楊衛(wèi)東

(江蘇省海門(mén)市悅來(lái)初級(jí)中學(xué) 226100)

本文就2018年南通市數(shù)學(xué)中考第28題(壓軸題)的由來(lái)及思維寬度、長(zhǎng)度、高度、深度的探究過(guò)程奉獻(xiàn)與大家，以求資源共享、期待思維碰撞.

【課源再現(xiàn)】人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)P85問(wèn)題1：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

【策略分析】1．“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”是我們分析、解決最短路徑問(wèn)題的理論依據(jù)和轉(zhuǎn)化手段.眾所周知：當(dāng)A′地和B地位于直線l的兩側(cè)時(shí)(如圖2)，只要連接A′B，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知A′B與l的交點(diǎn)P就是直線l上能使PA′+PB最小的位置.

2．如何把圖1轉(zhuǎn)化為圖2的情況呢？顯然，只要在圖1中作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可以得到PA=PA′，此時(shí)PA+PB=PA′+PB≥A′B，即點(diǎn)P為線段A′B與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB最小(如圖3).

【經(jīng)驗(yàn)積累1】在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.

【潛心識(shí)圖】如圖4，因?yàn)镻A=PA′，所以∠APM=∠A′PM.因?yàn)椤螦′PM=∠BPN，故∠APM=∠BPN.過(guò)點(diǎn)P再作直線MN的垂線，利用等角的余角相等，即可輕松得出物理學(xué)科中“反射角等于入射角”的熟悉結(jié)論，讓人倍感親切又添無(wú)限遐想——能否把這個(gè)圖形放在平面直角坐標(biāo)系中作進(jìn)一步探究呢？

【探究方向1】如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上位于M，N間的任意一點(diǎn)，若銳角∠APM=∠BPN，則稱(chēng)點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN的“反射點(diǎn)”．

已知點(diǎn)A(1，2)，B(-1，-2)．

(1)求點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=m(m>1)的反射點(diǎn)P所在圖象的函數(shù)解析式．

【靈感一現(xiàn)】雖然直線x=m(m>1)是一條隨m的變化而作平移的直線，由于點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，而且直線x=m∥y軸，那么其反射點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是否存在某種特殊性呢？

3．面積法：如圖7，延長(zhǎng)A′A交y軸于點(diǎn)E，直線x=m交A′A于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)F，連接OG、OA′、OP．

∵AG=GA′，AO=OB,

∴OG∥BA′，S△OAG=S△O A′G,

∴S△OPG=S△O A′G,

∴S△OAG=S△OPG.

∵矩形OEGF中△OEG≌△GFO,

∴S△OEG=S△GFO,

∴S△OEG-S△OAG=S△GFO-S△OPG,

即S△OEA=S△OFP.

∵A(1，2),∴S△OEA=1，∴S△OFP=1.

【探究方向2】已知點(diǎn)A(1，2)，B(-1，-2)．

(2)設(shè)點(diǎn)P是點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=2x+n的反射點(diǎn)，當(dāng)45°≤∠APB≤60°時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍．

【靈感二現(xiàn)】雖然直線y=2x+n是一條隨n的變化而作平移的直線，但點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且直線MN∥AB，那么點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN的反射點(diǎn)P所在圖象又有著怎樣特殊的結(jié)論呢？

【二證靈感】還得從點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN的反射點(diǎn)定義出發(fā)，同時(shí)結(jié)合點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，再利用直線MN∥AB切入較為自然和踏實(shí).

如圖8，連接OP，分別過(guò)點(diǎn)A，P作AC⊥y軸，PD⊥y軸，垂足分別為C，D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BP，垂足為E，則∠ACO=∠ODP=90°．先從n<0開(kāi)始研究吧，此時(shí)點(diǎn)P在AB的右下方．

∵直線AB的函數(shù)解析式為y=2x，而直線MN：y=2x+n，∴AB∥MN,

∴∠APM=∠BAP，∠BPN=∠ABP.

∵點(diǎn)P是A，B關(guān)于直線MN的反射點(diǎn),

∴∠APM=∠BPN,

∴∠BAP=∠ABP∴PA=PB.

∵OA=OB, ∴OP⊥AB,

∴∠AOP=90° ，∠APO=∠BPO.

①當(dāng)∠APB=45°時(shí)，∠OPA=22.5°，∠PAB=∠B=67.5°．

∵∠BEA=∠AOP=90°，∴ △BEA∽△AOP．

∵∠AOP=90°,

∴∠AOC+∠DOP=∠AOC+∠CAO=90°,

∴∠DOP=∠CAO.∵∠ACO=∠ODP=90°,

②當(dāng)∠APB=60°時(shí)(如圖9)，∠OPA=30°．

∵45°≤∠APB≤60°,

【經(jīng)驗(yàn)積累3】若點(diǎn)A(a，b)，B(-a，-b)，且a·b≠0，設(shè)∠APB=α．

【探究方向3】已知點(diǎn)A(1，2)，B(-1，-2)．

(3)設(shè)點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)的圖象的反射點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．

【靈感三現(xiàn)】雖然直線MN：y=kx+t(k≠0)的位置千變?nèi)f化，但有條件∠APB=60°，點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN的反射點(diǎn)P所在圖象又有著怎樣的令人驚喜呢？

∵k≠2，∴直線MN與AB不平行，只能相交．設(shè)直線MN與這個(gè)圓交于點(diǎn)T′．

∵∠APM=∠BPM，∠APB=60°，∴∠APM=∠BPM=60°．

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠BAT′=∠BPN=60°，∠AT′B=∠APB=60°．

∴△ABT′是等邊三角形，∴點(diǎn)T′與點(diǎn)T重合．

【經(jīng)驗(yàn)積累4】若點(diǎn)A(a，b)，B(-a，-b)，且a>0，b>0，∠APB=60°．△ABT為正三角形，點(diǎn)T在第三象限.

設(shè)點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)的圖象的反射點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，則點(diǎn)P一定落在△ABT外接圓的優(yōu)弧ATB上.當(dāng)然點(diǎn)P既不能與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合，也不能和過(guò)點(diǎn)T作坐標(biāo)軸的平行線與優(yōu)弧ATB的交點(diǎn)重合.至此容易理解：滿(mǎn)足題意的一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)的圖象是一條過(guò)定點(diǎn)T且可以作適當(dāng)旋轉(zhuǎn)的直線.

【形成試題】(2018年南通市中考數(shù)學(xué)第28題)

定義：如圖12-1，A，B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，連接AP，則稱(chēng)點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．

(2)若直線l垂直于x軸，點(diǎn)P(m，n)是點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的等角點(diǎn)，其中m>2，∠APB=α，

(3)若點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，求b的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果)．

【意猶未盡】圖5中，如果我們換一個(gè)角度去思考：PA+PB的最小值是否同樣存在著探究的方向和靈感所在呢？譬如在已知點(diǎn)A(1，2)和B(-1，-2)的條件下，(1)當(dāng)直線MN∥AB時(shí)，PA+PB的值與∠APB的大小有著怎樣的關(guān)系？(2)當(dāng)∠APB=60°時(shí)，PA+PB的取值范圍是多少？

只要“課本與探究”無(wú)縫對(duì)接——那是因?yàn)槲覀儠r(shí)常用好教材的同時(shí)，需要把數(shù)學(xué)核心思想滲透到學(xué)生自主學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域，讓以學(xué)為中心作為支撐點(diǎn)，讓逐步養(yǎng)成探究的習(xí)慣作為平衡點(diǎn)，那么“減負(fù)與增效”必定同步奔跑、同時(shí)給力！