王永帥，陳增強,2，孫明瑋，孫青林

（1. 南開大學 計算機與控制工程學院，天津 300350; 2. 天津市智能機器人重點實驗室，天津 300350）

時滯系統(tǒng)廣泛存在于現(xiàn)代過程控制工業(yè)中，例如冶金、化工、煉油等工業(yè)。一般認為純遲延時間與過程的時間常數(shù)T之比大于0.3則說明該過程是具有大遲延的工藝過程。滯后時間越大，系統(tǒng)越難控，而且對控制品質(zhì)極為不利，因此，大時滯系統(tǒng)受到了理論和應用領域的廣泛關注。O.J.M.Smith[1]于1957年提出了著名的針對純滯后系統(tǒng)的Smith預估器[2-3]，有效解決了控制量不能及時作用于被控對象的問題。但是，Smith預估器不具備任何抑制擾動的能力，當存在外界干擾時，控制性能將會大大下降。由此出現(xiàn)了自適應控制[4-5]、預測控制算法[6-7]、魯棒控制算法[8]和各種智能算法等[9-10]。但是只能解決時滯時間較小的控制問題。

20世紀80年代末，韓京清研究員提出了自抗擾技術，由于能夠?qū)崟r估計和補償擾動，受到了控制領域的廣泛關注，并成功應用于各種不確定系統(tǒng)。針對時滯系統(tǒng)，韓京清[11]研究員提出了無視時滯法、一階慣性環(huán)節(jié)近似法、輸入預測法和輸出預測4種方法，但是隨著時滯增大控制效果變差。由于自抗擾技術的各種實用優(yōu)點和需調(diào)參數(shù)太多等原因，美國克利夫蘭州立大學的高志強教授[12]提出了線性自抗擾方法，大大簡化了調(diào)參工作量，而且線性自抗擾的分析相對容易，現(xiàn)在已經(jīng)有很多文獻對此進行了理論分析[13-16]。

因此，將具有實時估計補償擾動能力的線性自抗擾技術與解決純時滯問題的Smith預估器相結合，來解決大時滯系統(tǒng)的控制問題。已有學者進行了一些相關研究，文獻[17]在模型大約已知的條件下，將ADRC-Smith與基于時滯的擾動補償觀測器、PI-Smith在魯棒性能和抗擾能力方面進行了比較，并進行頻域分析，說明了ADRC-Smith控制性能更好，并對化學反應器濃度控制進行了仿真測試，對鍋爐的氧濃度控制進行了仿真測試和實際結果的對比；文獻[18]分析了ADRC-Smith的性能，并通過改進差分算法整定控制參數(shù)，最后與ADRC、PI-Smith、PI 3種控制器進行仿真比較。

在上述基礎上，本文研究了在被控對象準確已知和大約已知兩種情況下，LADRC-Smith控制方法的穩(wěn)定條件和Smith預估器參數(shù)選擇問題，通過MATLAB仿真進行了驗證，并仿真分析了參數(shù)攝動對系統(tǒng)各個性能指標的影響。

1 線性自抗擾的基本原理

線性自抗擾以線性擴張狀態(tài)觀測器(linear extended state observer，LESO)為核心，包含了狀態(tài)和擾動估計、誤差反饋和擾動補償幾部分，結構如圖1所示。

圖 1 一階系統(tǒng)線性自抗擾控制結構Fig. 1 Diagram of LADRC for first-order systems

下面以一階系統(tǒng)為例，假定不含時滯的一階被控對象用微分方程表示為

式(1)所描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

根據(jù)式(2)設計的線性擴張狀態(tài)觀測器為

2 大時滯系統(tǒng)的LADRC-Smith設計

通常，一階大時滯被控對象的數(shù)學模型為

Smith 預估器原理結構圖如圖2所示。

圖 2 Smith預估器結構Fig. 2 Diagram of Smith predictor

這樣，當Smith預估器參數(shù)與被控對象相同時，進入LESO的被控輸出，和在時間上同步，從而得到一階系統(tǒng)的整個LADRC-Smith結構圖如圖3所示。

圖 3 LADRC-Smith系統(tǒng)結構Fig. 3 Diagram of the LADRC-Smith system

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(3)和式(5)，可以得到表達式：

結合狀態(tài)誤差反饋控制率式(4)，可以得到系統(tǒng)的典型單回路反饋控制結構框圖如圖4。

圖 4 LADRC-Smith單回路結構Fig. 4 The single loop diagram of LADRC-Smith

其中：

從而可以得到系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)：

3.1 條件分析

下面從被控對象模型準確已知和大約已知兩個方面分析LADRC-Smith的條件穩(wěn)定性。

3.1.1 被控模型準確已知

命題1 當被控對象模型準確已知時，Smith預估器與被控模型參數(shù)完全相同，只要3個控制參數(shù)為正，系統(tǒng)輸出是穩(wěn)定的。

證明

只有分子中包含時滯，不會影響系統(tǒng)的最終穩(wěn)定性，因此可以利用勞斯判據(jù)對系統(tǒng)特征方程進行穩(wěn)定性分析[19]。

證畢。

3.1.2 被控模型大約已知

假設：

證明

閉環(huán)特征方程為

對被控系統(tǒng)特性進行仿真發(fā)現(xiàn)，針對大慣性環(huán)節(jié) ，當時間常數(shù)T攝動較小時(即)，和輸出非常接近；當較小時，可以進行Taylor展開，但對于大時滯對象，Taylor展開不適用，而Pade近似更精確。所以，為了能夠定性分析，作如下近似：

從而，式(16)可以轉(zhuǎn)化為

式中

根據(jù)勞斯判據(jù)，定性得到了一個近似的穩(wěn)定充分條件：

證畢。

3.2 仿真驗證

3.2.1 Smith預估器參數(shù)與被控對象相同

由圖5可以看出，當Smith預估器的參數(shù)與被控對象完全相同時，只要3個被調(diào)參數(shù)為正，系統(tǒng)輸出最終是穩(wěn)定的，但是動態(tài)過程跟參數(shù)選擇十分密切，參數(shù)調(diào)節(jié)與性能關系將在下面討論。

3.2.2 Smith預估器參數(shù)與被控對象不同

當Smith預估器參數(shù)與被控對象參數(shù)不相同時，按照命題2的近似充分條件選擇Smith預估器參數(shù)，控制參數(shù)隨意給定，然后進行仿真驗證，如圖6所示。

圖 5 被控對象準確已知時的階躍響應Fig. 5 Step response when plant is accurately known

圖 6 被控對象大約已知時的階躍響應Fig. 6 Step response when plant is approximately known

可以看出，當Smith預估器參數(shù)與被控對象不相同時，根據(jù)命題2選擇參數(shù)，由于是近似條件，系統(tǒng)最終可能不穩(wěn)定，與控制參數(shù)選擇也相關，所以，命題2有一定的局限性，但也有一定的參考意義，控制參數(shù)與性能的關系將在下面分析。

4 參數(shù)分析與設計原則

4.1 系統(tǒng)參數(shù)

Smith預估器參數(shù)為

圖 7 LADRC-Smith奈氏曲線圖Fig. 7 Nyquist diagram of LADRC-Smith

表 1 被控對象參數(shù)攝動的穩(wěn)定邊界值Table 1 Stable boundary when parameters perturbation

4.1.1 K變化對系統(tǒng)的影響

如表2和圖8可以看出：

表 2 K變化的性能指標Table 2 Performance index when K changes

圖 8 K變化的階躍響應(帶擾動)和Bode圖Fig. 8 Step response with disturbance and Bode diagram for K

如表3和圖9可以看出：

表 3 T變化的性能指標Table 3 Performance index when T changes

圖 9 變化的階躍響應(帶擾動)和Bode圖Fig. 9 Step response with disturbance and Bode diagram for

如表4和圖10可以看出：

表 4 變化的性能指標Table 4 Performance index when changes

表 4 變化的性能指標Table 4 Performance index when changes

GM/dB 3.28 5.44 5.8 5.53 5.02 PM/(°) 69.2 63.8 58.5 53.1 47.8 (×10–4) 5.18 5.18 5.18 5.18 5.18 DM/s 2 330 2 150 1 970 1 790 1 610 Mp/% 29.53 15.04 0.18 14.73 29.13 tr/s 19 982 7 388.5 3 753.5 7 388.5 26 320 Md/% 15.94 15.93 15.93 15.93 16.68 td/s 14 362 5 595 3 804 5 679 21 525

圖 10 變化的階躍響應(帶擾動)和Bode圖Fig. 10 Step response with disturbance and Bode diagram for

下面進行驗證，對如上同一被控對象，選擇同一控制參數(shù)設計3個Smith預估器、和：

進行時域和頻域分析，如圖11所示。

表 5 不同Smith預估器的性能指標Table 5 Performance index for different Smith predictors

圖 11 不同預估器的階躍響應和Bode圖Fig. 11 Step response and Bode diagram for different predictors

4.2 控制參數(shù)

圖 12 變化的階躍響應(帶擾動)和Bode圖Fig. 12 Step response with disturbance and Bode diagram for

表 6 變化的性能指標Table 6 Performance index when changes

表 6 變化的性能指標Table 6 Performance index when changes

b0(K/T) 0.1 0.5 1 2 3 GM/dB 5.98 5.85 5.77 5.8 5.95 PM/(°) 59.9 59.4 59 58.5 58.3 DM/s 1 810 1 830 1 880 1 970 2 080穿越頻率 (×10–4) 5.78 5.65 5.49 5.18 4.89

1) 系統(tǒng)響應變慢，振蕩消失，出現(xiàn)了超調(diào)；

2) 當擾動出現(xiàn)時，擾動偏離量和擾動恢復時間增加，抗擾性能變?nèi)酰?/p>

3) 增益裕度先減小后增加，相角裕度減小，時滯裕度增加，穿越頻率減小。

圖 13 變化的階躍響應(帶擾動)和Bode圖Fig. 13 Step response with disturbance and Bode diagram for

表 7 變化的性能指標Table 7 Performance index when changes

表 7 變化的性能指標Table 7 Performance index when changes

wc 0.001 0.01 0.1 1 10 GM/dB 6.7 5.48 5.69 5.73 5.73 PM/(°) 61.5 58.7 59.3 59.4 59.4 DM/s 2 370 1 830 1 810 1 810 1 810穿越頻率 (×10–4) 4.53 5.61 5.72 5.73 5.74

可以看出：隨著控制器帶寬增加，1) 系統(tǒng)響應變快，出現(xiàn)了超調(diào)；2) 抗擾性能增強，擾動偏離量和擾動恢復時間減?。?) 增益裕度和相角裕度先減小后增加，時滯裕度減小，穿越頻率增加。

圖 14 變化的階躍響應(帶擾動)和Bode圖Fig. 14 Step response with disturbance and Bode diagram for

表 8 wo變化的性能指標Table 8 Performance index when wo changes

可以看出：隨著觀測器帶寬增加

1) 系統(tǒng)響應變快，調(diào)節(jié)時間變短；

2) 抗擾性能增強，擾動偏離量和擾動恢復時間減小；

3) 增益裕度和相角裕度先減小后增加，時滯裕度減小，穿越頻率增加。

綜上，可以得到如下控制參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)則：

5 結束語

本文針對大時滯系統(tǒng)，研究了基于Smith預估器的線性自抗擾控制的穩(wěn)定條件，通過MATLAB仿真進行驗證，并分析了系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)對系統(tǒng)的影響，得出以下結論：

1) 當被控對象準確已知，Smith預估器參數(shù)與被控對象相同時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當被控對象大約已知時，根據(jù)穩(wěn)定的近似充分條件選擇Smith預估器參數(shù)進行設計，根據(jù)性能需要適當調(diào)節(jié)參數(shù)，系統(tǒng)更易穩(wěn)定。

3) 本文分析建立在被控對象大約已知的基礎上，限制了實際應用，而且Smith預估器參數(shù)與被控對象不同時的近似充分條件并不能保證系統(tǒng)一定穩(wěn)定，有一定局限性。所以對模型未知情況下的系統(tǒng)控制和穩(wěn)定性證明需要進一步探索。