☉江蘇省無錫市堰橋高級中學 陸旌霞

說數(shù)學和做數(shù)學對師生來說都不陌生，說數(shù)學泛指對數(shù)學問題解決方向的思考和嘗試，未必一定可做；做數(shù)學泛指對問題的具體嘗試，能做也未必一定能講清楚，使人接受.因此，對數(shù)學教學中的“說”與“做”，教師必須有清晰的認知，要從理論中有一定的思辨.

說數(shù)學 做數(shù)學思維性 思維廣度廣，可操作性未必能實現(xiàn)思維深度深，但思考角度較少操作性 操作性不強，更多是一種猜測操作性強，是對知識的實戰(zhàn)運用對比 優(yōu)點是思維廣度、發(fā)散性思維得到了培養(yǎng)優(yōu)點是親身經(jīng)歷了對不同問題方法取舍的實戰(zhàn)

因此可以這么說，說數(shù)學更多的是一種“探路”，而做數(shù)學是真正的“走路”.但在說的過程中不做，是不能理解是否真的可以解決問題；反過來一味地靠直覺思維做，而沒有更深、更廣的思、說數(shù)學，很難獲得更好的思維層次，因此兩者的相輔相成是教師教學更需要關注的.

一、先說再做

說，是思維過程的語言表述形態(tài).而思維的活躍性，往往決定了能否找出合適的方向，因此思和說成為問題解決的首要探路方向.筆者就某一問題進行了學生探索的記錄，跟讀者一起來看看.

問題1：如圖1，過x軸上一動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP，AQ，P、Q為切點，設切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4.

（2）試問：直線PQ是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

分析：本題是筆者給本備課組一次組內說題比賽時選用的一道圓錐曲線題.請教師從說數(shù)學的視角首先說一說解決的可能性，然后從做一做的視角嘗試.主要是為了考查教師自身解決圓錐曲線問題的能力.

圖1

教師甲（新教師）：我從最根本的角度思考，利用相切問題判別式等于0來求解，我覺得這是最簡單的思維方式，對于第（2）問，要求定點只需要寫出直線方程即可教師乙（5年教齡）：我是想到了算兩次的想法，解析幾何中算兩次的使用非常多，本題中P、Q為切點，顯然利用了同理算兩次的原理，因此我是從這樣的斜率角度去思考教師丙（1 0年教齡）：對于第（1）問，可以從方程思想出發(fā)思考，顯然是過一個點引兩條切線，其斜率是同一方程的兩解，因此可以認為方程思想合適，第（2）問我倒是認為算兩次使用比較合理

說的僅僅是思路，接下來請教師試一試，他所說的方式到底能不能行得通？

教師丙（10年教齡）法3：（1）設過A（a，0）與拋物線y=x2+1相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為y=k（x-得x2-kx+（ka+1）=0，故Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4.

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），故切線AP的方程是x1x+1，切線AQ的方程是.又A點在AP、AQ上，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

二、邊做邊說

剛剛談到了先說后做，這樣的方式存在一個很明顯的問題，即萬一說的思維并不能實現(xiàn)，怎么辦？因此，現(xiàn)在說數(shù)學和做數(shù)學相比，并不是一先一后的方式，更多的是以并存的方式實現(xiàn)和進行的.研究一個課題教學問題2.

問題2：設A和B為圓周x2+y2=1上的兩個動點，且滿足與圓內一定點，求過點A和B的兩條切線的交點M的軌跡方程.

分析：本題是筆者改編自江西高考理14題，切點弦的考查是熱點問題，也是難點問題.請學生在不斷嘗試過程中，邊做邊說，實現(xiàn)問題的解決和思維的螺旋上升.考慮角度：圓方程是最為特殊的二元二次曲線，學生不難求得其切點處的切線方程；另一問，從∠ANB=可獲得等量關系，進而得到A，B坐標的關系，最終解決切點弦方程.

圖2

師：思考本題，看看怎么解決？

師：請試一試.

師：到此處，請你思考，你聯(lián)想到了什么？

生：從這個結構來說，自然是韋達定理.

師：需要跟哪些點有關的韋達定理？

生：自然是直線AB方程有關的韋達定理.

師：那么現(xiàn)在首先解決直線AB方程，思考：過圓C：x2+y2=r2外一點M（x0，y0）作圓的兩條切線MA、MB，求切點A、B所在直線方程？

生：這個我做好了，可以利用點的坐標進行解決.

師：這位同學的思考是非常合理的，因為用“點”去解決解析幾何問題是最為常規(guī)的方式.

生：我是這樣解決的，我想利用我最熟悉的思路，即判別式等于0表示直線和圓相切，也能得到.設A（x1，y1），B（x2，y2），切線lMA：y=k（1x-x1）+y1，聯(lián)立lMA與圓C方程得關于x的一元二次方程，由Δ=0得k=-x，得切線MA的方程

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生：老師，我也可以用剛剛學的導數(shù)來求切線（.這位同學的做法很新鮮）設A（x1，y1），B（x2，y2），將y2=r2-x2兩邊對x求導得2yy′=-2x，于是有y′=-，所以切線MA的方程為y-y1=-（x-x1），即x1x+y1y=x12+y12=r2.同理lMB：x2x+y2y=r2.又M（x0，y0）在直線MA，MB上，則表示A（x1，y1），B（x2，y2）兩點都在直線x0x+y0y=r2上，即切點弦lAB：x0x+y0y=r2.

師：非常好！這樣我們可以對切點弦問題做一個總結了.

過圓 C：x2+y2=r2上一點 P（x0，y0）的切線方程為 x0x+y0y=r2.過圓 C：x2+y2=r2外一點 P（x0，y0）作圓的切線，切點為 A，B，則切點弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2.

師：用最后一位同學切點弦的思路，我們來解決原題.

總之，做數(shù)學和說數(shù)學是不可分割的，說是為了更好地做，做則實現(xiàn)了說的目的.筆者以為教師間也要多開展類似活動，讓說和做呈現(xiàn)一定的交替，從而在一定程度上實現(xiàn)教師教學能力的提升.F