□ 海南省保亭思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳祖艷

許多學(xué)生認(rèn)為幾何證明是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中很大的難點(diǎn)，特別是有時(shí)自己有思路但說(shuō)不出，或者不會(huì)寫(xiě)推理過(guò)程，又或者好不容易寫(xiě)出來(lái)過(guò)程后又不規(guī)范，因此在數(shù)學(xué)考試中往往因?yàn)閹缀巫C明部分得分低始終得不到更高的分?jǐn)?shù)。其實(shí)，初中幾何證明的學(xué)習(xí)并不難，所考察的知識(shí)點(diǎn)也都是比較基礎(chǔ)，但幾何證明被作為初中數(shù)學(xué)中招考試的必考考點(diǎn)，主要是為了發(fā)展空間觀念、培養(yǎng)幾何直覺(jué)、感受幾何與生活及其他學(xué)科之間的密切關(guān)系，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維和推理能力有著十分重要的作用。很多學(xué)生之所以學(xué)不好幾何證明，很大部分的原因都是因?yàn)檎也粶?zhǔn)方向，或者沒(méi)有好的解題思路，不然就是沒(méi)有規(guī)范解題過(guò)程。因此，只要找出幾何證明解題的問(wèn)題，對(duì)癥使用解題方法，進(jìn)而對(duì)規(guī)范的解題過(guò)程進(jìn)行加強(qiáng)訓(xùn)練，提高幾何得分率就不成問(wèn)題。

一、初中生幾何證明解題規(guī)范的問(wèn)題

為了能夠準(zhǔn)確了解學(xué)生在幾何證明過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，筆者進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，共發(fā)出問(wèn)卷3286份，回收3231份，回收率達(dá)98.33%。調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生的幾何證明解題很不規(guī)范，其狀況不容樂(lè)觀，主要有以下幾個(gè)方面：

1.對(duì)題目中出現(xiàn)的符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的專業(yè)術(shù)語(yǔ)不能夠正確地理解，造成審題不清。比如，弄不清楚“因?yàn)椤焙汀八浴被虬亚笞C當(dāng)已知來(lái)用，步驟重復(fù)較多或漏步驟，再者出現(xiàn)文章式步驟的毛?。?/p>

案例：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=56°，CD=CB，求∠ABD 的度數(shù)？

不規(guī)范證明：∵∠ABC=90°，∠A=56°

∴180°-∠ABC-∠A=34°

∴∠C=34°

∵CD=CB

∴∠CDB=∠DBC

∵180°-∠C=∠CDB+∠BDC

∴∠CDB+∠DBC=146°

∴∠DBC=73°

∵∠ABC-∠DBC=∠ABD

∴∠ABD=17°

規(guī)范證明：∵∠ABC=90°，∠A=56°

∴∠C=180°-∠ABC-∠A=34°

∴∠C=34°

∵CD=CB

∴∠CDB=∠DBC=（180°-∠C）/2=（180°-34°）/2=73°（以下三句粗體字可合并寫(xiě)成這一句）

∵180°-∠C=∠DBC+∠BDC

∴∠CDB+∠DBC=146°

∴∠DBC=73°

∵∠ABC-∠DBC=∠ABD

∴∠ABD=17°

后面兩句可以規(guī)范寫(xiě)成∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-73°=17°

2.對(duì)于題目中的條件不會(huì)聯(lián)想或者不會(huì)用幾何語(yǔ)言表達(dá)，也沒(méi)有養(yǎng)成把條件標(biāo)注在幾何圖形上的好習(xí)慣，語(yǔ)句比較混亂,造成書(shū)寫(xiě)不規(guī)范,主要表現(xiàn)在過(guò)程表達(dá)較為隨意,不夠嚴(yán)謹(jǐn),常常出現(xiàn)多余的書(shū)寫(xiě)步驟或少寫(xiě)出必要的步驟,對(duì)圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換存在困難。比如下面的兩個(gè)案例：

（1）一次性寫(xiě)出題目的條件，證明過(guò)程較亂。

案例1：如圖，在△ABC中，∠BAC=120°,∠B=30°,AD⊥AB,垂足為 A，CD=1c m，求 AB 長(zhǎng)。

不規(guī)范解：在△ABC中

∵∠BAC=120°, ∠B=30°,AD⊥AB，CD=1cm（這里就是一次性寫(xiě)出題目條件）

∴AD=CD=1

∴BD=2AD=2

規(guī)范解:

∵AD⊥AB

∴∠DAB=90°

∴ ∠BDA=180°-∠DAB-∠B=180°-90°-30°=60°

∴∠C=∠BDA-∠DAC=60°-30°=30°

∴AD=CD=1

又 ∵∠BAC=120°，∠B=30°

∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-90°=30°

∴BD=2AD=2

在RT△ABD中

（2）缺少條件，證明過(guò)程不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

案例 2：如圖所示，在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

不規(guī)范證明：∵BE∥DF，BE=DF

∴∠BEC=∠DFC

∴△AFD≌△CEB（SAS）

∴∠1=∠2

∴AD∥BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

規(guī)范證明：∵BE∥DF，BE=DF

∵AE=CF （粗體部分是學(xué)生缺漏的條件）

∴AE+EF=CF+EF

∴AF=CE

∴∠BEC=∠DFC

∴△AFD≌△CEB（SAS）

∴∠1=∠2

∴AD∥BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（3）對(duì)幾何的概念、性質(zhì)定理、判定定理的識(shí)記混亂和理解流于表面,易忽略各定理適用的條件和范圍和無(wú)法寫(xiě)出正確的根據(jù)。比如，沒(méi)有根據(jù)的推理或根據(jù)不明確的案例：

如圖，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),AE=CF,BE=DF,BE∥DF。

求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

不規(guī)范證明：∵AE=CF

∴AC平分?ABCD

∴?ABCD是平行四邊形

規(guī)范證明：∵AE=CF

∴AE+EF=CF+EF

∴AF=CE

∵BE=DF

又∵BE∥DF

∴∠DFA=∠BEC

∴△DFA≌△BEC（SAS）

∴DA=BC,∠DAF=∠BCE

∴DA∥BC

∴?ABCD是平行四邊形

（4）對(duì)于需要借助添加輔助線來(lái)完成推理證明的題,感到無(wú)從下手,找不到連接題設(shè)與結(jié)論的橋梁，或找到但不在圖形標(biāo)注，在證明過(guò)程中不進(jìn)行描述。比如，過(guò)程中有輔助線語(yǔ)句而圖上沒(méi)有畫(huà)出輔助線的痕跡，或在證明解題過(guò)程時(shí)沒(méi)有用幾何語(yǔ)言寫(xiě)出輔助線語(yǔ)句。

案例：如圖所示，在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

解:四邊形EFGH是平行四邊形

理由如下：

連接BD（是學(xué)生不寫(xiě)但過(guò)程中有BD的）

∵E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)

∴EH=BD,FG=BD

∵EH∥BD,FG∥BD

∴EH=FG,EH∥FG注意：圖中也沒(méi)有畫(huà)出線段BD。

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（5）對(duì)于文字證明題懶于畫(huà)圖，或是不會(huì)畫(huà)圖，或無(wú)法結(jié)合題意與圖形,或不會(huì)找出已知條件和求證,導(dǎo)致不能正確寫(xiě)出證明過(guò)程。

（6）推理中邏輯上的錯(cuò)誤導(dǎo)致書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程出現(xiàn)循環(huán)論證、虛假理由、偷換命題。推理中邏輯上出現(xiàn)的書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤的案例：

如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

不規(guī)范解：∵E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)

∴AH=HD,AD=BC

∴?EFGH是平行四邊形

規(guī)范解：四邊形EFGH是平行四邊形

理由如下：連接BD

∵E、F、G、H 分 別 是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)

∴EH=BD,FG=BD

∵EH∥BD,FG∥BD

∴EH=FG,EH∥FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（7）在學(xué)習(xí)上遇到困難因?yàn)楹π呋蛘呤呛ε峦瑢W(xué)嘲笑而沒(méi)有及時(shí)地向老師、同學(xué)請(qǐng)教，造成知識(shí)上的盲點(diǎn)沒(méi)有及時(shí)掃清。

面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的種種不規(guī)范解題的問(wèn)題，教師需要敢于面對(duì)現(xiàn)實(shí)，努力改進(jìn)教學(xué)方式、方法，從問(wèn)題實(shí)際出發(fā)，把學(xué)生的練習(xí)、作業(yè)、試卷中具有針對(duì)性的解題不規(guī)范的問(wèn)題收集并進(jìn)行診斷，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)給予對(duì)癥下藥，掃除學(xué)生幾何證明題解題不規(guī)范的問(wèn)題。

二、初中幾何證明規(guī)范解題的訓(xùn)練方法

1.牢固的幾何知識(shí)基礎(chǔ)是幾何證明規(guī)范解題的奠基石。如直線、射線、線段、角等相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生理解之后記住它，對(duì)點(diǎn)——線——角——三角形的表示法和畫(huà)法、識(shí)圖等加強(qiáng)練習(xí)和積累；能根據(jù)文字理解進(jìn)行畫(huà)圖或根據(jù)簡(jiǎn)單圖用幾何語(yǔ)言表述，會(huì)識(shí)圖，特別是可從訓(xùn)練簡(jiǎn)單圖形到稍復(fù)雜的圖形用幾何語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)出來(lái)。建議多做填空式證明題，教學(xué)中慢慢滲入數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)思想。

2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅?shū)寫(xiě)過(guò)程是幾何證明規(guī)范解題的重要規(guī)則。特別是對(duì)“因?yàn)椤焙汀八浴毙枰獙?xiě)入的是什么語(yǔ)句要有胸有成竹的把握，為了便于說(shuō)明書(shū)寫(xiě)過(guò)程的規(guī)范，把“因?yàn)椤焙汀八浴边@一推理形式叫作一個(gè)二步推理。訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)方法可以從以下幾個(gè)方向入手：

（1）“因?yàn)椤币话愫竺鎸?xiě)的是題目中明顯給出的直接可用條件，或者是上一個(gè)的二步推理的所得結(jié)論被當(dāng)作下一個(gè)二步推理的條件，寫(xiě)入過(guò)程的“因?yàn)椤敝小?/p>

（2）“因?yàn)椤焙竺孢€喜歡放入圖形中隱藏的條件，如對(duì)頂角相等、全等的公共邊和公共角、互余、互補(bǔ)等條件的幾何語(yǔ)言。

（3）“因?yàn)椤边€可以放入一些題目給的不能馬上推出想要的結(jié)論的間接條件語(yǔ)句，這時(shí)可能會(huì)需要幾個(gè)二步推理，為下一輪的第二步推理創(chuàng)造必要條件，這時(shí)寫(xiě)法就可以把后兩步的“因?yàn)椤焙颓耙粋€(gè)二步推理的“所以”兩個(gè)語(yǔ)句合并成一個(gè)，也就是省略后兩步的“因?yàn)椤奔纯?。而“所以”一般?xiě)的就是用“因?yàn)椤蓖瞥鰜?lái)的結(jié)論。

（4）重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是每一個(gè)二步推理不管是“因?yàn)椤边€是“所以”寫(xiě)入的語(yǔ)句都要有根據(jù)的，根據(jù)一般都是學(xué)習(xí)過(guò)的真命題，也就是定義、定理、公理等，初學(xué)者可以在語(yǔ)句后面用個(gè)括號(hào)寫(xiě)出這個(gè)根據(jù)，以便后面方便檢查解題的過(guò)程是否嚴(yán)謹(jǐn)，合乎邏輯。

3.正確的邏輯思維是幾何證明規(guī)范解題的支撐點(diǎn)。初中幾何證明題解的思維一般有三種思維方式，在教學(xué)時(shí)可以訓(xùn)練學(xué)生靈活應(yīng)用，對(duì)證明規(guī)范解題有很大的幫助：

（1）正向思維。幾何證明過(guò)程邏輯思維培養(yǎng)從七年級(jí)課標(biāo)中就有強(qiáng)調(diào)，體現(xiàn)在七年級(jí)下冊(cè)就已經(jīng)從一道道帶填空的有“因?yàn)椤焙汀八浴钡膸缀握Z(yǔ)句串起來(lái)的半成品證明題目。不要小看這些填空證明題，它是訓(xùn)練學(xué)生已有一定的邏輯思維空間的正向思維訓(xùn)練，同時(shí)也可以檢查學(xué)生邏輯思維，教師要把學(xué)生的幾何思維通過(guò)這些空格把學(xué)生發(fā)散的思維有時(shí)帶向集中，有時(shí)又要把集中思維帶向發(fā)散，從而得到證明解題的正確思路，同時(shí)也初步得到幾何證明規(guī)范解題的認(rèn)識(shí)和訓(xùn)練。

（2）逆向思維。這是一種從題目的求證所提及的問(wèn)題通過(guò)相反方向進(jìn)行成功尋找思路的方法。運(yùn)用逆向思維解題，能使學(xué)生從不同角度，不同方向思考問(wèn)題，探索解題方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路。

進(jìn)入八年級(jí)從教材來(lái)看，前兩章就開(kāi)始進(jìn)入真正的幾何證明解題訓(xùn)練，特別是“證明三角形全等”的幾何證明題對(duì)訓(xùn)練學(xué)生正確的邏輯思維有很大的幫助，學(xué)生通過(guò)對(duì)七年級(jí)下冊(cè)的填空式證明題得到思維的初步訓(xùn)練，在八年級(jí)就可以進(jìn)一步加強(qiáng)規(guī)范解題訓(xùn)練：

第一，書(shū)寫(xiě)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程：加強(qiáng)推理中的“因?yàn)椤贝钜粋€(gè)“所以”的搭檔做法，提到“因?yàn)椤狈湃胧裁凑Z(yǔ)句，“所以”可以得到什么語(yǔ)句，根據(jù)是什么。

第二，不能丟棄的推理根據(jù)：每個(gè)“因?yàn)椤焙汀八浴钡耐评聿皇菬o(wú)中生有的，而是有根有據(jù)的，要講清理由和根據(jù)。理由和根據(jù)就是教材中學(xué)到的真命題，也就是定義、定理等。幾何證明解題的根據(jù)，關(guān)鍵處解釋方法是每次寫(xiě)證明過(guò)程時(shí)都讓學(xué)生關(guān)注 “因?yàn)椤焙汀八浴钡那耙蚝蠊蛯W(xué)生所學(xué)過(guò)的什么定理、定義等概念相符，其實(shí)也就是根據(jù)中所用的真命題（定理、定義等概念）的題設(shè)就是描述“因?yàn)椤钡膸缀握Z(yǔ)句，而結(jié)論就是描述“所以”的幾何語(yǔ)句。簡(jiǎn)單說(shuō)就是真命題的前部分是強(qiáng)調(diào)“因?yàn)椤保蟛糠质侵С帧八浴背闪⒌摹?/p>

第三，串成一條線的邏輯思維：一個(gè)證明過(guò)程可能只用一個(gè)二步推理就得證，有時(shí)會(huì)用到幾個(gè)二步推理才能得證，其中從一個(gè)二步到另一個(gè)二步的過(guò)渡有可能是后面的二步不夠條件，要用到前一個(gè)二步推出的結(jié)果當(dāng)作后一個(gè)二步推理的條件才行。

（3）正逆結(jié)合。對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，學(xué)生可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真地分析，初中幾何證明中，一般所給的已知條件都是解題過(guò)程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，這也是一條重要線索。當(dāng)然解題解到一半沒(méi)有思路了，也可以再?gòu)乃龅降膯?wèn)題入手找尋解決方法或從求證開(kāi)始再逆推去找卡住的緩解方法。正逆結(jié)合還可以在用正向思維證明出來(lái)后，用逆向思維進(jìn)行檢查證明過(guò)程的正確性。

4.文字證明題是訓(xùn)練初中幾何證明規(guī)范解題最完整版的體現(xiàn)。

八年級(jí)第二學(xué)期至九年級(jí)的幾何證明題不斷變化多向，綜合性強(qiáng)，邏輯思維也不斷升華，從一般證明題到文字證明題，還涉及反證證明題，這里重點(diǎn)說(shuō)說(shuō)文字證明題。文字證明題是沒(méi)有圖形、字母、數(shù)字，整個(gè)題目?jī)H有文字。文字證明題要突破學(xué)生的審題——畫(huà)圖——寫(xiě)已知、求證——寫(xiě)證明過(guò)程的四環(huán)節(jié)訓(xùn)練。一個(gè)四環(huán)節(jié)過(guò)程下來(lái)需要寫(xiě)的東西很多，就如出題似的，因此做這類證明題，可以很好地訓(xùn)練學(xué)生的解題書(shū)寫(xiě)的功底，還可以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的滲入能力。文字證明題的每一環(huán)節(jié)都很重要，通過(guò)審題理解后畫(huà)出相應(yīng)圖形，再用字母正確標(biāo)識(shí)，只要前面這兩環(huán)節(jié)做得好，就能輕易和規(guī)范寫(xiě)出已知和求證，能把前三部分弄透弄懂，而規(guī)范的書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程就事半功倍了。

5.培養(yǎng)科學(xué)的演繹推理和合情推理是幾何證明規(guī)范解題的未來(lái)。就數(shù)學(xué)幾何證明而言,演繹推理是證明解題用于證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過(guò)程。但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理。因此,學(xué)生要想掌握幾何證明規(guī)范解題的各環(huán)節(jié)，教學(xué)中還要注意對(duì)這兩種推理的初步滲透，這里不深入探討。這兩種推理的深入探討在以后的高中幾何證明學(xué)習(xí)也可以進(jìn)行。

初中幾何證明解題的規(guī)范問(wèn)題不容忽視，要想提高學(xué)生的幾何成績(jī)，還需要對(duì)比問(wèn)題，重視問(wèn)題。