張倩倩，馬媛媛，徐久成

（1. 河南師范大學 計算機與信息工程學院，河南 新鄉(xiāng) 453007; 2. “智慧商務與物聯網技術”河南省工程實驗室，河南 新鄉(xiāng) 453007; 3. 河南省高校計算智能與數據挖掘工程技術研究中心，河南 新鄉(xiāng) 453007）

作為一種有效的知識表示和處理工具，粗糙集理論[1]的主要思想是在保持分類能力不變的前提下，通過引入上近似和下近似等概念來刻畫知識的不確定性和模糊性。Vague集[2]是在模糊集基礎上發(fā)展起來的新型理論，與模糊集相比，該理論能同時表達支持和反對的證據，更加符合人類的直覺，在模式識別、人工智能、故障診斷等領域的應用已取得了顯著效果[3-4]。Atanassov于1986年提出的直覺模糊集[5]理論同時考慮了對象的隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個方面的信息，其實，Bustince等[6]已經證明，Vague集和直覺模糊集在定義上是等同的，在本質上是一致的。目前，有很多學者對粗糙集理論和Vague集理論[7-13]相互融合問題做了大量研究。我們后面的研究內容，將不對Vague集和直覺模糊集的描述方式作區(qū)分，在此統稱為Vague集。

在模糊集、Vague集及粗糙Vague集理論研究中，相似性度量都是研究重點，它是模糊聚類、模式識別、近似推理等理論研究的基礎[14-16]。權雙燕等[17]研究了Vague集的偏熵、關聯熵和關聯熵系數，將其應用于Vague集相似性度量；魏萊等[18]將關聯熵和關聯熵系數引入粗糙模糊集，為考慮某種分類知識R下度量模糊集合之間的相似性程度提供了一種新方法。上述方法僅限于模糊集、Vague集和粗糙模糊集的研究范疇，具有一定的局限性。粗糙Vague集模型是粗糙集和Vauge集相互融合的理論方法，適用于處理現實世界中兼具不可分辨性和模糊性概念的問題。Namburu等[19]提出了廣義粗糙直覺模糊c均值聚類算法，用于腦磁諧振圖像分割；Liu等[20]通過直覺模糊相似性度量定義了沖突距離測量方法，用于解決現實生活中的沖突問題。為了有效度量粗糙Vague集模型的相似性，本文將關聯熵、關聯熵系數的應用領域進一步推廣，為粗糙Vague集相似性度量及模式識別提供一種新的思路和方法。最后給出的實例證明，在知識對象具有不可分辨關系的背景下，對Vague集對象進行聚類分析時，應用粗糙Vague集的關聯熵系數進行相似性度量更具合理性。

1 粗糙Vague集理論基礎

定義1[2]設論域為一個對象空間，元素xi()是所討論的對象。U上一Vague集A用一個真隸屬函數tA和一個假隸屬函數fA表示：，。其中tA(xi)是由支持xi的證據所導出的xi隸屬度的下界，fA(xi)則是由反對xi的證據所導出xi的否定隸屬度下界，且。元素xi的隸屬度被區(qū)間[0, 1]的一個子區(qū)間[tA(xi), 1–fA(xi)]所界定，稱該區(qū)間為xi在A中的Vague值。

定義2[17]假定論域上一Vague集A，我們稱為Vague集A的熵。

一個Vague集的熵E同時表征了該Vague集的模糊正熵和模糊負熵，在定義2中，按慣例規(guī)定 0·ln 0=0，ln 0= –∞。在此定義的 Vague集 A 的熵刻畫了論域U中元素xi與Vague集A之間關系的不確定性程度，E越大，我們對x與A的關系了解得越少。

定義3[17]設A, B是論域U中任意兩個Vague集，則A關于B的偏熵定義為

式中B稱為基準集。

與Vague集的熵定義類似，偏熵EB(A)也是Vague集A的不確定性程度的一種度量。

定義4[17]兩個Vague集A與B之間的關聯熵定義為它們的偏熵之和，即

顯然 E(A; B)關于 tA(xi)、tB(xi)和 fA(xi)、fB(xi)是對稱的，而且是非負的。關于Vague集的關聯熵的相關性質證明過程請參考文獻[17]。

作為處理不確定信息的兩種工具，Vague集理論的出發(fā)點在于描述和解決概念內涵的模糊性和人們對概念認識不精確性的問題，粗糙集理論則側重于知識對象不可分辨性的不確定性問題的研究。當人們所面對的問題兼具這兩方面的不確定性時，即概念不但是模糊的，而且是不可分辨的，此時，需要將粗糙集理論和Vague集理論相互融合，研究粗糙Vauge集[7-8]的理論、方法及其不確定性度量，以彌補它們單獨在處理實際問題時的不足。

定義5[21]設為一論域，R是U上的等價關系，V是U上一Vague集，，由R和V構成的粗糙Vague集(RV sets)定義如下：

式中：[x]R表示包含元素x∈U的R等價類，則上下近似Vague集表示為

定義6[21]設是給定論域U上的粗糙Vague集，x∈U，定義：

2 粗糙Vague集的偏熵

定義7 設S=(U, R)為一近似空間，U為論域，R為U上一等價關系，RVA, RVB是其上的兩個粗糙Vague集，定義RVA關于RVB的偏熵為

如果將RVB看作一個基準粗糙Vague集，那么RVA關于RVB的偏熵表示了粗糙Vague集RVA的一個不確定性程度，它分別考慮了RVA上近似、RVA下近似的不確定性程度。

下面給出粗糙Vague集RVA關于粗糙Vague集RVB的偏熵具有的性質。

性質1(非負性) 設S=(U, R)為一近似空間，RVA、RVB是其上的兩個粗糙Vague集，則有。

性質3 設S=(U, R)為一近似空間，RVA、RVB是其上的兩個粗糙Vague集，則有：

這些性質根據定義很容易證明，在這里不再贅述。

3 粗糙Vague集的關聯熵系數及相似性度量方法

定義8 粗糙Vague集RVA、RVB的關聯熵同時考慮到兩個粗糙Vague集的上近似與下近似并且定義為它們的偏熵之和，即

顯然，從定義7可以看出，粗糙Vague集的關聯熵系數E(RVA; RVB)是對稱的，而且是非負的，即有如下性質：

性質5 RVA、RVB是粗糙Vague集，則有

在此，需要分4種情況進行討論：

其他3種情況證明類似。

定義9 粗糙Vague集RVA、RVB的關聯熵系數定義為

為了進一步利用關聯熵系數來度量粗糙Vague集的相似性，下面我們先給出粗糙Vague集相似度的定義。

定義10 設論域U是一個非空集合，R是U上的一個等價關系，A、B是U上兩個Vague集，由R和A、B構成的粗糙Vague集分別為RVA和RVB，其中，，如果M(RVA, RVB)滿足性質：

1) 0 ≤ M(RVA, RVB) ≤ 1；

2) 如果 RVA= RVB，則 M(RVA, RVB) = 1；

3) M(RVA, RVB) = M(RVB, RVA)，

則稱M(RVA, RVB)為粗糙Vague集RVA與RVB的相似度。

顯然，粗糙Vague集RVA、RVB的關聯熵系數ρ(RVA; RVB)是對稱的，而且是非負的，即粗糙Vague集的關聯熵系數具有如下性質：

證明 由定義6可知，當RVA=RVB時，有，；且，，所以根據粗糙Vague集關聯熵定義即有ρ(RVA; RVB)=1。

從性質6和性質7可以看出，粗糙Vague集的關聯熵系數ρ(RVA; RVB)滿足定義10中粗糙Vague集相似度的定義。

性質7 RVA, RVB是任意的粗糙Vague集，則有；當且僅當RVA=RVB時，ρ(RVA; RVB)=1。

與Fuzzy集、粗糙模糊集的關聯熵系數類似，在定義9中粗糙Vague集RVA、RVB的關聯熵系數的定義中，是對兩個粗糙Vague集RVA, RVB上近似相似程度的度量，是對兩個粗糙Vague集RVA、RVB下近似相似性度量。為了有效度量兩個粗糙Vague集間的相似性，關聯熵系數ρ(RVA; RVB)同時考慮了上、下近似相似性程度，具有一定的合理性。

證明方法同性質5的證明類似，這里不再贅述。

粗糙Vague集是針對現實世界中所研究對象兼具模糊性和不可分辨性特點的新的理論方法，研究粗糙Vague集的關聯熵和關聯熵系數可為粗糙Vague集相似性度量提供一種新思路。

4 實例分析與比較

對于每個對象Vague取值的依據，這里暫不做討論，有時候是憑借專家經驗。由粗糙Vague集的定義可知，論域U上的兩個Vague集A、B在不分明關系R上的下、上近似Vague集分別為：

式中：gi分別代表論域U上的對象在等價關系R下的等價類。這樣，，分別為等價關系R下的兩個粗糙Vague集。

由粗糙Vague集關聯熵系數的定義，經計算可得：

則RVA和RVB的關聯熵系數，即在論域U中知識具有不可分辨關系的背景下，兩個Vague集A和B具有極高的相似度，難以區(qū)分。

同樣可以計算，若不考慮知識背景R時，Vauge集A和Vague集B的關聯熵系數ρ(VA; VB) = 0.84，則在模式識別或者聚類分析應用領域，若研究對象空間的粒度很細，即所研究對象可精確分辨的背景下，Vague集A和B相對容易區(qū)分。

為了進一步說明問題，下面和文獻[22-23]中有關直覺模糊集相似度在模式識別方面的應用來做對比分析。

例2 設有3個已知模式P1、P2與P3，分別被標注為 C1、C2與 C3類。3個模式 P1、P2與 P3是定義在論域U ={x1, x2, x3, x4}上的直覺模糊集。在此，我們將此例中的直覺模糊集用Vague集的形式表示，則有：

為了知道Q被劃分到C1、C2與C3的哪一個類，需要分別計算Q與3個已知模式P1、P2與P3的相似度。

在例2中，可以認為是最細粒度的粗糙Vague集，即每個對象xi都是可區(qū)分的。因此，只需要分別計算Q與P1、P2、P3的關聯熵系數即可。由定義 9 計算得知 ρ(P1; Q) = 0.96，ρ(P2; Q) = 0.97，ρ(P3; Q)=0.79。

其中，在計算ρ(P3; Q)過程中，由于P3在x2上的假隸屬度fx=0，因此在計算中使用了一個較小的數，這里用0.01來替換，得出P3與Q的關聯熵系數為0.79。如果用來替換的數值更小，關聯熵系數越小。因此，使用關聯熵系數來度量Vague集的相似度時，將Q識別為C2類，得到了和文獻[23]一致的結論。此外，Q與C1類之間的相似度和Q與C2類之間的相似度差別較小，這就是為什么在文獻[23]中，會出現采用某些度量方法將Q識別為C1類，有些度量方法將Q識別為C2類。

可見，文中采用關聯熵系數來度量粗糙Vague集相似度的方法，是Vague集相似度度量方法的推廣。當Vague集中對象之間完全可區(qū)分時，即可用來度量兩個Vague集的相似度；當Vague集中對象之間具有不可分辨關系時，即可用關聯熵系數來度量粗糙Vague集的相似度，此時，需要同時考慮上近似和下近似的相似程度。

5 結束語

若考慮一定的知識背景，即所研究對象在某種程度上不可分辨時，單純度量模糊集或者Vague集之間相似性的度量方法具有一定的局限性。有學者通過引入粗糙模糊集的關聯熵系數，用于度量粗糙模糊集的相似性程度就比較合理。當實際應用中所面對的研究對象為更符合人類直覺的Vague集時，本文提出了基于關聯熵系數的粗糙Vague集模型相似性度量方法，并通過實例驗證了方法的有效性，為粗糙Vague集的相似性度量提供一種新思路。在以后的研究中，將進一步討論粗糙Vague集相似性度量方法在真實數據集上的相關應用，為Vague集聚類分析、模式識別和大數據挖掘提供理論基礎。