王峰

【摘要】說數學枯燥其實是錯誤的.數學教學過程中，教師可以借一題多解讓學生品味到數學是有“美味”的.同時，學生也可以借一題多解加強對數學的認知、加深數學學習情感.在講解“基本不等式及應用”時，筆者將預習方式由寬泛式全面預習調整為聚焦式有針對性預習，以解法為主線，讓學生思考一道多元求最值問題的解法，讓學生品味到了數學思考帶來的樂趣、領悟到了數學能力提升帶來的學習價值、深刻體驗到了數學學習中獲得各種感受、嘗試、領悟的情感與價值觀.

【關鍵詞】一題多解；多元求最值問題；深化；數學學習；情感

無論是新授課還是復習課，一題多解始終是激發(fā)學生數學學習興趣的重要手段.數學學習離不開做題，高三復習課更是如此，但是如果學生只是能做題，而不能在做題的過程中領悟到知識運用、方法形成、思想延伸的真諦，也就是“死做題”.借助一題多解，可以深化知識、方法、思想的理解，也能從中感受到數學學習的趣味，還能領悟到數學內在的聯系與奧妙.

高三一輪復習過程中，筆者多次想對復習形式稍做調整，以改變學生對復習課固有模式的“生厭”情緒，幫助學生調整數學學習心態(tài)，適當激發(fā)學生高中最后階段的數學學習激情，同時也是對數學教學的模式做了一次自我探索.

在復習到“基本不等式及應用”這一節(jié)時，筆者調整了預習要求，由寬泛式全面預習轉變?yōu)榫劢故接嗅槍π灶A習，預習的重心放在了基礎訓練的第5題，以解題方法為預習主線，知識回顧、方法小結、數學思想匯總為輔線，讓一名學生在課堂上主講該題，其他學生補充，教師從旁協助.小試之后，課后與學生交流了這道題，感覺收獲良多.

一、方法再現

題目設x，y，z為正實數，滿足x-2y+3z=0，則y2xz的最小值是.

（一）主講：學生甲

（法1）由y=x+3z2得到y2xz=（x+3z）24xz=x4z+9z4x+32≥2x4z×9z4x+32=3.

（當且僅當x4z=9zx即x=y=3z時取“=”），故最小值為3.（下面概括性介紹方法）

在這個過程中，有兩點應該要注意：1.應能根據式子特點選擇消元的處理手段；2.要考慮基本不等式應用的條件“一正二定三相等”.

（法2）在法1的基礎上，得到1=x+3z2y，故而1=x+3z2y2，故y2xz×1=y2xz×x+3z2y2，下同法1，此方法主要是體現基本不等式中“1”的妙用.

（法3）在以上兩種方法的基礎上，由消去y該成消去x或z（效果一樣），即x=2y-3z，代入y2xz得y22yz-3z2=12zy-3zy2=1-3zy-132+13≥3（此時zy=13）.

在這個過程中要注意分子、分母同除以y2時要考慮y≠0.

師：其他同學還有沒有疑惑？

學生乙：zy=13能成立嗎？

學生甲：哦，前面要注意由x=2y-3z及x，y，z是正數得到zy∈0，23.這里一定要注意被消去的元對保留元的范圍的限制，其次就是轉換到二次函數與分式函數符合的函數求最值.

【小結1】前面三種方法都是建立在直接消元的基礎上完成的.

（法4）等式兩邊同除以y，得到2=xy+3zy，令a=xy，b=zy， 則a+3b=2，所以y2xz=1ab（后略）.

這種處理方法是受到前一節(jié)例題2的啟發(fā)聯想到的，看來學生的聽課效果還是不錯的.

（法5）由2y=x+3z得到數列x，y，3z成等差數列，設公差為d∈R，x=y-d>0，3z=y+d>0，則y2xz=3y2y2-d2（后略）.

（法六）取y=1，則x+3z=2，所以y2xz=1xz（后略）.

【小結2】以上三種方法主要是建立變相消元的基礎上完成的.

（二）補充1：學生乙

學生乙：從所求式子作為切入點，想到了以下方法.

（法七）令t=y2xz>0，則4y2=4txz，又x+3z=2y，所以整理得到關于x的一元二次方程在x2+（6z-4tz）x+9z2=0有正數解.

（法八）在法七的基礎上，將z作為常量，轉換為直線y=12x+32z與拋物線y2=tzx的公共點問題，取相切狀態(tài)即可.

【小結3】以上兩種方法是在函數與方程中求最值的.

（三）補充2：學生丙

學生丙：運用基本不等式求最值應該是最直接的方法.

（法九）y2xz=3y2x·3z≥3y2x+3z22=3.

（法十）由x+3z=2y≥2x·3z4y2≥12xzy2xz≥3.

【小結4】這兩種方法都是直接使用基本不等式求解最值，關鍵是和、積之間的轉換.

至此，這道題的解法已經基本完畢，雖然在課堂上呈現的并不是如此的有規(guī)律，課后與學生交流之后，很多學生都能將所呈現的方法有序歸納，使得筆者深刻感受到這堂課“收益匪淺”.

二、一題多解

同一數學問題用不同的數學方法來解答，我們稱之為“一題多解”.其特點就是對同一個問題從不同的角度、不同的結構形式、不同的相互關系通過不同的思路去解答同一個問題.一題多解能快速整合所學知識，重要的是能培養(yǎng)學生細致的觀察力、豐富的聯想力和創(chuàng)造性的思維能力.

一題多解是一個老生常談的問題，但是在這里它發(fā)揮了不小的促進數學學習的功效.

1.強化了數學學習三基.在這道題中基本不等式是解決問題的基礎也是主干知識，但是為了使用基本不等式，學生需要擁有觀察、化簡、配湊、計算等基本技能，這些技能都在一題多解之中得到了強化.同時求最值運用基本不等式的方法也在這一題多解中不斷使用、不斷強化.

2.生發(fā)了數學趣味.這堂課學生學得很輕松、很自在，因為他們真正地做了學習的主人，這主要是得益于一題多解使學生更積極主動地參與進解決問題之中.

3.開拓了數學思維.從消元到換元再回到消元，從基本不等式到函數與方程再回到基本不等式，無不滲透了數學思維的訓練，使學生的數學思維經過反復操練，達到爐火純青的地步.

三、多元問題

這是高中數學必須研究的問題，也是高考中的熱門問題，多與函數、基本不等式、解析幾何等知識相結合考查學生的數學綜合素養(yǎng).解決多元求最值問題主要按照：確立關系式→消元或換元→構造基本不等式→確定函數與方程關系的步驟解決，如果無法確立多元的關系式，則在消元或換元的基礎上需要找尋相應的解決之策.

當然多元求最值問題需要注意：1.消元時要注意被消去的元的范圍對保留元的范圍的制約；2.換元時要注意新元的范圍.

四、學生收獲

課下與學生交流了這樣一次課堂給他們的感受如何，學生皆大呼好久沒有這樣動過腦筋了，真的很過癮.于是我讓學生對這堂課做了一個總結，大致整理下來有以下收獲.

1.四個“學會”：學會思考、學會研究、學會反思、學會做數學題.在高速推進教學進度的過程中，教師即使想在一題多解上花點時間也不敢花的時間過多，這就導致了學生的思考的間隙被嚴重壓縮，無法有自己的思考，更沒有展現學生“原生態(tài)”思考的機會.研究數學、反思數學更是無從談起.

2.三個“理解”：理解知識、理解方法、理解數學內在.每一名學生在小結中都提到了這道題徹底“吃透”了，還有很多學生能把消元、換元的意識，使用基本不等式要注意“三相等”的檢驗寫在了小結里，確實證明了他們的理解.其實本題涉及的知識與方法并不多，更多的是一種形式上的轉換（或變形），不論是直接或間接運用不等式還是函數與方程解題，都有共同的內在聯系.

3.兩個“激發(fā)”：激發(fā)了數學學習的積極性、激發(fā)了數學學習的主動性.智慧的教學是激發(fā)學生主動參與的有效教學.在參與中鍛煉學生學習主動性，培養(yǎng)學生學習的積極性.新課程讓學生做學習的主人.把學習看成是師生交往，積極互動，共同發(fā)展的過程.教學實踐也一再證明，沒有學生主動參與的教學不是有效教學，更談不上學生的自主學習.在教學探索中，我們認識到學生主動參與至少要達到充分激發(fā)和調動學生學習的主動性、積極性和自覺性，引導學生思維與情感的主動參與的目的.

4.一個“確定”：確定了數學學習的目標.數學教學必須有教學目標，數學素養(yǎng)就是教學目標.數學學習也需要確定方向，這樣才能堅定不移地學習數學，不論在這個過程中遇到多大的挫折也都能勇敢面對，直至實現自己的目標.當看到絕大多數學生主動給自己制訂了一個目標分數及數學學習計劃（之前沒有布置）之后，我相信學生們已經有了自己明確的數學學習目標.

通過這道一題多解的題讓學生品味到了數學思考帶來的樂趣、領悟到了數學能力提升帶來的學習價值、體驗到了數學學習中獲得各種感受、嘗試、領悟的一種學習方法，它與新課程中教學三維目標的情感態(tài)度價值觀有了直接聯系.