數(shù)據(jù)中誤差點(diǎn)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的影響，提高發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的精度。

1 發(fā)動(dòng)機(jī)外特性數(shù)學(xué)模型建立

發(fā)動(dòng)機(jī)使用外特性中扭矩T可以看成轉(zhuǎn)速n的函數(shù)。數(shù)學(xué)模型為：

式中：T表示扭矩m，n表示轉(zhuǎn)速r/min，A表示擬合系數(shù)，k是多項(xiàng)式的階數(shù)。

2 穩(wěn)健回歸理論方法的確定

估計(jì)的穩(wěn)健性是統(tǒng)計(jì)學(xué)穩(wěn)健估計(jì)中的一種方法，主要是將對(duì)異常值十分敏感的經(jīng)典最小二乘回歸中的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修改，減少大量隨機(jī)誤差和少量奇異值對(duì)待估參數(shù)的影響。

穩(wěn)健估計(jì)中M估計(jì)是應(yīng)用最為廣泛的一種穩(wěn)健估計(jì)方法，基本思想是采用迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)回歸系數(shù)，可以認(rèn)為是一種廣義極大似然估計(jì)。

表1列出了常用的8種權(quán)重函數(shù)。

表1 常用權(quán)重函數(shù)

對(duì)于線性回歸模型：

然而，該方法會(huì)導(dǎo)致那些遠(yuǎn)離數(shù)據(jù)群體的數(shù)據(jù)(很可能是奇異值)對(duì)殘差平方和的影響比其他數(shù)據(jù)大得多。由于最小二乘回歸為達(dá)到極小化殘差平方和的目的，必須遷就遠(yuǎn)端的數(shù)據(jù)，奇異值對(duì)于參數(shù)估計(jì)相當(dāng)敏感。

M估計(jì)穩(wěn)健回歸的基本思想是采用迭代加權(quán)最小二乘估計(jì)回歸系數(shù)，根據(jù)回歸殘差大小確定各點(diǎn)的權(quán)重，以達(dá)到穩(wěn)健的目的。其優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：

其中σ為誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)σ由下式計(jì)算：

其中medi()表示取中位數(shù)。

定義權(quán)重函數(shù)為（r）為（r）/r，并( )令表示n階對(duì)角矩陣。

3 發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)據(jù)擬合對(duì)比

分別用最小二乘法和穩(wěn)健回歸法對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行外特性擬合，完成了多項(xiàng)式階數(shù)從2到7的兩種方法的對(duì)比圖，得到外特性曲線如圖1、圖2所示，圖中“*”表示試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)外特性曲線（最小二乘法擬合）

圖2 發(fā)動(dòng)機(jī)外特性曲線（穩(wěn)健回歸法擬合）

由圖可以看出在階數(shù)4時(shí)擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度最好，并且相同階數(shù)擬合時(shí)，穩(wěn)健回歸擬合曲線吻合度要優(yōu)于最小二乘法擬合曲線。

4 結(jié)論

通過(guò)仿真結(jié)果對(duì)比表明，采用穩(wěn)健回歸理論建立的發(fā)動(dòng)機(jī)外特性數(shù)學(xué)模型，其精度優(yōu)于最小二乘法，能夠較為精確的反應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)特性，為建立汽車動(dòng)力性和燃油經(jīng)濟(jì)性仿真模型的建立打下良好基礎(chǔ)。

[1] 余志生.汽車?yán)碚揫M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2003.

[2] 莊志.發(fā)動(dòng)機(jī)使用外特性曲線的一種擬合方法[J].客車技術(shù).2002 (2):24-25.

[3] 胡義函,張小剛,陳華,等.一種基于魯棒估計(jì)的極限學(xué)習(xí)機(jī)方法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究,2012,29(8):2926-2930.

Research on engine mathematical model based on robust regression theory

Liu Changqing

（Shaanxi Heavy Duty Automobile Co., Ltd, Shaanxi Xi'an 710200）

This paper introduces the robust regression theory to establish the mathematical model of engine performance, and the comparative analysis of the engine model. It is built up by the least square method, robust regression, relative least square method, can improve the accuracy of the mathematical models of the engine, and effectively reduce the influence of error in test data of the engine mathematical model, The car model lays a good foundation.

engine; model; Robust regression

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1671-7988(2018)18-106-02

U467

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1671-7988(2018)18-106-02

CLC NO.: U467

劉常青，就職于陜西重型汽車有限公司汽車工程研究院軍品研究所。