☉江蘇省宜興第一中學 孫梓楠

“估算”雖然在高中數(shù)學教學中不為廣大教師所重視，但實際上，“估算”在學生的數(shù)學學習中所起的作用卻是不容小覷的，因此，教師在實際教學中應引導學生加強對估算價值的認識并因此培養(yǎng)學生較強的估算應用意識.

一、高中數(shù)學估算的分類

1.近似估算

觀察數(shù)學問題的本質并采取有效方法對問題中的數(shù)據(jù)適當擴大或縮小而實施的近似處理即為近似估算.

2.局部估算整體

面對若干元素構成的復雜結果而采取局部研究并將結果進行比較選答的估算方法稱作局部估算整體.

3.極限法估算

一些幾何類的選擇題或填空題往往可以運用極限運算進行嘗試.

4.特例估算

對一般性問題進行選取特例、特殊值或驗證備選答案等即為特例估算.不過，運用特例估算時應根據(jù)題意與備選答案探求各備選答案之間的聯(lián)系與區(qū)別，結合特殊的數(shù)值、圖形、函數(shù)、數(shù)列等進行檢驗并因此獲得正確答案.

5.構造模型估算

構造正四面體、正方體、長方體、三角形等模型是解決很多立體幾何問題中常用的估算方法；構造二次函數(shù)、一次函數(shù)模型是解決很多函數(shù)問題的估算方法.

6.猜想與直覺估算

在直覺的引領下并結合已知條件進行估算.

7.一般規(guī)律估算

一些具體的個體情況可以采取通用的一般規(guī)律進行估算和驗證.

8.表象估算

根據(jù)題意在頭腦中建立相應的表象進行估算與驗證.

二、高中數(shù)學中估算的運用

1.利用教材資源實施估算教學

教材中的很多案例都隱含著一定的估算思想與方法，教師在具體教學中應善于運用這些案例培養(yǎng)學生的估算意識、思想與能力.

案例1：統(tǒng)計中的估算.

抽取樣本并估算總體的分布、特征以及事件在某一范圍內的發(fā)生頻率等等都是統(tǒng)計這一范疇內的估算.

例如，某校高三學生在高考前進行了視力檢查，隨機抽樣其中100名學生視力情況制作成以下頻率分布直方圖（如圖1）.學校管理員不慎丟失了其中的一部分數(shù)據(jù)，不過可以知道的是后5組的頻數(shù)成等比數(shù)列，假設視力在4.6～4.9之間的學生人數(shù)是a，最大頻率是b，則a、b的值分別是______.

粗看此題總會感覺題中的條件似乎不足，不過，仔細閱讀、分析后不難發(fā)現(xiàn)：

第一組：頻率=0.5×（4.5-4.4）=0.05，頻數(shù)=0.05×100=5；

第二組：頻率=1.1×（4.6-4.5）=0.11，頻數(shù)=0.11×100=11；

第三組：暫時不知.

因為后5組的頻數(shù)是人數(shù)，因此題中等比數(shù)列中的元素都為整數(shù)，因此其最小公比是2或3，所以后5組的頻數(shù)分布有下表中的幾種可能：

第四組 第五組 第六組 第七組 第八組1 6 8 4 2 1 3 2 1 6 8 4 2 8 1 2 7 9 3 1 1 6 2 5 4 1 8 6 2

表中最后兩行顯示的頻數(shù)和超過100明顯太大了.從直方圖中也不難估算出第七組與第八組的頻數(shù)都應該是小于5的，第六組的頻數(shù)則應該在5～11，第五組的頻數(shù)則應大于11，但對照表中的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，只有32，16，8，4，2是適合的，因此，最大頻率b=0.32，第三組：頻數(shù)是22，因此視力在4.6與4.9之間的學生人數(shù)a=70.

估算在此題的解決中無疑起到了巨大的作用，但很多學生在這方面的能力是比較欠缺的.

2.教學中滲透估算思想

教師在實際教學中不斷滲透估算思想能夠有效幫助學生形成估算的意識，只有這樣，學生才能在不斷的練習中逐步掌握估算的方法和策略.

圖2

3.培養(yǎng)學生估算意識

學生豐富的生活經驗能夠更好地幫助學生估算生活化的實際問題，因此，教師在平時的教學中應經常鼓勵學生留意生活實際問題并從中體驗數(shù)學價值，在增強學生估算應用意識的同時教會學生理性思考并因此提升估算能力，使學生對實際應用和數(shù)學模型之間的聯(lián)系與差異形成更好的理解與估計.

4.估算中剔除錯解

分析：根據(jù)上述兩種結果可得cosC＞0，∠C為銳角，看似沒有任何矛盾.

因此，可求sinC的值如下：

sinC=sin［π -（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+而這對于三角形的內角C∈（0，π），sinC＞0恒成立是矛盾的.

題中∠B不可能為鈍角是何原因呢？怎樣幫助學生在解題中能夠主動發(fā)現(xiàn)并預防解題錯誤呢？估算角的范圍在此處是極有價值的.

三角內容與其它數(shù)學模塊相比公式更多、應用更廣、方法更活且更容易出錯，學生在三角函數(shù)問題的解決中產生的錯誤往往集中在兩個方面，一個是角的范圍，還有一個就是三角函數(shù)取值區(qū)間的界定，因此，教師在三角函數(shù)的實際教學中可以引導學生進行估算來判斷解題的可靠性，學生一旦明確估算的意義便更容易在具體解決中聯(lián)想這一方法的運用并逐步掌握估算的方法，很多三角函數(shù)相關問題的解決因為估算的介入而變得更具可靠性與準確性，學生運用估算檢驗解題思路與過程的同時還能提前防范多余答案或錯誤答案的產生，解題也會因此變得更加簡潔而準確.

由此可見，估算思想、意識與能力的培養(yǎng)在高中數(shù)學的學習過程中是具備重要意義的，因此，教師在具體教學中應切實思考如何培養(yǎng)學生的估算意識與能力這一問題，在教學的準備環(huán)節(jié)有意識地進行估算教學的滲透、設計與思考，從相關數(shù)學理論知識、解題方法等各方面對學生進行長期的熏陶與啟發(fā)，使學生在教師有意識的設計、教學與引導中逐步培養(yǎng)起估算意識并逐步掌握估算的方法.F