鄭柳蓉

(廣東省河源市廣州大學附屬東江中學 517000)

導數(shù)概念是近代數(shù)學的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學的紐帶.導數(shù)為解決中學數(shù)學問題提供了全新的視野,也是研究曲線的斜率問題、函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的極值最值等問題提供了強有力的工具.為方便起見，約定本文涉及的都是可導函數(shù).下面將對導數(shù)在切線問題、函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值最值問題的應用進行探討.

我們知道，一階導的代數(shù)意義就是函數(shù)的變化率.一階導有明顯的幾何意義，就是曲線的斜率.而切線是導數(shù)的“幾何形象”,也是函數(shù)單調(diào)性的“幾何”解釋，導數(shù)的概念運用了“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法，建立了代數(shù)與幾何的橋梁，在高考數(shù)學中經(jīng)常涉及，簡而言之，導數(shù)起源于切線，曲切聯(lián)系需熟練.

例1 (2016全國卷Ⅲ，16)已知fx為偶函數(shù)，當x≤0 時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=fx在點(1,2)處的切線方程是____.

事實上，只要會求導，就可以求出函數(shù)在切點處的切線問題，也可f(x)以解決比較簡單的函數(shù)過某點的切線問題.

若函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在該區(qū)間內(nèi)恒成立； 在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在該區(qū)間內(nèi)恒成立.也就是說若導函數(shù)圖象與x軸的交點為x0，且圖象在x0兩側(cè)附近連續(xù)分布于x軸上下方，則x0為原函數(shù)極值點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導函數(shù)f′(x)的正負，得出原函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．歸根結(jié)底，我們可以將單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式問題.

例2 (2017全國卷Ⅰ，21)已知函數(shù)fx=ae2x+a-2ex-x．

(1)討論f(x)單調(diào)性；(2)略.

分析(1)討論f(x)單調(diào)性，首先進行求導，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解，再對a按a≤0，a>0進行討論，寫出單調(diào)區(qū)間.

解(1)f(x)的定義域為(-,+)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(-,+)單調(diào)遞減.

②若a>0，則由f′(x)=0得x=-lna.當x∈(-,-lna)時，f′(x)<0；當x∈(-lna,+)時，f′(x)>0，f(x)在(-,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+)單調(diào)遞增.

接下來我們討論極值問題.設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且若對x0附近的所有的點都有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)的一個極大(或小)值，x0為極大(或極小)值點.即極值點一定在曲線的波峰或者波谷處.

由極值的定義，可以得到求極值的一般步驟：第一步：求導數(shù)f′(x)；第二步：解方程f′(x)=0；第三步：考察在每個根x0附近，從左到右，導數(shù)f′(x)的符號如何變化，若f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；若f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值；即極值點的兩導數(shù)值一定正負出現(xiàn).若f′(x)的符號不變，則f(x0)不是極值，x0不是極值點.

例3 (2017全國卷Ⅱ，20)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2

分析結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)φx=2x-2-lnx，結(jié)合導函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)即可證得.

如果會求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的極值，那么求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值就水到渠成了．只要比較f(x)的極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a)、f(b)的大小就可以了，最大的就是最大值，最小的為最小值.特別地，若函數(shù)f(x)沒有極值點，則函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間端點函數(shù)值f(a)、f(b)最大的就是最大值，最小的為最小值.若函數(shù)f(x)只有一個極值點，則這個極值點一定是最值點.

例4 (2017北京卷，20)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.

解(3)因為f(x)=excosx-x,所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,f′(0)=0.設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1，則h′(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.

在解決導數(shù)的應用問題的時，一定要注意尋找關(guān)鍵的等價變形，充分應用數(shù)形結(jié)合思想．導數(shù)作為初等數(shù)學與高等數(shù)學的重要銜接點之一，不僅有著廣泛的應用，也為學生進入大學學習高等數(shù)學奠定基礎(chǔ)，這必定使導數(shù)的應用成為熱點也是亮點．