浙江省杭州市余杭區(qū)瓶窯鎮(zhèn)第一中學(xué)(311115) 高興平

每天的課后,筆者總是會(huì)布置一道精選的思考題,作為學(xué)生的課外拓展,以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)和鍛煉思維;同時(shí)也有利于同學(xué)之間的交流和探討,豐富解題的思路和方法.同學(xué)之間的思維碰撞,往往會(huì)激發(fā)出創(chuàng)新思維的火花.體現(xiàn)在解答中,時(shí)常會(huì)有老師預(yù)設(shè)之外的精彩,促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng),使筆者也收獲匪淺.

近期布置的一道幾何證明題,學(xué)生從不同角度聯(lián)想、思考和求證,思維的靈活性和創(chuàng)造性,解法的多樣性讓筆者點(diǎn)贊不已.特別是輔助線的添加方法更是充滿了平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等圖形運(yùn)動(dòng),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美和對(duì)稱美.盡管證明過(guò)程的輔助線作法中沒(méi)有使用圖形變換的術(shù)語(yǔ),卻蘊(yùn)涵著圖形運(yùn)動(dòng)變換的思想.現(xiàn)整理出該題的多種證法,交流分享,歡迎指正.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

二、解法展示

1 移一移,柳暗花明

圖2

證法1如圖2,延長(zhǎng)CA到G,使AG=CE,連結(jié)BG.因?yàn)镹為AE的中點(diǎn),所以AN=EN,于是AG+AN=CE+EN,即GN=CN,因此N為CG的中點(diǎn);又因?yàn)镸為BC中點(diǎn),所以MN為△BCG的中位線,所以MN//BG;因?yàn)镃E=AB,所以AG=AB,于是∠3=∠G,所以∠BAC=∠3+∠G=2∠G,即∠G=,由AD為△ABC的角平分線,得因此∠G=∠2,因此AD//BG,所以MN//AD.

評(píng)析從圖形運(yùn)動(dòng)看,“延長(zhǎng)CA到G,使AG=CE”實(shí)質(zhì)是將線段CE平移到AG的位置,將線段AB和CE置于同一個(gè)三角形中,構(gòu)造出等腰△ABG,此時(shí)N恰好是CG的中點(diǎn),MN為△CBG的中位線,得到MN//BG,從而柳暗花明把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證明AD//BG,通過(guò)平行線的傳遞性得出MN//AD.思路清晰,證法自然.

圖3

證法2如圖3,作BG//AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則∠1=∠3,∠2=∠G.由AD為△ABC的角平分線,得∠1=∠2,故∠3=∠G,于是AG=AB=CE.因?yàn)镹為AE的中點(diǎn),所以AN=EN,所以AG+AN=CE+EN,即GN=CN,故N為CG的中點(diǎn);又因?yàn)镸為BC中點(diǎn),所以MN為△BCG的中位線,所以MN//BG;從而得出MN//AD.

評(píng)析通過(guò)平行線與角平分線結(jié)合,構(gòu)造等腰三角形是輔助線的常用方法,其本質(zhì)是通過(guò)平行線,將∠2平移到∠G的位置,架起了分散條件與所求結(jié)論之間的橋梁,使問(wèn)題引刃而解.

2 折一折,峰回路轉(zhuǎn)

圖4

證法3如圖4,在AC上截取AF=AB,連結(jié)BF交AD于點(diǎn)G,連結(jié)GM.因?yàn)锳B=CE,所以AF=CE,所以AF-EF=CE-EF,即AE=CF.因?yàn)锳D為△ABC的角平分線,所以點(diǎn)G是BF的中點(diǎn);由M是BC的中點(diǎn),故GM是△BCF的中位線,于是GM//CF且;由N為AE中點(diǎn)得,因此GM//AN且GM=AN,所以四邊形AGMN是平行四邊形,所以MN//AD.

評(píng)析從圖形的結(jié)構(gòu)出發(fā),從角平分線聯(lián)想到基本圖形“等腰三角形三線合一”,因此在AC上截取AF=AB,并連結(jié)BF,得到點(diǎn)G是BF的中點(diǎn),由此峰回路轉(zhuǎn),證得四邊形AGMN是平行四邊形,從而MN//AD;從圖形變換的角度觀察,其本質(zhì)是把△ABD沿軸AD翻折,構(gòu)建軸對(duì)稱圖形.

3 轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn),豁然貫通

圖5

證法4如圖5,延長(zhǎng)NM到點(diǎn)F,使MF=MN,連結(jié)BF,延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)G.因?yàn)锽M=CM,∠BMF=∠CMN,故△BMF～=△CMN, 于 是BF=CN,∠3=∠F,因此BF//CA,故∠2=∠4.因?yàn)锳D為△ABC的角平分線,故∠1=∠2,因此∠1=∠4,于是BG=AB=CE.所以BF-BG=CN-CE,即GF=EN.因?yàn)镹為AE的中點(diǎn),故EN=AN,所以GF=AN且GF//AN,所以四邊形AGFN為平行四邊形,所以MN//AD.

評(píng)析將△CMN繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度得到△BMF,構(gòu)造出中心對(duì)稱圖形,延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)G后,得到等腰△ABG,豁然貫通AB與CE,形成平行四邊形AGFN,從而解決問(wèn)題.

混合學(xué)習(xí)理論認(rèn)為要將互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)與學(xué)科課程結(jié)合，在教學(xué)過(guò)程有效地融合教育信息技術(shù)，建構(gòu)一種新的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)模式既能發(fā)揮教師引導(dǎo)、啟發(fā)、監(jiān)控教學(xué)過(guò)程的主導(dǎo)作用，又能充分體現(xiàn)學(xué)生作為學(xué)習(xí)過(guò)程主體的主動(dòng)性、積極性與創(chuàng)造性，同時(shí)，營(yíng)造一種資源共享、信息快速靈活地獲取、豐富多樣的互動(dòng)交流的教學(xué)環(huán)境。

圖6

證法5如圖6,連結(jié)AM,并延長(zhǎng)AM至F,使MF=AM,連結(jié)CF、EF.因?yàn)锳N=EN,AM=MF,所以MN是△AEF的中位線,故MN//EF.又因?yàn)锽M=CM,∠AMB=∠FMC,所以△AMB～=△FMC,于是AB=CF∠B=∠FCM,得到CF//AB,所以∠BAC+∠ACF=180°,由于∠1=∠2,故2∠2+∠ACF=180°.因?yàn)锳B=CE,所以CF=CE,因此∠3=∠4.由∠3+∠4+∠ACF=180°得2∠3+∠ACF=180°,所以∠2=∠3,因此AD//EF,從而得出MN//AD.

評(píng)析由中點(diǎn)聯(lián)想“見(jiàn)中點(diǎn)連中線”和“倍長(zhǎng)中線”,即將△AMB繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度,構(gòu)造中心對(duì)稱圖形.使AB、CE建立起有機(jī)聯(lián)系,得到△AEF的中位線MN和等腰△CEF,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證EF//AD.

圖7

證法6如圖7,連結(jié)BN,并延長(zhǎng)BN至F,使NF=BN,連結(jié)EF、CF.因?yàn)锽N=NF,CM=BM,所以MN是△BCF的中位線,故MN//CF.又因?yàn)锳N=EN,∠ANB=∠ENF,所以△ANB～=△ENF,于是AB=EF且∠BAC=∠FEN,即∠1+∠2=∠3+∠4,因?yàn)锳B=CE,于是EF=EC,所以∠3=∠4,由于∠1=∠2,故2∠2=2∠4,得到∠2=∠4,所以AD//CF,從而得出MN//AD.

評(píng)析將△ABN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度得到△EFN,構(gòu)造中心對(duì)稱圖形.使AB、CE建立起有機(jī)聯(lián)系,得到等腰△CEF,觀察到MN為△BCF的中位線,MN//CF,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證AD//CF.

4 比一比,頓開(kāi)茅塞

圖8

證法7如圖8,連結(jié)BE,取BE中點(diǎn)為F,連結(jié)FN、FM.因?yàn)镕N為△EAB的中位線,得且FN//AB,所以∠FNC=∠BAC;同理：且FM//CE,故∠4=∠5.因?yàn)镃E=AB,因此FN=FM,于是∠3=∠4.所以由AD為△ABC的角平分線得于是∠2=∠5.所以MN//AD.

評(píng)析由中點(diǎn)聯(lián)想到三角形中位線定理,然后由條件AB=CE聯(lián)想到應(yīng)分別構(gòu)建出以AB、CE為第三邊的三角形,由此發(fā)現(xiàn)應(yīng)連結(jié)BE,構(gòu)建出等腰△FMN,從而利用三角形中位線定理證明.過(guò)程可以看作是通過(guò)相似變換,將線段AB、CD縮小一半到FN和FM位置來(lái)解決問(wèn)題.

圖9

證法8如圖9,設(shè)AB=m,AC=n,則CE=AB=m,因?yàn)镹為AE的中點(diǎn),所以CN=,于是,由于M為BC中點(diǎn),因此BC=2CM,因?yàn)锳D平分∠BAC,所以,于是,即,所以,得到,又因?yàn)椤螻CM=∠ACD,故△NCM～△ACD,所以∠CNM=∠CAD,所以MN//AD.

評(píng)析由于條件中點(diǎn)D、M的位置都是確定的,而點(diǎn)N的位置隨點(diǎn)E改變,因此AD與MN平行與否由點(diǎn)E的位置決定.抓住了圖形運(yùn)動(dòng)中的“變”與“不變”,也就明白了圖形的本質(zhì)特征,自然就想到只需證從而△NCM～△ACD,得到∠CNM=∠CAD,所以MN//AD.其中角平分線性質(zhì)的應(yīng)用,得益于教師平時(shí)的課堂拓展、延伸,在此開(kāi)花結(jié)果.

三、感悟反思

本題的題干簡(jiǎn)潔,思維力度強(qiáng),探究空間大,從不同的角度聯(lián)想,會(huì)生成不同的證明方法,因而解法較多;特別是各種輔助線的添加方法,具有典型性和代表性,是培養(yǎng)鍛煉學(xué)生思維,提升學(xué)生幾何推理能力的好題材,具有很高的教學(xué)價(jià)值.

1 積累解題經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)推理能力

波利亞曾指出,好的思路大多來(lái)源于過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識(shí).本題從已知條件看,相等線段AB=CE與求證MN//AD沒(méi)有直接關(guān)聯(lián),而AB、CE位置分散,不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.因此解題的關(guān)鍵是通過(guò)添加輔助線,將分散線段相對(duì)集中,構(gòu)造等腰三角形,從而建立起分散條件與結(jié)論之間的橋梁,使問(wèn)題得到解決.

從知識(shí)技能層面看,此題主要考查平行線、全等三角形、等腰三角形、三角形的中位線等知識(shí).從能力層面看,此題主要考查學(xué)生的讀取信息的能力、聯(lián)想構(gòu)圖能力、遷移能力和推理能力.尤其是輔助線添加所積累的方法和經(jīng)驗(yàn),例如“角平分,線平行,形等腰”、“見(jiàn)中點(diǎn)、連中線”和“倍長(zhǎng)中線”構(gòu)造全等三角形等,如果學(xué)生沒(méi)有這方面的經(jīng)驗(yàn)積累,那么就會(huì)難于解決問(wèn)題.

因此在平時(shí)的教學(xué)中,教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的解題指導(dǎo),注意挖掘幾何證明中的規(guī)律性圖形的技巧,引導(dǎo)學(xué)生積累一些基本幾何模型和常見(jiàn)的輔助線添加方法增加知識(shí)和方法的儲(chǔ)備,積累解題經(jīng)驗(yàn),最終將經(jīng)驗(yàn)升華為能力,從而提高幾何推理能力.

2 感悟圖形運(yùn)動(dòng),提升核心素養(yǎng)

圖形變換是探究證明的思路、尋找證明方法的重要途徑,通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)圖形的一些性質(zhì),有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念,有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的興趣,從中體會(huì)研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法[1].雖然分析法和綜合法可以提供輔助線的線索,但圖形變換仍然是作輔助線的最重要的思維來(lái)源.

因此教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中,不僅要引導(dǎo)學(xué)生從靜態(tài)角度去觀察圖形,更要注意引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)角度去認(rèn)識(shí)探究圖形,在“變”與“不變”中挖掘問(wèn)題的本質(zhì);鼓勵(lì)學(xué)生將圖形“移一移”、“折一折”、“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”等,結(jié)合題目中的條件,動(dòng)靜結(jié)合解決問(wèn)題,豐富解題策略,提升解題能力,培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).