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        2018年高考全國I卷解析幾何題的探究與推廣

        2018-09-13 02:11:30廣東省湛江一中培才學(xué)校524037魏欣
        關(guān)鍵詞:過點(diǎn)理科代數(shù)

        廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏欣

        廣東省雷州市第八中學(xué)(524232) 鄧春梅

        一道高考解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)定理的特殊情況.如果掌握了定理的原理,也就把握了試題的本質(zhì).對一些典型的試題,不應(yīng)滿足于會解,可以引導(dǎo)學(xué)生深入探究試題背后的知識背景,挖掘問題的本質(zhì).這樣才能真正找到解決問題的方法,學(xué)會用更高觀點(diǎn)去看待數(shù)學(xué)問題,把握問題的本質(zhì).正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題,觀察分析,自主探究,提出有意義的數(shù)學(xué)問題,探求適當(dāng)?shù)男再|(zhì)結(jié)論或規(guī)律.以下是引導(dǎo)學(xué)生從2018年高考全國I卷解析幾何題出發(fā),探究圓錐曲線的性質(zhì),揭示問題的本質(zhì).

        一、試題展示

        圖1

        題目1(2018年高考全國I卷文科第20題)如圖1所示,設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(?2,0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).

        (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線BM的方程;

        (2)證明:∠ABM=∠ABN.

        解(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),l的方程為x=2,可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,?2).所以直線BM的方程為或

        (2)(i)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.

        (ii)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為x=ky+則x1>0,x2>0.由2消去x,得y?2ky?4=0,所以

        直線BM,BN的斜率之和為

        將[1]式和x1=ky1+2、x2=ky2+2代入[2]式分子,可得

        所以kBM+kBN=0.可知直線BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.

        綜上所述,∠ABM=∠ABN.

        圖2

        題目2(2018年高考全國I卷理科第20題)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

        點(diǎn)評以上兩題是2018年高考全國I卷的倒數(shù)第二題,是選拔題.第(1)問根據(jù)直線方程的求法,多數(shù)學(xué)生都能完成,第(2)問是個(gè)探索性問題,重點(diǎn)考查用坐標(biāo)法研究圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題,考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想,同時(shí)考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”,是平幾中的角平分線問題,但本題的解決過程卻充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想,可以將等角的幾何關(guān)系式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)代數(shù)關(guān)系式,然后再用坐標(biāo)法來處理.本題看起來很平常,實(shí)際上卻背景豐富,有一定難度和區(qū)分度,也有很大的教學(xué)價(jià)值和研究空間,下面重點(diǎn)研究第二小問的相關(guān)性質(zhì).

        二、性質(zhì)研究

        圖3

        性質(zhì)3的證明與性質(zhì)2的證明相仿,篇幅關(guān)系,此處不再贅證.

        三、性質(zhì)推廣

        圖4

        性質(zhì)6已知拋物線y2=2px(p>0)及A(m,0)、B(?m,n)(其中),直線l過點(diǎn)A且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q,設(shè)直線PB、AB、QB的斜率分別為kPB、kAB、kQB,則kPB+kQB=2kAB.

        性質(zhì)5、性質(zhì)6的證明與性質(zhì)4的證明相仿,篇幅關(guān)系,不再贅證.

        四、真題回顧

        由以上性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn),在2015年全國I卷理科第20題、2015年北京卷理科第19題、2015年四川卷理科第20題、2013年陜西卷理科第20題、2010年全國卷I理科第21題、2008年福建卷文科第22題,也均以上圓錐曲線的性質(zhì),體現(xiàn)了高考試題“??汲P?推陳出新”的理念.均可以用上述的通性通法來解答,由于篇幅關(guān)系,此處之作簡析.

        1.(2015年高考全國I卷理科第20題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與直線交與M、N兩點(diǎn).

        (I)略;(II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

        簡析(II)由性質(zhì)1易得直線l過y軸上的定點(diǎn)P(0,?a).

        (I)略;(II)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱,直線PB交x軸于點(diǎn)N.問:y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

        簡析(II)由性質(zhì)2易得,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或

        2.3 療效判定 治療前,兩組患者視力水平無顯著性差異,經(jīng)過3周臨床連續(xù)性靜脈注射前列地爾治療后,治療組有效率顯著高于對照組(P<0.05)(見表 3)。

        圖5

        (I)求橢圓E的方程;

        (II)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

        簡析(I);(II)由性質(zhì)2可知,存在點(diǎn)Q(0,2),使得恒成立.

        4.(2013年陜西卷理科第20題)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

        (I)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程.

        (II)已知點(diǎn)B(?1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q,若x是∠PBQ的平分線,證明直線l過定點(diǎn).

        簡析(I)y2=8x;(II)類比性質(zhì)2易得,直線l過定點(diǎn)(1,0).

        5.(2010年全國卷I理科第21題)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)K(?1,0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D.

        (I)證明:點(diǎn)F在直線BD上;(II)略.

        簡析由條件知焦點(diǎn)F(1,0),點(diǎn)A、D關(guān)于x軸的對稱,直線BD不與x軸垂直,類比性質(zhì)1可得,直線BD過焦點(diǎn)F在直線BD上.

        6.(2008年福建卷文科第22題)已知橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),且橢圓過點(diǎn)(2,0).

        圖6

        (I)求橢圓C的方程;

        (II)如圖6,若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦,直線l:x=4與x軸交于點(diǎn)N,直線AF與BN交于點(diǎn)M.

        (1)求證:M點(diǎn)恒在橢圓C上;(2)略.

        簡析(I)求得橢圓C的方程為

        (II)(1)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,0),易得設(shè)直線BN與橢圓C交于另一點(diǎn)M1,由AB為垂直于x軸的弦知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱,則直線AM1不與x軸垂直.由性質(zhì)4可得,直線AM1過焦點(diǎn)F(1,0),即直線AF過點(diǎn)M1,又由條件知直線AF過點(diǎn)M,且M、M1都在直線BN上,則點(diǎn)M、M1重合,故點(diǎn)M恒在橢圓C上.

        五、備考建議

        1.解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題.在解題過程中,首先要將文字信息、圖形條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換,通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系,將已知的幾何條件表示成代數(shù)式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算得出代數(shù)結(jié)果,最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題.在這個(gè)過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之問的多重轉(zhuǎn)換,因此,我們必須重視對幾何關(guān)系的深入研究,探究用何種代數(shù)形式能恰當(dāng)表示題目中的幾何關(guān)系,同時(shí)有利于代數(shù)運(yùn)算,從而形成正確的解題策略.

        2.重視解析幾何的運(yùn)算教學(xué).“不會運(yùn)算、運(yùn)算出錯(cuò)”是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普遍現(xiàn)象,解析幾何更是如此,很多問題學(xué)生不是不會做,他們運(yùn)算能力太差,就是算不出結(jié)果或者算錯(cuò),因此,教學(xué)中要利用好學(xué)生的錯(cuò)誤運(yùn)算資源,剖析失誤的原因,加強(qiáng)“算理”的分析.

        3.充分發(fā)揮歷年高考題的教學(xué)功能.首先教師所選擇的歷年高考題要有典型性,課堂上通過歷年高考題的教學(xué),要能輻射到多種思想方法,或能起到構(gòu)建知識框架的作用,或能揭示一般性的解題策略等等,從而達(dá)到教學(xué)效果的最大化,是解題教學(xué)的理想境界.

        4.課堂例題要少而精.選擇少而精的例題能減少學(xué)生思維的斷層,教師可通過探究、變式、一題多解等手段,來加強(qiáng)學(xué)生思維的連續(xù)性,從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.這就需要我們教師在選題上下功夫,在例題的解題教學(xué)分析上下功夫,找準(zhǔn)課堂的主攻方向,是通過問題探究激發(fā)學(xué)生的興趣,還是通過一題多解構(gòu)建思想方法,或是通過問題回顧來還原知識體系等等.

        5.加強(qiáng)解題后反思,進(jìn)一步發(fā)展思維和提升能力.圓錐曲線的定點(diǎn)、定值和定直線等探索性問題歷來是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn),此類問題往往蘊(yùn)含具有代表性、引申性的數(shù)學(xué)知識、性質(zhì).由一個(gè)問題往往能引申出多個(gè)結(jié)論.它的延伸、推廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.因此,在平常備考時(shí),我們要有意加強(qiáng)對圓錐曲線性質(zhì)的推導(dǎo)與證明,注重對歷年高考題進(jìn)行適當(dāng)?shù)陌l(fā)散研究,可以讓達(dá)到深化認(rèn)識、舉一反三的目的,使得我們在高考中就能快速作答.另外,對于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展思維、創(chuàng)造性品質(zhì)也有著重要的意義.

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