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        明晰基本模型掌握問(wèn)題本質(zhì)

        2018-09-21 03:46:30葉智超
        初中生世界 2018年35期
        關(guān)鍵詞:畝產(chǎn)量一元二次方程增長(zhǎng)率

        葉智超

        同學(xué)們,一元二次方程是解決實(shí)際問(wèn)題的一種重要基本模型.而用方程解決實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)是尋找實(shí)際問(wèn)題中的相等關(guān)系.一元二次方程的相等關(guān)系一般為:a×b=c(常量)型,若a、b之間具有聯(lián)系,則a與b可用含同一個(gè)未知量的代數(shù)式(一次式)表示,再根據(jù)相等關(guān)系就可建立一元二次方程.例:矩形的周長(zhǎng)為14cm,面積為12cm2,求該矩形長(zhǎng)與寬.本題相等關(guān)系為:長(zhǎng)×寬=12,長(zhǎng)與寬之間的聯(lián)系為:長(zhǎng)+寬則長(zhǎng)與寬都可用含同一未知量的一次式表示.如設(shè)寬為xcm,則長(zhǎng)為(7-x)cm,再通過(guò)相等關(guān)系:長(zhǎng)×寬=12,兩個(gè)一次代數(shù)式相乘,就可建立一元二次方程x(7-x)=12.

        一元二次方程應(yīng)用中的基本模型一般有圖形的面積(體積)模型、增長(zhǎng)率(下降率)模型、銷(xiāo)售利潤(rùn)模型3種.

        一、圖形的面積(體積)模型

        例1 如圖,我區(qū)準(zhǔn)備用一塊長(zhǎng)為60m,寬為54m的矩形荒地建造一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng),其中陰影部分為通道,通道的寬度均相等,中間的兩個(gè)完全一樣的矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地.若塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地總面積為2700m2,求通道的寬度.

        【解析】本題可將兩個(gè)矩形區(qū)域拼成一個(gè)大矩形,則相等關(guān)系為:大矩形的長(zhǎng)×大矩形的寬=大矩形的面積.故可根據(jù)該相等關(guān)系設(shè)未知數(shù),建立一元二次方程.

        【解答】設(shè)通道的寬度為xm.根據(jù)題意,得(60-3x)(54-2x)=2700.解這個(gè)方程,得x1=2,x2=45(不合題意,舍去).

        答:通道的寬度為2m.

        【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的圖形面積模型,除了拼接大矩形解決問(wèn)題,也可用:整個(gè)圖形的面積-通道面積=塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地總面積.同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類(lèi)問(wèn)題時(shí),只需找到圖形之間面積(體積)關(guān)系即可.

        二、增長(zhǎng)率(下降率)模型

        例2某電視機(jī)廠今年3月的產(chǎn)量為50萬(wàn)臺(tái),5月上升到72萬(wàn)臺(tái),求該廠平均每月產(chǎn)量增長(zhǎng)的百分率.若設(shè)該廠平均每月產(chǎn)量增長(zhǎng)的百分率為x,則列出的方程是_______.

        【解析】電視機(jī)廠今年3月的產(chǎn)量為50萬(wàn)臺(tái),則4月的產(chǎn)量增加了50x萬(wàn)臺(tái),4月的產(chǎn)量為50+50x=50(1+x)萬(wàn)臺(tái);5月產(chǎn)量增加了50(1+x)x萬(wàn)臺(tái),5月產(chǎn)量為50(1+x)+50(1+x)x=50(1+x)2萬(wàn)臺(tái).再根據(jù)相等關(guān)系——5月產(chǎn)量=72,從而解決問(wèn)題.

        【解答】50(1+x)2=72.

        【點(diǎn)評(píng)】本題是基本的增長(zhǎng)率問(wèn)題,同學(xué)們要理解a(1+x)n的意義,而不是機(jī)械模仿,只有真正理解,才能舉一反三.

        模型變形一:甲、乙兩家專(zhuān)賣(mài)店一月份銷(xiāo)售額分別為10萬(wàn)元和15萬(wàn)元,三月份銷(xiāo)售額甲店比乙店多10萬(wàn)元.已知甲店二、三月份銷(xiāo)售額的月平均增長(zhǎng)率是乙店二、三月份月平均增長(zhǎng)率的2倍,求甲店、乙店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率各是多少?

        【解析】本題相等關(guān)系為:甲店三月份銷(xiāo)售額-乙店三月份銷(xiāo)售額=10.兩店三月份銷(xiāo)售情況可用基本增長(zhǎng)率問(wèn)題表示,進(jìn)而得到正確解答.

        【解答】設(shè)乙店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x,則甲店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為2x.根據(jù)題意,得10(1+2x)2-15(1+x)2=10.解這個(gè)方程,得x1=0.6,x2=-1(不合題意,舍去).答:乙店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為60%,則甲店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為120%.

        【點(diǎn)評(píng)】本題是雙增長(zhǎng)率問(wèn)題.兩店二、三月份銷(xiāo)售額都在增長(zhǎng),二者的增長(zhǎng)率存在一定關(guān)系,但需要根據(jù)相等關(guān)系——甲店三月份銷(xiāo)售額-乙店三月份銷(xiāo)售額=10來(lái)解決.

        模型變形二:某農(nóng)場(chǎng)去年種植了10畝地的南瓜,畝產(chǎn)量為2000kg,根據(jù)市場(chǎng)需要,今年該農(nóng)場(chǎng)擴(kuò)大了種植面積,并且全部種植了高產(chǎn)的新品種南瓜.已知南瓜種植面積的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的2倍,今年南瓜的總產(chǎn)量為60000kg,求南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率.

        【解析】可根據(jù)基本增長(zhǎng)率問(wèn)題用未知數(shù)表示畝產(chǎn)量、種植面積,再根據(jù)相等關(guān)系——畝產(chǎn)量×種植面積=總產(chǎn)量建立方程.

        【解答】設(shè)南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為x,則種植面積的增長(zhǎng)率為2x.根據(jù)題意,得10(1+2x)·2000(1+x)=60000.解這個(gè)方程,得 x1=0.5,x2=-2(不合題意,舍去).答:南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為50%.

        【點(diǎn)評(píng)】本題是雙增長(zhǎng)率問(wèn)題.畝產(chǎn)量與種植面積都在增長(zhǎng),二者的增長(zhǎng)率存在一定關(guān)系,但解決問(wèn)題的本質(zhì)還是要抓住相等關(guān)系:畝產(chǎn)量×種植面積=總產(chǎn)量.

        三、銷(xiāo)售利潤(rùn)模型

        例3 某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷(xiāo)售,增加盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件.若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?

        【解析】本題是典型銷(xiāo)售利潤(rùn)模型,相等關(guān)系一般為:?jiǎn)挝焕麧?rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量=總利潤(rùn).而單位利潤(rùn)=售價(jià)-成本,單位利潤(rùn)和銷(xiāo)售數(shù)量都與漲價(jià)或降價(jià)有關(guān),從而據(jù)此設(shè)未知數(shù)建立方程.

        【解答】假設(shè)每件襯衫降價(jià)x元,依題意得:(40-x)(20+2x)=1200,解得x=10或x=20.∵要盡快減少庫(kù)存,∴每件襯衫降價(jià)20元,商場(chǎng)平均每天可盈利1200元.

        【點(diǎn)評(píng)】本類(lèi)問(wèn)題已知量一般較多,同學(xué)們可用下表:____________________________

        ______________________________________售價(jià) 成本_銷(xiāo)售數(shù)量__________________________________________原來(lái)__________________________________________現(xiàn)在

        厘清已知量、未知量之間的關(guān)系,進(jìn)而解決問(wèn)題.

        例4某批發(fā)商以40元/kg的成本價(jià)購(gòu)入了某產(chǎn)品700kg,據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),該產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)y(元/kg)與保存時(shí)間x(天)的函數(shù)關(guān)系為y=50+2x,但保存這批產(chǎn)品平均每天將損耗15kg.另外,批發(fā)商每天保存該批產(chǎn)品的費(fèi)用為50元.已知該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)量不超過(guò)600kg,若批發(fā)商希望通過(guò)這批產(chǎn)品賣(mài)出獲利7000元,則批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品多少天時(shí)一次性賣(mài)出?

        【解析】可根據(jù)相等關(guān)系——銷(xiāo)售價(jià)×銷(xiāo)量-成本價(jià)×總量-保存費(fèi)用=獲利解決本題.

        【解答】設(shè)批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品x天時(shí)一次性賣(mài)出,可獲利7000元.根據(jù)題意,得(50+2x)(700-15x)-700×40-50x=7000.解得x1=20,x2=0.當(dāng)x=0時(shí),700-15x=700>600(不合題意,舍去),當(dāng)x=20時(shí),700-15x=400<600.答:批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品20天時(shí)一次性賣(mài)出,可獲利7000元.

        【點(diǎn)評(píng)】本題若根據(jù)相等關(guān)系——單位利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量-保存費(fèi)用=總利潤(rùn),極易產(chǎn)生如下錯(cuò)誤做法:設(shè)批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品x天時(shí)一次性賣(mài)出,可獲利7000元.由題意,得(50+2x-40)(700-15x)-50x=7000.同學(xué)們,你能發(fā)現(xiàn)它的錯(cuò)誤嗎?該做法漏減了損耗部分的成本.

        四、其他模型

        例5學(xué)期伊始,初一新生彼此握手,互相介紹自己,某班級(jí)同學(xué)共握手378次,那么該班級(jí)有多少名同學(xué)?

        【解析】由于甲與乙握手與乙與甲握手重復(fù)一次,故每人握手的次數(shù)×總?cè)藬?shù)所得積的一半才是握手總次數(shù).所以本題的相等關(guān)系為每人握手的次數(shù)×總?cè)藬?shù))=握手總次數(shù).而每位同學(xué)都需和除自己外的每一位同學(xué)握手,所以每人握手次數(shù)=總?cè)藬?shù)-1.

        【解答】設(shè)班級(jí)有x名同學(xué)解得x=28,答:該班級(jí)有28名同學(xué).

        【點(diǎn)評(píng)】本題是一道經(jīng)典問(wèn)題——握手問(wèn)題,同學(xué)們相應(yīng)的可以利用該模型探索互送禮物問(wèn)題、比賽場(chǎng)次問(wèn)題、已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定線段的個(gè)數(shù)問(wèn)題、已知兩站點(diǎn)確定車(chē)票種類(lèi)等一

        小試牛刀

        1.將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形.

        (1)若兩個(gè)正方形的面積之和等于12.5cm2,求做成的兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng).

        (2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎?若能,求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

        2.某農(nóng)戶(hù)種植花生,原來(lái)種植的花生畝產(chǎn)量為200千克,出油率為50%(即每100千克花生可加工成花生油50千克).現(xiàn)在種植新品種花生后,每畝收獲的花生可加工成花生油132千克,其中花生出油率的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的求新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率.

        3.一列火車(chē)往返于兩城市之間,每次運(yùn)行??咳舾蓚€(gè)站(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站),故鐵路部門(mén)共有56種不同的車(chē)票發(fā)售,求兩城市之間共有多少個(gè)站點(diǎn)(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站).

        4.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件,每件利潤(rùn)6元,每提高一個(gè)檔次,每件利潤(rùn)增加2元,但一天產(chǎn)量減少5件.若生產(chǎn)的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1120元,求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.

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