高紅成

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387；內(nèi)蒙師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院，呼和浩特 010022)

《圓錐曲線說(shuō)》3卷，艾約瑟(Joseph Edkins， 1823～1905)口譯，李善蘭(1811～1882)筆述，現(xiàn)今見到的最早的版本是同治五年(1866)金陵書局本《重學(xué)》的附卷。此版《重學(xué)》書名題“重學(xué)廿卷附曲線說(shuō)三卷”，“曲線說(shuō)”即《圓錐曲線說(shuō)》。[1]該書以綜合幾何的觀點(diǎn)依次介紹橢圓、雙曲線、拋物線圓錐三曲線的判定和性質(zhì)，屬于純數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)界一般認(rèn)為它是為了解釋《重學(xué)》中涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容而翻譯的。該書除作為附卷隨《重學(xué)》出版外，還發(fā)行過(guò)單行本，后還被編入《中西算學(xué)大成》、《古今算學(xué)叢書》、《富強(qiáng)叢書續(xù)集》等叢書[2]，是晚清國(guó)人圓錐曲線知識(shí)的重要來(lái)源，影響極廣。李善蘭就曾稱其《橢圓拾遺》(3卷)是因?yàn)椤芭f譯《圓錐曲線說(shuō)》遺議尚多，而橢圓為天算家所恒用，故亟為補(bǔ)之”[3]。傅蘭雅編寫的《西學(xué)須知》流播廣泛，其中的《曲線須知》就是《圓錐曲線說(shuō)》的節(jié)本。[4]

漢譯西方著作底本的考證是研究知識(shí)傳播的基礎(chǔ)工作之一。近十多年來(lái)，學(xué)界關(guān)于《重學(xué)》的版本、內(nèi)容、影響以及英文底本的研究有很大的進(jìn)展[5- 13]，但《圓錐曲線說(shuō)》所據(jù)英文底本一直不詳。*日本學(xué)者橋本敬造先生認(rèn)為底本是惠威爾(W. Whewell)的Conic Sections(《圓錐曲線》)[14]。按，惠威爾的確編寫過(guò)Conic Sections這樣一本書，但經(jīng)過(guò)比對(duì)，知此書肯定不是漢譯《圓錐曲線說(shuō)》的底本。估計(jì)是因?yàn)椤吨貙W(xué)》英文底本的作者是惠威爾，恰好他又寫過(guò)Conic Sections，橋本先生才有此說(shuō)。該書只*明“英國(guó)艾約瑟口譯，海寧李善蘭筆述”，并沒(méi)有原作者的信息，其底本考證有如大海撈針，難度很大。不過(guò)，作為數(shù)學(xué)著作，它有著特有的邏輯性和一些獨(dú)有的內(nèi)容(如證明方法、圖示、數(shù)據(jù))，這些能為底本的比對(duì)與確定提供關(guān)鍵的證據(jù)。借助互聯(lián)網(wǎng)和學(xué)界同仁的幫助，我們找到了與《圓錐曲線說(shuō)》幾乎一一對(duì)應(yīng)的英文底本：英國(guó)數(shù)學(xué)家查爾斯·赫頓(Charles Hutton，1737 ～1823)的《數(shù)學(xué)教程》(ACourseofMathematics)卷2中的“圓錐曲線”(ConicSections)。本文也可以作為金陵版《重學(xué)》研究的一個(gè)補(bǔ)充。

1 《圓錐曲線說(shuō)》內(nèi)容簡(jiǎn)介

《圓錐曲線說(shuō)》主要是從綜合幾何的觀點(diǎn)介紹圓錐三曲線的性質(zhì)，結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)潔。全書分為3卷，依次為“橢圓諸款”、“雙曲線諸款”、“拋物線諸款”，每一款即為一個(gè)定理，先給出定理內(nèi)容，然后給出證明，有的“款”后有推論，稱之為“系”。卷1開始部分(兩頁(yè)半)相當(dāng)于全書的“總論”，指出由圓錐面與不同角度的平面相交得到圓錐曲線，即圓錐截線，并結(jié)合圖示給出了三曲線的徑軸、直徑、屬?gòu)?共軛直徑)、通徑、兩心差(中心到焦點(diǎn)的距離)、漸近線等概念。

卷1討論橢圓，共11個(gè)定理。定理1“各正弦自乘方之比同于各二截徑相乘積之比”，是全卷的基礎(chǔ)定理?；诖耍蓭缀瓮评矸椒ǖ玫搅藱E圓基本定理、面積公式、切線、次切線的若干性質(zhì)(如橢圓的光學(xué)性質(zhì))以及橢圓作法。

卷2專論雙曲線，由13個(gè)定理組成。定理1是基礎(chǔ)定理，文字內(nèi)容與橢圓定理1相同。由此，推得雙曲線的各弦特別是實(shí)軸、虛軸、切線、次切線、漸近線的性質(zhì)以及雙曲線的基本定理與作法。最后兩個(gè)定理相當(dāng)于給出雙曲線對(duì)數(shù)積的幾何推證，并指出納皮爾(Napier)對(duì)數(shù)和巴迪斯(Briggs)對(duì)數(shù)兩者對(duì)數(shù)根的幾何意義。

卷3專論拋物線，由16個(gè)定理組成。同樣，定理1“各截徑之比同于各正弦方之比”是全卷的基礎(chǔ)定理，之后得到拋物線通徑、準(zhǔn)線、切線的性質(zhì)和拋物線的作法。最后一個(gè)定理推導(dǎo)出了拋物線面積公式。

2 查爾斯·赫頓《數(shù)學(xué)教程》卷2中Conic Sections與《圓錐曲線說(shuō)》的比對(duì)

2.1 赫頓及其《數(shù)學(xué)教程》

查爾斯·赫頓，英國(guó)數(shù)學(xué)家，1737年8月14日生于英國(guó)泰恩河畔紐卡斯?fàn)柕溺晡鹘?Percy-street， Newcastle-upon-Tyne)，7歲時(shí)肘關(guān)節(jié)受傷，因未及時(shí)醫(yī)治而不能活動(dòng)自如。他很有數(shù)學(xué)天分，自學(xué)成才，掌握大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，后來(lái)在紐卡斯?fàn)栭_辦了一所學(xué)校并且擔(dān)任校長(zhǎng)和數(shù)學(xué)教師。1770年，他主持了對(duì)紐卡斯?fàn)柕拇蟮販y(cè)量，并在1772年為當(dāng)?shù)刂谱髁艘环窨贪娴牧Ⅲw地圖。同年，他出版了《橋梁原理》(ThePrinciplesofBridge)，這本著作后來(lái)還為倫敦橋(London Bridge)的重建提供了指導(dǎo)。1773年，他被伍爾維奇皇家軍事學(xué)院(The Royal Military Academy at Woolwich)聘為數(shù)學(xué)教授，直至1807年退休。1774年，他成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，1779年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的外事秘書(Foreign Secretary)，1783年辭去此職。1778年獲得英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的科普利獎(jiǎng)?wù)耓*]赫頓獲得科普利獎(jiǎng)?wù)碌恼撐?778年發(fā)表在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)《哲學(xué)匯刊》(The Philosophical Transactions)上，題目為 The Force of Fired Gun-Powder, and the Initial Velocities of Cannon Balls, Determined by Experiments: From Which Is Also Deduced the Relation of the Initial Velocity to the Weight of the Shot and the Quantity of Powder。，1779年獲得愛(ài)丁堡大學(xué)的法學(xué)博士學(xué)位，1786年成為愛(ài)丁堡皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1823年1月27日因病去世。[15]

赫頓在《哲學(xué)匯刊》上發(fā)表了多篇文章，并且出版了多部著作，如《數(shù)學(xué)與哲學(xué)辭典》(MathematicalandPhilosophicalDictionary，1795)、《圓錐曲線初步》(TheElementsofConicSections， 1787)、《數(shù)學(xué)教程》(ACourseofMathematics，1sted.， 1798)等等。

《數(shù)學(xué)教程》第1版于1798年出版，共2卷，書名有一個(gè)副標(biāo)題“特別為伍爾維奇皇家軍事學(xué)院的軍官學(xué)員編寫”(Composed，andmoreespeciallydesigned，fortheuseofthegentlemancadetsintheRoyalMilitaryAcademyatWoolwich)。第1卷包括算術(shù)(Arithmetic)、對(duì)數(shù)(Logarithms)、代數(shù)(Algebra)、幾何(Geometry)等內(nèi)容。第2卷包括平面三角學(xué)(Plane Trigonometry)、測(cè)量( Mensuration)、大地測(cè)量(Land Surveying)、圓錐曲線(Conic Sections)、力學(xué)(Mechanics，包括靜力學(xué)、流體靜力學(xué)、聲學(xué)等)、流數(shù)(Fluxions)等內(nèi)容。[16]這些內(nèi)容主要是初等數(shù)學(xué)、初等力學(xué)、微分(流數(shù))及其應(yīng)用，大致相當(dāng)于現(xiàn)在理工科大學(xué)低年級(jí)學(xué)生應(yīng)掌握的數(shù)學(xué)和力學(xué)知識(shí)。

《數(shù)學(xué)教程》非常受歡迎，后多次改版或改編，在赫頓生前就出版至第7版。第1版至第5版(出版年依次為1798年、1799年、1801年、1803～1804年、1807年)均為2卷本，內(nèi)容大致相同。第6版(1811年)和第7版(1819～1820年)在第5版的基礎(chǔ)上增加了1卷，變成3卷本。第3卷共15章，是前兩卷相應(yīng)內(nèi)容的深化和擴(kuò)展，包含圓錐曲線、等周平面圖形和等積立體圖形的最值問(wèn)題、三角測(cè)量和大地測(cè)量、球面三角形、流數(shù)的應(yīng)用以及實(shí)用槍炮理論等內(nèi)容，有很強(qiáng)的實(shí)用性和針對(duì)性。其中第1章為《圓錐曲線續(xù)編》(ContinuationofConicSections)。第6、7兩版區(qū)別不大。

1824年，赫頓去世之后的第二年，他的同事奧林瑟斯·格雷戈里(Olinthus Gregory， 1774～1841)將《數(shù)學(xué)教程》改編，出版了第8版，之后陸續(xù)有第9版(1828年)，第10版(1831年)。這3版體例與第6、7版相同，均為3卷本。1836～1837年，第11版出版，全書又變回兩卷本，共940余頁(yè)，主要將第10版中卷3的內(nèi)容按照知識(shí)分類相應(yīng)編入前兩卷中。

格雷戈里去世后，他的同事托馬斯·史蒂芬斯·戴維斯(Thomas Stephens Davies， 1795～1851)接力在1843年將此書改編出版了第12版。這一版繼承了兩卷本的體例，但是“一個(gè)新的并經(jīng)過(guò)仔細(xì)校對(duì)的版本”(a new and carefully corrected edition)，比之前的版本有非常大的變動(dòng)。[*]赫頓《數(shù)學(xué)教程》這個(gè)系列在紐約有一個(gè)改編系列，筆者看到了前5版(1812年、1816～1818年、1822年、1825年、1831年)，均*明從何改編，如1822年第3版標(biāo)*“依據(jù)倫敦第5、6、7版改編”。 此外，在倫敦也有一個(gè)改編系列，不標(biāo)版次，筆者看到了前4版(1833年、1841年、1843年、1860年)。經(jīng)過(guò)比對(duì)可知，它們中的Conic Sections均不會(huì)是《圓錐曲線說(shuō)》對(duì)應(yīng)的英文底本。

2.2 第8、9、10版卷2中Conic Sections及其與中文版《圓錐曲線說(shuō)》的比對(duì)

上文介紹的《數(shù)學(xué)教程》的12個(gè)版本中，中間第6～10版為3卷本，其余為2卷本，每一版均有ConicSections(“圓錐曲線”)內(nèi)容。第1～6版卷2中ConicSections內(nèi)容相同。這部分以綜合幾何語(yǔ)言介紹圓錐曲線的定義和性質(zhì)，開篇用平面截圓錐面定義圓錐曲線，之后分為三節(jié)，依次介紹了橢圓(Ellipse)11個(gè)定理(Theorem)，雙曲線(Hyperbola)13個(gè)定理和拋物線(Parabola)19個(gè)定理。這些內(nèi)容均節(jié)選自赫頓早年編寫的《圓錐曲線初步》(1787)。[17- 18]第7版卷2中ConicSections內(nèi)容有些變化，相較于第6版，Parabola一節(jié)刪去定理16，定理17～19順次變成定理16～18。

第8～10版這三版卷2中ConicSections內(nèi)容一樣，主體內(nèi)容承接第7版，但改編者格雷戈里在Hyperbola(雙曲線)一節(jié)增加了兩個(gè)細(xì)節(jié)，是中英文版本重要的比對(duì)點(diǎn)，后文將介紹。4個(gè)3卷本(第6～10版)第3卷的第一章為“圓錐曲線續(xù)編”，其內(nèi)容是《圓錐曲線初步》編入卷2之后剩余的部分。

第11版(兩卷本)卷2中ConicSections是由第10版卷2、卷3的圓錐曲線合并得到，按橢圓、雙曲線、拋物線分類，各有18個(gè)定理，有的定理還有替換，每節(jié)增加了練習(xí)題。

第12版(兩卷本)中圓錐曲線部分變化很大，三曲線介紹順序調(diào)整為拋物線、橢圓和雙曲線，具體內(nèi)容與前11版相差很大。

將英文ConicSections與漢譯《圓錐曲線說(shuō)》的內(nèi)容進(jìn)行比對(duì)，我們發(fā)現(xiàn)第8～10版卷2中ConicSections內(nèi)容相同且與中文版內(nèi)容幾乎一一對(duì)應(yīng)：定理先后次序完全相同、個(gè)數(shù)幾乎一致。只不過(guò)英文版ConicSections中Parabola(拋物線)一節(jié)最后兩個(gè)關(guān)于旋轉(zhuǎn)拋物體體積證明的定理沒(méi)有翻譯。全文翻譯時(shí)李善蘭增加了4條解釋性的案語(yǔ)，句首均冠以“善蘭案”為標(biāo)志，依次出現(xiàn)在橢圓第7款、雙曲線第3款與第11款、拋物線第4款之后。作為示例，同時(shí)為方便后文的討論，這里選取雙曲線的第2款以及第13款的中英文對(duì)照如下(圖1與圖3，圖2與圖4)。

圖1 中文版“雙曲線”第2款

前文提到，第8～10版中ConicSections的Hyperbola一節(jié)增加了其他版次沒(méi)有的兩個(gè)細(xì)節(jié)。第一，Theorem II的證明有一個(gè)otherwise(另證)，如圖3。這個(gè)證明與中文版“雙曲線”第2款證明的“別有解”完全對(duì)應(yīng)，如圖1。第二，Theorem XIII后有個(gè)Scholium(*釋)，如圖4。這與中文版“雙曲線”第13款后的4個(gè)推論(圖2)幾乎完全對(duì)應(yīng)，只不過(guò)中文版將它們分成4節(jié)，稱之為4個(gè)“系”。這兩個(gè)細(xì)節(jié)是支持本文結(jié)論的重要證據(jù)。

一一比對(duì)后可知，漢譯《圓錐曲線說(shuō)》與ConicSections在內(nèi)容上幾乎完全一致、定理先后排序一樣、個(gè)數(shù)幾乎相等(只相差2個(gè)沒(méi)有翻譯的定理)、特有的細(xì)節(jié)相同，這些表明《圓錐曲線說(shuō)》英文底本只可能來(lái)自第8～10版中某一版卷2中的ConicSections。(圖5)

圖2 中文版“雙曲線”第13款

圖3 Conic Sections /Hyperbola /Theorem II

圖4 Conic Sections/Hyperbola/Theorem XIII

圖5 赫頓《數(shù)學(xué)課程》第10版卷2版權(quán)頁(yè)

3 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，我們認(rèn)為《圓錐曲線說(shuō)》的英文底本是英國(guó)數(shù)學(xué)家查爾斯·赫頓《數(shù)學(xué)教程》在倫敦發(fā)行的第8版(1824年)、第9版(1828年)和第10版(1831年)中某一版卷2中的ConicSections。但是這三版中的ConicSections內(nèi)容一樣，艾約瑟、李善蘭參考的確切版次年代還需進(jìn)一步的研究。韓琦先生曾指出，晚清漢譯西方著作有些底本的確定并非易事[9]，故在此公開《圓錐曲線說(shuō)》底本探尋、研究的結(jié)果，以求學(xué)界共同推進(jìn)。

致謝中山大學(xué)歷史學(xué)院黃超博士、中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所鄭誠(chéng)博士、上海交通大學(xué)人文學(xué)院董煜宇博士、內(nèi)蒙古師范大學(xué)科技史研究院董杰博士、伊利諾伊州立大學(xué)訪問(wèn)學(xué)者鄭賢旭研究員、佛羅里達(dá)大學(xué)訪問(wèn)學(xué)者訾雪旻教授、美國(guó)西新英格蘭大學(xué)工業(yè)工程與工程管理系李釗軍教授、明尼蘇達(dá)大學(xué)德盧斯分校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系李軒副教授等友人幫助查詢復(fù)制相關(guān)文獻(xiàn)資料，在此謹(jǐn)致謝忱!