樊戰(zhàn)亭

（咸陽師范學院 物理與電子工程學院，陜西 咸陽 712000）

三相交流電動機具有結(jié)構(gòu)簡單、制造容易、維修工作量小等多種優(yōu)點，逐漸取代部分直流電動機在生產(chǎn)生活中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。三相交流電動機具有非線性、強耦合、多變量的性質(zhì)，要求獲得高動態(tài)調(diào)速性能，就要對電動機進行矢量控制等高精度控制，進行三相交流電動機坐標變換是進行交流電機控制重要組成部分之一[2-5]。本文主要討論三相交流電機坐標變換的原理、公式，并用Simulink軟件進行仿真，比較詳細地給出仿真參數(shù)的設(shè)定、仿真結(jié)果的分析，能夠為三相交流電機的坐標變換的理解和應(yīng)用提供較好的參考。

1 三相交流電機坐標變換理論依據(jù)

三相交流電機坐標變換的目的是為了實現(xiàn)高性能的控制，針對三相定子勵磁繞組進行坐標變換，借鑒直流電動機的控制方法。直流電動機因勵磁繞組和電樞繞組相互垂直，對兩者分別進行控制，容易實現(xiàn)對直流電動機高精度的控制。如果將三相交流電動機三個互差120°的三相繞組等效變換成類似直流電動機的勵磁繞組與電樞繞組相互垂直的兩相繞組模型，三相交流電機的分析和控制就會大大簡化。

在三相交流電機靜止三相繞組，通以三相對稱的正弦交流電流時，所產(chǎn)生的合成磁動勢是旋轉(zhuǎn)磁動勢，并以同步轉(zhuǎn)速（交流電的角頻率）旋轉(zhuǎn)。兩個相位相差90°的繞組，通以幅值相同相位相差90°的正弦交流電流時，也會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動勢[6]。因此，三相繞組可以用相互正交兩相對稱繞組等效，并且必須保證兩種不同坐標下繞組所產(chǎn)生的合成磁動勢相等。

2 三相交流電機坐標變換

把靜止的三相交流電機坐標系轉(zhuǎn)變?yōu)樾D(zhuǎn)的兩相坐標系，先要把三相靜止繞組變換到兩相靜止繞組，再把兩相靜止繞組變換到兩相旋轉(zhuǎn)正交繞組。

2.1 靜止三相-靜止兩相變換

靜止三相到靜止兩相磁動勢的變換如圖1所示。把靜止三相繞組A、B、C變換到兩相對稱繞組α、β，兩個坐標系原點重合，并使A軸和α軸重合。設(shè)三相及兩相繞組每相有效匝數(shù)分別為N3、N2，iA、iB、iC分別靜止ABC繞組中的交流電流，幅值相同、圓頻率均為 ω1、相位相差120°。 iα、iβ為 α、β 軸中的電流，磁動勢為有效匝數(shù)與電流的乘積，以逆時針旋轉(zhuǎn)為正方向。

按照磁動勢相等的等效原則，三相合成磁動勢與兩相合成磁動勢相等，把A、B、C軸的磁動勢分別分解到α、β軸有[7]

圖1 靜止三相和靜止兩相磁動勢變換圖

因為靜止坐標變換由三相變換為兩相取N3/N2=2/3[7]，可得

2.2 靜止兩相-旋轉(zhuǎn)兩相變換

靜止兩相到旋轉(zhuǎn)兩相的變換如圖2所示。把靜止兩相對稱繞組α、β磁動勢分解到兩相旋轉(zhuǎn)繞組d、q軸，繞組每相有效匝數(shù)均為N2。靜止兩相交流電流為 iα、iβ，旋轉(zhuǎn)兩相電流id、iq產(chǎn)生同樣以角速度ω1旋轉(zhuǎn)的合成磁動勢F，其中交流正弦電流iα、iβ的圓頻率為 ω1。d、q軸為旋轉(zhuǎn)坐標系，α軸與d軸的夾角φ為變量，夾角的導數(shù)為ω1，與電流iα、iβ的圓頻率相同。

圖2 靜止兩相和旋轉(zhuǎn)兩相磁動勢變換圖

按照磁動勢相等的等效原則，并把匝數(shù)N2消去由圖2可得

3 三相交流電機坐標變換建模

三相交流電機坐標變換的建模采用Simulink軟件，Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具，基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，能夠?qū)崿F(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包[8-9]。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，只要通過直觀的鼠標操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)，容易對仿真參數(shù)的設(shè)定和修改，能夠?qū)崿F(xiàn)輸入、輸出和中間變量的可視化。

三相交流電機坐標變換的建模主要通過公式（3）-（6）共四個公式來完成，其仿真模型如圖3所示。圖3中A、B、C為靜止三相通入的交流電流，通過公式（3）（4）轉(zhuǎn)變?yōu)殪o止兩相α、β，再利用公式（5）（6）轉(zhuǎn)換為兩相旋轉(zhuǎn)坐標d、q軸。α軸與d軸的旋轉(zhuǎn)角度φ為

其中φ0為α軸與d軸的初始夾角，ω1與靜止三相交流電流的圓頻率及轉(zhuǎn)向相關(guān)，t為仿真時間。進行仿真時，隨著仿真時間增加φ不斷變化就相當d、q軸在不斷旋轉(zhuǎn)。

整個坐標變換三相靜止坐標輸入三相電流圖形能夠通過示波器ABC觀察，兩相靜止、兩相旋轉(zhuǎn)坐標系電流的輸出分別通過示波器α-β、d-q查看。整個坐標變換仿真模型比較簡單、直觀、方便實現(xiàn)、易于觀察結(jié)果。

圖3 三相交流電機坐標變換仿真模型圖

4 三相交流電機坐標變換仿真

三相交流電機靜止三相繞組通以三相對稱交流電流，產(chǎn)生的合成磁動勢是以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的磁動勢。仿真參數(shù)的設(shè)定要根據(jù)上述原理來進行，主要包括三相坐標電流、兩相旋轉(zhuǎn)坐標的旋轉(zhuǎn)速度及方向、α軸與d軸的初始夾角等3部分參數(shù)設(shè)定。三相坐標電流必須設(shè)定為幅值相同、頻率相同及初始相位角相差120°的對稱交流電；兩相旋轉(zhuǎn)坐標的旋轉(zhuǎn)角度ω1絕對值必須與三相坐標電流的頻率相同，其正負由三相坐標電流初始相位由大變小的順序方向確定；最后設(shè)定α軸與d軸的初始夾角。參數(shù)設(shè)定正確最終輸出兩相旋轉(zhuǎn)電流（磁動勢）為直流，否則輸出電流不為旋轉(zhuǎn)直流電流。

合成磁動勢旋轉(zhuǎn)方向是參數(shù)設(shè)定的重要問題，其方向由ABC靜止三相通入對稱三相交流電流的相位來確定，旋轉(zhuǎn)方向是由三相交流電初始相位較大的相向相位較小的相進行旋轉(zhuǎn)。如果設(shè)定iA=10sin(100πt)A 、iB=10sin(100πt-2π/3)A 和iC=10sin(100πt-4π/3)A 時，合成磁動勢的旋轉(zhuǎn)方向由A-B-C-A為逆時針旋轉(zhuǎn)（正轉(zhuǎn)），圖3中的omega1應(yīng)取100π（100*pi），與輸入交流電流的圓頻率相同。如果把iB、iC電流值進行互換，合成磁動勢的旋轉(zhuǎn)方向就變?yōu)锳-C-B-A為順時針（反轉(zhuǎn)），則omega1要取值為-100π，絕對值與電流圓頻率相同，由于反轉(zhuǎn)取負值。

以正轉(zhuǎn)為例進行仿真，iA、iB和iC取值同上述正轉(zhuǎn)方向，omega1為旋轉(zhuǎn)角速度100 π（50*2*pi），d軸與α軸起始角度φ0為零，取仿真時間設(shè)為0.06秒，仿真結(jié)果分別如圖4、圖5和圖6所示。

圖4 靜止三相輸入電流圖

圖5 靜止兩相輸出電流圖

圖6起始角度為0時旋轉(zhuǎn)兩相輸出電流圖

圖4 表示三相靜止坐標系的交流電流（磁動勢），3個正弦波分別表示iA、iB和iC3個靜止坐標系通入三相對稱交流電（磁動勢），方向為A-B-C-A逆時針旋轉(zhuǎn)。圖5為靜止兩相輸出電流（磁動勢），表示把三相靜止坐標系經(jīng)變換后成為兩相靜止坐標系的電流（磁動勢），其峰值為10 A，α軸上交流電流與iA相同，α軸電流相位超前β軸電流90°，合成電流（磁動勢）方向為α-β-α也為逆時針，其圓頻率與三相靜止電流的圓頻率均為100π，其幅值、頻率及合成磁動勢方向不變。圖6表示靜止兩相交流電流（磁動勢）經(jīng)變換后成為旋轉(zhuǎn)直流電流（磁動勢），其中d軸輸出電流為0，q軸輸出電流為-10 A，并以100π/s的角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，坐標旋轉(zhuǎn)速度與靜止三相、靜止兩相的圓頻率相同。

如果把α軸和d軸起始位置角度變?yōu)棣?3，則靜止兩相輸出電流不變，旋轉(zhuǎn)兩相輸出電流如圖7所示。圖7表示旋轉(zhuǎn)兩相輸出直流電流（磁動勢）圖，其中d軸輸出電流為-8.66 A，q軸輸出電流為-5A，以100 π/s的角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，坐標旋轉(zhuǎn)速度與靜止三相、靜止兩相的圓頻率相同，旋轉(zhuǎn)方向為逆時針。

圖7 起始角度為π/3時旋轉(zhuǎn)兩相輸出電流圖

對比圖6、圖7直流電流輸出，由于兩者均表示旋轉(zhuǎn)磁通勢，并且旋轉(zhuǎn)速度相同。分析在t趨近0+時情況，t趨近0+時，圖6表示α軸和d軸重合，d軸電流為0，q軸為-10 A，合成電流（乘以匝數(shù)為磁動勢）為10 A方向與q軸（β軸）負方向重合。因為三相交流輸入不變，兩相旋轉(zhuǎn)直流輸出不變，直流合成磁動勢（合成電流）不變。圖7表示把合成電流（β軸為-10 A）分解到與α軸夾角起始角度為π/3時的d、q軸上，會得到id=-8.66 A，iq=-5 A，與圖7輸出電流結(jié)果一致。如果取其他起始角度同樣把β軸上的-10 A電流分解到與α軸相應(yīng)夾角d、q軸就可得到相應(yīng)的結(jié)果。當α軸與d軸夾角不同時，相同三相靜止坐標通入三相對稱交流電時，經(jīng)過靜止三相交流變換靜止兩相交流再到旋轉(zhuǎn)兩相直流，旋轉(zhuǎn)兩相d、q軸上直流電流（磁動勢）是不同的，但是合成電流（磁動勢）是相同的。在交流電機中d、q軸上不同直流會產(chǎn)生不同的輸出轉(zhuǎn)矩，在不同轉(zhuǎn)矩負載時，保證電機在不同轉(zhuǎn)速下平穩(wěn)的運行，實現(xiàn)對交流電機比較高精度的控制。

5 結(jié)論

按照三相交流電機坐標變換磁動勢不變的原則，推導出三相靜止轉(zhuǎn)換兩相靜止、兩相靜止轉(zhuǎn)換兩相旋轉(zhuǎn)的電流關(guān)系。應(yīng)用Simulink對兩種變換進行建模，給出仿真參數(shù)的設(shè)定方法，分析了不同輸入仿真結(jié)果。比較直觀地證明ABC三相對稱繞組通入三相對稱交流電能夠轉(zhuǎn)換為α、β兩相對稱坐標軸通入兩相對稱交流電，最后變換成為在d、q軸通入直流電所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場。能夠較深入地說明三相交流電機坐標變換的原理、建模和結(jié)果，為交流電機矢量控制等高精度控制方法的應(yīng)用打下較好的基礎(chǔ)。