童昌林 蔣海軍

摘要：本文將提出一種基于遞推式的方法來(lái)巧求復(fù)合函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)。然后通過(guò)論理證明該算方法的可行性以及相比于傳統(tǒng)算法的簡(jiǎn)單性。最后將用具體的例子進(jìn)行驗(yàn)證與對(duì)比。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù);鏈?zhǔn)椒▌t;高階混合偏導(dǎo)數(shù);似叉乘

一、 引言

偏導(dǎo)數(shù)（PartialDerivative）是一種特殊的極限，它反映了函數(shù)中因變量在某一固定方向隨自變量的變化而變化的快慢程度，是全微積分中重要的基礎(chǔ)概念，同時(shí)也是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要橋梁。在理論上，研究幾何性質(zhì)，證明不等式等方面扮演著重要的角色，在探究多元函數(shù)性質(zhì)，尋求多元函數(shù)極值與最值以及描繪函數(shù)圖形等方面也起著重要的作用。同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，也提供了重要的方法和基本途徑。例如求企業(yè)利潤(rùn)的最大化，生產(chǎn)耗材最少化，或效率最高化，位置最佳化等與經(jīng)濟(jì)或科學(xué)研究有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)之為優(yōu)化問(wèn)題。如何才能找到解決該類(lèi)問(wèn)題的最佳方案是求解該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，而利用導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)就可以簡(jiǎn)捷地解決這些問(wèn)題，從而真正解決我們的實(shí)際生活問(wèn)題。無(wú)論是在實(shí)際應(yīng)用中還是理論研究上，對(duì)復(fù)合函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)的求解大都無(wú)法避免，因此對(duì)其求解方法的研究是有意義。

對(duì)于傳統(tǒng)的求解法則來(lái)說(shuō)，復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的求解過(guò)程比較復(fù)雜繁瑣的，一般伴隨著求導(dǎo)階數(shù)的上升所用“鏈?zhǔn)椒▌t”的次數(shù)成倍數(shù)性增長(zhǎng)，所以復(fù)合函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)的求解至少需要運(yùn)用兩次的 “鏈?zhǔn)椒▌t”。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，往往感到求解過(guò)程復(fù)雜繁瑣且正確率較低。因此，在這篇文章中，將提出一種求解復(fù)合函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)便方法。該種辦法只需要運(yùn)用一次“鏈?zhǔn)椒▌t”解出復(fù)合函數(shù)關(guān)于各變?cè)钠珜?dǎo)數(shù)，然后通過(guò)我們約定的一些法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可得到答案。

二、 基本知識(shí)及相關(guān)法則約定

（一） 偏導(dǎo)數(shù)的定義

一般地，設(shè)f（x，y）是一個(gè)二元函數(shù)，定義在R2內(nèi)某一個(gè)開(kāi)集內(nèi)，點(diǎn)（x0，y0）∈D。在f（x，y）中固定y=y0，那么f（x，y0）是一個(gè)關(guān)于變?cè)獂的函數(shù)，如果它在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則稱(chēng)此導(dǎo)數(shù)是二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記為

fx（x0，y0）或fx（x0，y0）或fx′（x0，y0）

亦即

fx（x0，y0）=limΔx→0f（x0+Δx，y）-f（x0，y0）Δx

同樣，在f（x，y）中固定x=x0，那么f（x0，y）是一個(gè)關(guān)于變?cè)獃的函數(shù)，如果它在點(diǎn)y0可導(dǎo)，則稱(chēng)此導(dǎo)數(shù)是二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，記為

fy（x0，y0）或fy（x0，y0）或fy′（x0，y0）

亦即

fy（x0，y0）=limΔx→0f（x0，y0+Δy）-f（x0，y0）Δy

同樣地，n元函數(shù)f（x1，x2，…，xn）的偏導(dǎo)數(shù)fxi（x01，x02，…，x0n）或fxi（x01，x02，…，x0n）或f′xi（x01，x02，…，x0n） （1≤i≤n）可以類(lèi)似地定義。

（二） 高階偏導(dǎo)數(shù)

就二元函數(shù)而言，設(shè)f（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx（x0，y0），fy（x0，y0）都存在，顯然，它們都是二元函數(shù)。如果它們關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)存在，或者關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)存在，就這些偏導(dǎo)數(shù)就是二階偏導(dǎo)數(shù)，即

f關(guān)于x二階偏導(dǎo)數(shù)，記為2fx2或fxx或f″x，

f關(guān)于y二階偏導(dǎo)數(shù)，記為2fy2或fyy或f″y，

f先關(guān)于x后關(guān)于y二階混合偏導(dǎo)數(shù)，記為2fyx或fxy或f″xy，

f先關(guān)于y后關(guān)于x二階混合偏導(dǎo)數(shù)，記為2fxy或fyx或f″xy，

更高階的偏導(dǎo)數(shù)可以類(lèi)似定義。

（三） 關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)順序

定理1 設(shè)二元函數(shù)f的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)fxy或fyx在點(diǎn)（x0，y0）連續(xù)則有fxy（x0，y0）=fyx（x0，y0）。

類(lèi)似地，定義n元函數(shù)f（x1，x2，…，xn）的高階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)，從而彼此相等。

（四） 多元函數(shù)可微

設(shè)D是R2中的一個(gè)開(kāi)集，（x0，y0）∈D，f是定義在D內(nèi)的函數(shù)。如果

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）可以表示為

Δz=AΔx+BΔy+o（r）

其中A，B是兩個(gè)與點(diǎn)（x0，y0）有關(guān)而與Δx，Δy無(wú)關(guān)的常熟，r=Δx2+Δy2，即點(diǎn)（x0+Δx，y0+Δy）與（x0，y0）之間的距離。o（r）是當(dāng)r→0時(shí)關(guān)于r的高階無(wú)窮小量，則稱(chēng)f在點(diǎn)（x0，y0）可微。

定理2 設(shè)函數(shù)f的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx和fy在點(diǎn)（x0，y0）不僅存在，而且都連續(xù)，則函數(shù)f在點(diǎn)（x0，y0）可微。

（五） 鏈?zhǔn)椒▌t

設(shè)函數(shù)z=f（x，y）為二元函數(shù)，x=x（s），y=y（s）。由f，x，y可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

z=f（x（s），y（s））

則當(dāng)函數(shù)f在點(diǎn)（x0，y0）可微，x0=x（s0），y0=y（s0），而x（s），y（s）在s0均可導(dǎo)，則當(dāng)s=s0時(shí)，

zs=zxxs+zyys。

（六） 運(yùn)算法則的約定

在本文中約定函數(shù)的“叉乘”，“似偏導(dǎo)數(shù)”以及“平移似偏導(dǎo)數(shù)”的運(yùn)算法則，并且本文涉及的復(fù)合函數(shù)關(guān)于各變?cè)哂懈唠A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此由定理1有復(fù)合函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)。ui=u（x1，x2，…，xn）ui=u（x1，x2，…，xn）

設(shè)復(fù)合函數(shù)Z=Z（u1，u2，…，um）其中中間變量ui=ui（x1，x2，…，xn），i=1，2，…，m.從自變量x1，x2，…，xn中任意選取p個(gè)自變量（可重復(fù)選?。?，并且不妨記為Xp=（xi1，xi2，…，xip），1≤p其中xij，1≤j≤p是x1，x2，…，xn中的某一個(gè)，且記符號(hào)Xp=（xi1，xi2，…，xip）（注：此處無(wú)任何意義，只是一個(gè)符號(hào)表示）。則對(duì)于任意的a和b（實(shí)數(shù)或函數(shù)）都有：

由上證明知：當(dāng)k=m + 1時(shí)。求導(dǎo)公式也得證，所以由數(shù)學(xué)歸納法得對(duì)于所有的正整數(shù)k求導(dǎo)公式都成立。故該定理得證。

四、 偏導(dǎo)數(shù)定理的推廣

在本例題的求解中，無(wú)論是二階混合偏導(dǎo)數(shù)的求解還是三階混合偏導(dǎo)數(shù)的求解，運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)定理進(jìn)行求解都只用了1次鏈?zhǔn)椒▌t，而運(yùn)用傳統(tǒng)方法進(jìn)行二階混合偏導(dǎo)數(shù)的求解使用了3次鏈?zhǔn)椒▌t，三階混合偏導(dǎo)數(shù)的求解使用了6次鏈?zhǔn)椒▌t，并且比較上述兩種方法的求解過(guò)程不難得出;運(yùn)用本論文的方法求解高階混合偏導(dǎo)數(shù)要更為簡(jiǎn)便，計(jì)算量小。

例2：設(shè)f關(guān)于各變量均有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]歐陽(yáng)光中，等.數(shù)學(xué)分析（第三版，下冊(cè)）[M].復(fù)旦大學(xué)出版社，2011-06.

[2]張志會(huì).多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法[J].科技展望，2016，26（26）：233.

[3]王偉珠.多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的幾點(diǎn)注意[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，12（05）：22-23+26.

作者簡(jiǎn)介：

童昌林，蔣海軍，新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市，新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院。