李健

摘要：針對有效市場假說無法解釋的一些實(shí)際問題，有人提出了更加合理的分形市場假說。文章收集了百余支于美國上市的A股十年的收盤價(jià)，著重于對個(gè)股的對數(shù)收益率的分析。試圖針對單支股票的情況來驗(yàn)證分形市場假說的合理性。通過分析發(fā)現(xiàn)對數(shù)收益率集中分布于0.4至0.55之間，近似呈均勻分布的特征，而且多數(shù)股票Hurst指數(shù)小于0.5。說明了這些上市A股多數(shù)具有一定的反持久性的分形特征。進(jìn)而驗(yàn)證了分形市場假說在一定程度上是合理的。

關(guān)鍵詞：分形市場假說；Hurst指數(shù)；R/S分析；個(gè)股分析

1 引言

自從有效市場假說（簡稱EMH）被正式提出后，和其相關(guān)的爭論便從未停止。大量的實(shí)證結(jié)果表明，金融資產(chǎn)的收益曲線總分布形態(tài)與正態(tài)分布的契合度并不是足夠高，其位于兩端的數(shù)據(jù)明顯與正態(tài)分布應(yīng)該出現(xiàn)的情況不符。

伴隨著分形理論、動力系統(tǒng)理論等一系列非線性理論的建立與完善，人們逐漸意識到這些理論也是可以應(yīng)用到金融市場理論中的。Peters是分形市場假說這一概念最早的提出者[1]，這一理論的核心思想分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動與資本市場的某些數(shù)據(jù)的波動情況類似。針對中國股市分形特征的研究也已經(jīng)取得了一定的成果[2-3]。隨后的研究則是以具體行業(yè)版為研究對象[4]，但是針對具體行業(yè)的研究結(jié)果并不是很理想，不同板塊之間差異較大。在之后也有一些成果是針對個(gè)股的但是這些針對個(gè)股的研究由于個(gè)體之間的差異性，顯然許多結(jié)果是不夠理想的。

本文基于分形市場假說，針對一部分個(gè)股的相關(guān)指數(shù)來考察其基本的單分形特征，通過經(jīng)典的R/S方法來判斷個(gè)股對于歷史數(shù)據(jù)是否具有記憶性，并對分析結(jié)果進(jìn)行解釋。進(jìn)而試圖比較不同個(gè)股之間的差異性和規(guī)律性，并嘗試著找出產(chǎn)生這種結(jié)果的原因。

2 相關(guān)理論介紹

2.1有效市場假說

有效市場假說初步形成于20世紀(jì)初，認(rèn)為在一個(gè)正常的有效率的市場上，每個(gè)投資者是無法根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來推測未來股票走勢的。也就是說聽專家推薦股票與聽黑猩猩的效果相同。

其假設(shè)在市場投資中的每一個(gè)人都是絕對理性的經(jīng)濟(jì)投資者。投資者供求關(guān)系的穩(wěn)定是股票價(jià)格變動的直接原因，簡單的說就是想買入的投資者人數(shù)恰好等于想賣出的投資者人數(shù)。如果不等就說明其中有利可圖，一部分投資者會通過操作使供求關(guān)系平衡。并且認(rèn)為信息波動與股票收盤價(jià)或是其收益率的波動是線性關(guān)系。

2.2 分形市場假說

分形市場假說對于有效市場假說最大的改進(jìn)就是在于信息與價(jià)格之間的關(guān)系上，分形市場假說將二者的關(guān)系建立在非線性系統(tǒng)上。利用相關(guān)理論有效地解釋了一些有效市場假說所并不適用的金融市場中產(chǎn)生的“異象”。并且通過一系列總體上的分析和具體數(shù)據(jù)方面的分析，在某種程度上可以說明有效市場假說只是分形市場假說的與更強(qiáng)的假設(shè)條件下的一種特例，這一論點(diǎn)的證明給分形市場假說研究者繼續(xù)下去的信心。

分形市場假說默認(rèn)金融市場是由大量的處于不同投資起點(diǎn)，具有不同投資水平的投資者組成的。各類信息對于處于不同階段的投資者的決策的影響是不同的，信息與投資者的決策之間的關(guān)系是復(fù)雜的，不是簡單的線性關(guān)系。這是也分形市場假說與有效市場假說在假設(shè)條件上最核心的區(qū)別。

此外，從信息集角度來看，其認(rèn)為在一定的假設(shè)條件下，股票價(jià)格的波動可能只是新信息進(jìn)入市場后，對相應(yīng)的決策時(shí)間或周期內(nèi)的影響而產(chǎn)生的所反映在具體數(shù)據(jù)上的參數(shù)。當(dāng)某一事件或新信息的出現(xiàn)導(dǎo)致得原有基礎(chǔ)分析的準(zhǔn)確性無法保證時(shí)，如果長期投資者和短期投資者的實(shí)際決策期限都集中在在同一種投資標(biāo)準(zhǔn)，市場供求關(guān)系的穩(wěn)定性就無法得到保證，因?yàn)樵谶@種極端的條件下，僅僅依靠長期投資者是無法保證市場的流動性的，也因此無法保證市場供求關(guān)系保持在一個(gè)平衡的狀態(tài)。

2.3 R/S分析法

R/S分析法在統(tǒng)計(jì)分析中通常被用來分析一段時(shí)間序列是否具有持久性或記憶性等分形特征[5]。R/S分析法針對的是某一時(shí)間序列{ }，對時(shí)間序列所在的區(qū)間n等分，不妨設(shè)所分得的每個(gè)區(qū)間的長度為c，在每一個(gè)小區(qū)間上約定

其中，n個(gè)小區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)測度的平均值記為 ， 為n個(gè)小區(qū)間的累積離差。同時(shí)令

若以S表示所得小區(qū)間所對應(yīng)的時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差，那么我們按如下的定義方式就可以得到重標(biāo)極差，記為R/S，這一變量顯然是隨著時(shí)間的推進(jìn)而逐步增大的。Hurst進(jìn)一步推導(dǎo)出

對上式兩邊取對數(shù)，得

這里的H值就是我們驗(yàn)證股票分形特征的重要參數(shù)，也就是常說的Hurst指數(shù)，通過一系列學(xué)者的研究，發(fā)現(xiàn)了這一指數(shù)對反應(yīng)時(shí)間序列是否具有一定的記憶性或跟隨性是很重要的。盡管有許多方法來求解H，但是通過最小二乘法的回歸分析無疑是其中最簡單的一種。

2.4 Hurst指數(shù)

Hurst指數(shù)是通過R/S法所得出的反應(yīng)時(shí)間序列是否具有記憶性的分形特征的一個(gè)很總要參數(shù)。具體的結(jié)論如下。

（1）當(dāng)H=0.5時(shí)，時(shí)間序列就是標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)分布的，收益率呈正態(tài)分布，也就是有效市場假說所假設(shè)的條件；（2）當(dāng)0.5

綜上，當(dāng)所求Hurst指數(shù)偏離0.5時(shí)，便從某種程度上說明了所研究的時(shí)間序列具有一定的記憶性，并且偏離程度越大，相應(yīng)的分形特征也越明顯。

3 針對個(gè)股的實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)收集

本文自choice金融終端獲取了160支股票自2008年1月3日起至2017年12月30日為止的日收盤價(jià)，每支股票包含2516個(gè)數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算獲得其對數(shù)收益率，再通過編寫的求Hurst指數(shù)的程序，在MATLAB和Excel等軟件的幫助下獲得了這些股票的Hurst指數(shù)，并對其進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。

3.2 實(shí)證過程

Hurst指數(shù)的計(jì)算過程如下：

（1） 為克服數(shù)據(jù)本身的異方差，首先計(jì)算其對數(shù)收益率，計(jì)算公式為 ，記 為t時(shí)刻的對數(shù)收益率；（2）將對數(shù)收益率的取值區(qū)間分為A個(gè)區(qū)間長度為n的連續(xù)子區(qū)間，并計(jì)算在每個(gè)區(qū)間的對數(shù)收益率的均值；（3）計(jì)算每個(gè)子區(qū)間內(nèi)的對數(shù)收益率均值的累積離差；（4）計(jì)算每個(gè)子區(qū)間的極差和標(biāo)準(zhǔn)差；（5）計(jì)算所得到的A個(gè)連續(xù)子區(qū)間序列的重標(biāo)極差序列的均值；（6）增加子區(qū)間長度，并重復(fù)上述步驟，直到數(shù)據(jù)用盡；（7）采用最小二乘估計(jì)法進(jìn)行回歸分析，所得回歸曲線的斜率即為所需求的Hurst指數(shù)

如此便求出了一支股票的Hurst指數(shù)，然后利用Excel宏計(jì)算可求出所有股票的Hurst指數(shù)，從而得到需要分析的最終數(shù)據(jù)。

3.3實(shí)證結(jié)果

本文用上述方法計(jì)算出了160支股票的Hurst指數(shù)分布情況。其中Hurst指數(shù)小于0.5有102支大約占所調(diào)查股票的64%，并且數(shù)據(jù)集中分布與0.4—0.55之間，平均值約為0.485.為使結(jié)果更加直觀，還給出了這些Hurst指數(shù)值通過升序排序后的散點(diǎn)分布圖。

四、分析及結(jié)論

上述結(jié)果表明多數(shù)股票的Hurst指數(shù)小于0.5，也就是說在股票市場中的各個(gè)變量之間的關(guān)系不是獨(dú)立的，也不是單純的線性關(guān)系。且數(shù)據(jù)之間也不是互不影響的，前面的數(shù)據(jù)會對后面的數(shù)據(jù)產(chǎn)生一定的影響。盡管這種分形特征對大多數(shù)個(gè)股而言并不是顯著的。但也可以從一定程度上說明了就股票而言，分形市場假說與實(shí)際情況的契合度比有效市場假說更高，分形市場假說也更適合于針對股票的研究。

信息與股票波動情況的關(guān)系是復(fù)雜的，但二者又是密切相關(guān)的。新的信息對股票的波動情況的影響除了理論的假設(shè)外，與實(shí)際情況相結(jié)合的實(shí)證研究也是必要的。但是由于信息這一概念的多樣性與復(fù)雜性，相關(guān)的研究證明是不容易的。公司自身產(chǎn)生的信息實(shí)際上只是影響股票價(jià)格波動的大量信息中的一少部分，還有其它同類公司對其的影響、相關(guān)行業(yè)政策的影響、甚至是一些自然因素等都可能使股價(jià)波動。

大多數(shù)股票的日對數(shù)收益率具有一定的分性特征，有一定的記憶性，而且明顯與有效市場假說中假設(shè)的正態(tài)分布不符，是符合分形市場假說的。然而針對到個(gè)體時(shí)，情況的復(fù)雜性可能會導(dǎo)致一些宏觀的理論不適用。在完善相關(guān)理論時(shí)，必須先從地區(qū)總體的數(shù)據(jù)出發(fā)，相關(guān)體系成熟后，推廣到某種板塊，或是某一行業(yè)，最后攻克個(gè)股。當(dāng)然在此過程中，上級理論在下級項(xiàng)目中的驗(yàn)證情況對于完善相關(guān)理論是很重要的。

參考文獻(xiàn)

[1]PETERS E.Chaos and Order in the Capital Market[M].New York：John Wiley&Sons;，1991.

[2]朱品品. 分形與混沌理論在中國股票市場中的應(yīng)用[D].蘭州大學(xué)，2008.

[3]張羽. 中國股市分形特征及其應(yīng)用研究[D].安徽大學(xué)，2014.

[4]岳金枝，楊汝梅，趙文秀，張艷翠.基于Hurst指數(shù)的上市銀行股票市場分形特征的實(shí)證研究[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，42（04）：5-10.

[5]MANDELBROT B.The fractal geometry of nature[M].New York.W.H.Freeman.1982.

[6]李威. 中國股市長期記憶性及趨勢分析[D].廣州：暨南大學(xué)，2016.