☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 戴御梅

對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行有目的、有計(jì)劃的變形并因此將學(xué)生引領(lǐng)進(jìn)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題中進(jìn)行思考與探究的教學(xué)就是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常提及的變式教學(xué).變式教學(xué)這一教學(xué)手段雖然在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了很廣泛的運(yùn)用，但變式的有效性卻不是每位教師在教學(xué)中都能夠保證的.事實(shí)上，教師在教學(xué)中應(yīng)首先考慮學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，并引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中探尋“不變”的問(wèn)題本質(zhì)，并繼續(xù)探求出其中“變”的規(guī)律并因此充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究熱情，使得學(xué)生能夠在積極的思考中獲得數(shù)學(xué)能力與思維水平的雙方面發(fā)展.筆者在“向量”的復(fù)習(xí)教學(xué)中曾經(jīng)著眼于一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行了有效的變式與探究，效果很好.

一、問(wèn)題的提出

圖1

設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題將作圖方法、基本知識(shí)、解題技巧都進(jìn)行了較好的復(fù)習(xí)，而且還為后續(xù)的變式研究打下很好的基礎(chǔ).

二、系數(shù)簡(jiǎn)單變式

設(shè)計(jì)意圖：三角形排列順序使面積比跟條件等式中的順序保持一致是筆者有意而為之，這一更加貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的安排能夠有效促進(jìn)學(xué)生思考.

圖2

圖3

師：通過(guò)條件等式的轉(zhuǎn)化及平行四邊形的法則作圖使得P點(diǎn)位置得以確定.確定P點(diǎn)位置是否可以與引例聯(lián)系呢？

生4：構(gòu)造三角形并使點(diǎn)P成為三角形的重心之后借助引例的結(jié)論來(lái)解決.

如圖4，延長(zhǎng)PB至點(diǎn)B，使

圖4

1PB1=2PB，延長(zhǎng)PC至點(diǎn)C1，使PC1=3PC，連接AB1、AC1，所以，由引例，P是△ABC的重心，所以S=

11△PAB1

S△PAC1=S△PB1C1，易得S，所以

△PAC1

師：我們都知道平行四邊形法則、三角形法則是解決向量和差這一類問(wèn)題的重要方法，還有其他方法嗎？

生5：坐標(biāo)運(yùn)算法也可用，我覺(jué)得取特例正三角形ABC是可行的.

筆者及時(shí)進(jìn)行了鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生探尋解題思路.

圖5

師生共同運(yùn)用從特殊到一般的解題思路進(jìn)行了探究，如圖5，由兩邊向量縱坐標(biāo)相等得（yA-yP）+2（yB-yP）+3（yC-yP）=0，所以yA=6yp，所以

師：太棒了！

筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此題所運(yùn)用的所有解法進(jìn)行了總結(jié)與對(duì)比，對(duì)于學(xué)生能夠積極思考并將類比、轉(zhuǎn)化等思想方法運(yùn)用得如此游刃有余進(jìn)行了及時(shí)的表?yè)P(yáng)和肯定，學(xué)生從數(shù)的角度、形的角度對(duì)同一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了不同的思考.此時(shí)有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了題中最后求得的面積比正好是已知等式中系數(shù)的比這一現(xiàn)象，筆者沒(méi)有進(jìn)行簡(jiǎn)單的否定或忽略，而是將學(xué)生的這一發(fā)現(xiàn)當(dāng)成了訓(xùn)練學(xué)生推理能力的契機(jī)，于是讓學(xué)生進(jìn)行了驗(yàn)證猜想的引導(dǎo)并獲得了意外的收獲.

生6：我換了三個(gè)系數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，發(fā)現(xiàn)面積的比剛好都是已知等式中系數(shù)的比，這是巧合嗎？還是本來(lái)就存在這樣的規(guī)律呢？

學(xué)生很快投入到自己的思考及演算中去了.

三、探尋問(wèn)題本質(zhì)規(guī)律

師：當(dāng)真會(huì)有如此奇妙的規(guī)律嗎？大家首先自己探討一下.要想使面積之比與已知等式中系數(shù)之比相等就必須滿足系數(shù)符號(hào)均為同號(hào)這一條件.接下來(lái)讓我們以正數(shù)來(lái)驗(yàn)證這一規(guī)律吧.

生7：經(jīng)過(guò)驗(yàn)證能發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律在一般情況下一樣成立.

大多學(xué)生運(yùn)用變式1的第三種方法對(duì)此規(guī)律進(jìn)行了驗(yàn)證，驗(yàn)證的成功使得學(xué)生都很興奮，對(duì)于變式與拓展的探究熱情更加高漲，筆者乘勢(shì)拋出了進(jìn)一步拓展的問(wèn)題：

學(xué)生在一定的方法比較之后選擇了坐標(biāo)法進(jìn)行解題，則△PBC、△ABC的面積之比等于P、A縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之比，則S1∶S2∶S3等于|m|∶|n|∶|p|.

全班響起了熱烈的掌聲.

四、探求“形似”問(wèn)題的本質(zhì)區(qū)別

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從形似問(wèn)題的解決中認(rèn)識(shí)到簡(jiǎn)單套用結(jié)論做題是比較片面的做法，解題時(shí)應(yīng)搞清楚條件與結(jié)論的對(duì)應(yīng)關(guān)系并運(yùn)用好轉(zhuǎn)化與處理問(wèn)題的方法，使學(xué)生能夠在這種類似題目中進(jìn)一步提煉解題的思想方法.

有學(xué)生在這兩個(gè)變式練習(xí)中感覺(jué)困難，教師可以加以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥來(lái)幫助學(xué)生突破難點(diǎn)、總結(jié)解題規(guī)律和注意點(diǎn).

生8：等式左邊的三個(gè)向量都是將非三角形的頂點(diǎn)作為起點(diǎn)的，而等式右邊又是零向量，小三角形面積比的系數(shù)對(duì)應(yīng)著所給等式左邊中不在小三角形中的向量系數(shù)，比如變式1中△PBC缺少A，因此面積之比中和它對(duì)應(yīng)的就是P—

→A的系數(shù).師：這個(gè)結(jié)論很好，不過(guò)進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、猜想與驗(yàn)證等思想方法在今后學(xué)習(xí)中的作用才是更加重要的，大家在課后再考慮一下，這個(gè)結(jié)論反過(guò)來(lái)是否成立.

設(shè)計(jì)意圖：這一設(shè)計(jì)對(duì)于學(xué)生思維的縱深發(fā)展是尤為有意義的，學(xué)生在這樣的變式中進(jìn)一步拓展了思維的空間及辯證看待問(wèn)題的意識(shí).

貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)的有效變式能夠使學(xué)生的好奇心在這些拓展性練習(xí)中更加強(qiáng)烈，探究知識(shí)的愿望轉(zhuǎn)化成了學(xué)生內(nèi)心的強(qiáng)烈需求，學(xué)生思維的活力、探究的主動(dòng)性也因此得以更好地展現(xiàn).

教師設(shè)計(jì)有效變式進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識(shí)地為學(xué)生創(chuàng)造更加廣博的思考與探究空間，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從各種不同角度觀察問(wèn)題、思考問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，使學(xué)生能夠在解題時(shí)有意識(shí)地探究更多不同的解題思路與方法，在條件的增刪、變化中拓展數(shù)學(xué)問(wèn)題并探究一般規(guī)律，使學(xué)生的思維空間與學(xué)科素養(yǎng)都在問(wèn)題變式的探究與解決中不斷得到拓展.F